03-unidad3.Rmd

# Regresión Lineal

En general, las bases de datos que se trabajarán en esta sección son las siguientes:

- [Tasa Euro/Dólar](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Tasa%2Beuro%2Bdolar%2Bhistorica2023.csv){#TasaEURUSD}: Contiene el registro diario histórico de la tasa de cambio del Euro a Dólar durante el 2023. Las columnas de la base de datos son las siguientes:

  - Date: Fecha de medición (yyyy-mm-dd), desde enero del 2003 hasta enero del 2023.
  - Open: tasa de apertura.
  - High: tasa más alta alcanzada en el día.
  - Low: tasa más baja alcanzada en el día.
  - Close: tasa de cierre del día.
  - Adj Close: tasa de cierre ajustada del día (precio de cierre sin dividendos).
  
  ```{r, echo = FALSE, results="asis", eval=code}
  cat("El código para cargar la base de datos en R es:")
  ```

  ```{r, echo = code}
  datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Tasa%2Beuro%2Bdolar%2Bhistorica2023.csv")
  ```
  
- [Precios de electricidad](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2024-1/Belgian%20Electricity%20Prices.csv){#PreciosElectricidad}: Un conjunto de datos históricos que contiene el precio por hora de la electricidad para Bélgica. Las columnas de la base de datos son las siguientes:

  - MTU: Hora de inicio (formato fecha y hora) del coste de la electricidad.
  - EUR_MWh: Precio por hora (Euros por MWh).
  
  ```{r, echo = FALSE, results="asis", eval=code}
  cat("El código para cargar la base de datos en R es:")
  ```
  
  ```{r, eval = F, echo = code}
  datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2024-1/Belgian%20Electricity%20Prices.csv")
  ```
  
- [Pacientes](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Heart+complete.csv){#Pacientes}: Contiene datos respecto a los ataques al corazón de distintos pacientes hospitalarios. El detalle de algunas de las columnas de la base de datos que utilizaremos son las siguientes:

  - age: edad del paciente (en años).
  - sex: sexo del paciente (Hombre: 1 y  Mujer: 0).
  - cp: Tipo de dolor en el pecho, Valor 1: angina típica, Valor 2: angina atípica, Valor 3: dolor no anginoso, Valor 4: asintomático.
  - trtbps: presión arterial en reposo (en mm Hg).
  - chol: nivel de colestorol (en mg/dl).
  - fbs: azúcar en sangre en ayunas $>$ 120 mg/dl (V = 1; F = 0).
  - thalachh: frecuencia cardíaca máxima alcanzada (en latidos por minuto).
  - oldpeak: tiempo de duración del último ataque al corazón (en minutos).
  
  ```{r, echo = FALSE, results="asis", eval=code}
  cat("El código para cargar la base de datos en R es:")
  ```
  
  ```{r, eval = F, echo = code}
  datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Heart+complete.csv")
  ```
  
- [Ingreso](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Ingreso%2Buniversidad.csv){#Ingreso}: Contiene datos relacionados a características de ingresos de estudiantes a un determinada universidad. Las columnas de la base de datos son las siguientes.

  - Sexo: Hombre o Mujer.
  - Ingreso: indica la vía de ingreso del estudiante a la universidad, se clasifica en PTU u Otra.
  - Logro: corresponde a la proporción de logro (número entre 0 y 1, un logro de 0.4 indica que el estudiante respondió correctamente un 40% de la prueba) del estudiante en el diagnóstico de "Comunicación escrita" aplicado por la universidad.
  - LEN: Puntaje PTU - Lenguaje.
  - NEM: Puntaje NEM del estudiante.
  
  ```{r, echo = FALSE, results="asis", eval=code}
  cat("El código para cargar la base de datos en R es:")
  ```
  
  ```{r, eval = F, echo = code}
  datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Ingreso%2Buniversidad.csv")
  ```

- [Imacec](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%201/imacec.csv){#Imacec3}: Contiene los datos de los valores del Imacec mensual de distintos sectores desde enero del 2018 hasta junio del 2022. Las columnas de la base de datos son las siguientes:

  - Ano: Año de medición del Imacec.
  - Mes: Mes de medición del Imacec.
  - Mineria: Imacec del sector de minería.
  - Industria: Imacec del sector de industria.
  
  ```{r, echo = FALSE, results="asis", eval=code}
  cat("El código para cargar la base de datos en R es:")
  ```
  
  ```{r, eval = F, echo = code}
  datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%201/imacec.csv")
  ```

<!-- ## Análisis descriptivo de datos {#descriptiva} -->
## Medidas de asociación lineal 

### Covarianza

Es posible entender las relaciones entre dos o más variables, gráficamente y a través de estadísticos. En esta sección seabarcarán las relaciones lineales entre dos variables cuantitativas, utilizando la Covarianza y la Correlación. El gráfico que apoya a estas dos medidas es el gráfico de dispersión.

La **Covarianza** entre dos variables de la misma muestra, se puede calcular como:

```{=tex}
\begin{equation}
S_{XY} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{n-1}
(\#eq:Covarianza)
\end{equation}
```
La utilidad radica en el signo de esta expresión, el cual, da a conocer el tipo de relación lineal entre las variables $X$ e $Y$. Para interpretar esta expresión se puede usar la siguiente regla.

-   Si $S_{XY} = 0$, entonces no existe *relación lineal* entre $X$ e $Y$.

-   Si $S_{XY} > 0$, entonces existe una relación lineal directa o positiva entre $X$ e $Y$. Esto es, a mayores valores de $X$, en promedio tenemos mayores valores de $Y$ y viceversa.

-   Si $S_{XY} < 0$, entonces existe una relación lineal inversa o negativa entre $X$ e $Y$. Esto es, a mayores valores de $X$, en promedio tenemos menores valores de $Y$ y viceversa.

:::: blackbox
::: {.example}
Por ejemplo, si $S_{XY} = -1000$, ¿qué podemos decir acerca de la relación entre $X$ e $Y$?

La relación entre las variables es inversa. No podemos decir nada acerca de qué tan fuerte es la relación; para eso tendríamos calcular el coeficiente de correlación.

**Nota:** En R, se utiliza el comando `cov()` para calcular la covarianza entre dos variables.
:::
::::

A continuación, se estudia gráficamente la covarianza entre dos variables. Para ello, se necesita del gráfico de dispersión y de las líneas promedio de ambas variables.

```{r echo=FALSE, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center'}
df = iris
x = iris$Petal.Length
y = iris$Petal.Width
x.bar = mean(iris[["Petal.Length"]])
y.bar = mean(iris[["Petal.Width"]])
df$Cuadrante = ifelse(x >= x.bar & y >= y.bar, "+ +",
                  ifelse(x > x.bar & y < y.bar, "+ -",
                         ifelse(x <= x.bar & y <= y.bar, "- -", "- +")))
ggplot(data = df, aes(x = Petal.Length, y = Petal.Width, color = Cuadrante))  +
         geom_vline(xintercept = x.bar, linetype = "dashed") +
         geom_hline(yintercept = y.bar, linetype = "dashed") + 
         geom_point() +
         labs(x = "Variable 1", y = "Variable 2", title = "Gráfico de dispersión")
```

En este caso, la mayoría de los puntos están en los cuadrantes '$+ +$' y '$- -$', y en estos cuadrantes la expresión $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ es positiva; por eso la covarianza es positiva (aunque también necesario considerar que tan lejos están los puntos de la intersección de las líneas promedio). **¿Es pronunciada la relación lineal?**

### Correlación

Aunque con el signo de la covarianza podemos detectar el tipo de relación entre dos variables, al depender de las unidades de $X$ y de $Y$, no sabemos si corresponde a un relación fuerte o débil (es decir, la forma lineal es fuertemente o débilmente pronunciada); sólo sabemos el signo. Para solucionar esto, **estandarizamos** los valores. La fórmula que realiza este proceso utilizando la covarianza es

```{=tex}
\begin{equation}
r_{XY} = \frac{S_{XY}}{S_{X}S_{Y}}
(\#eq:Correlacion)
\end{equation}
```
Este estadístico, también conocido como **Coeficiente de correlación de Pearson** se encuentra entre -1 y 1.

-   Si $r_{XY} = 0$, entonces no hay relación lineal o con relación lineal débil entre las variables.

-   Si $r_{XY}$ es cercano a 1, entonces hay relación lineal directa y fuerte entre variables.

-   Si $r_{XY}$ es cercano a $-1$, entonces hay relación lineal inversa y fuerte entre las variables.

Una regla más fina sobre la intensidad de la relación es [@ratner_correlation_2009]:

-   $r_{XY} = 0$ indica que no hay relación lineal.
-   $r_{XY} = 1$ indica una relación lineal positiva perfecta: a medida que una variable aumenta en sus valores, la otra variable también aumenta en sus valores a través de una regla lineal exacta.
-   $r_{XY} = -1$ indica una relación lineal negativa perfecta: a medida que una variable aumenta en sus valores, la otra variable disminuye en sus valores a través de una regla lineal exacta.
-   Los valores entre $0$ y $0.3$ ($0$ y $−0.3$) indican una relación lineal positiva (negativa) débil a través de una regla lineal inestable.
-   Valores entre $0.3$ y $0.7$ ($-0.3$ y $−0.7$) indican una relación lineal positiva (negativa) moderada a través de una regla lineal difusa-firme.
-   Los valores entre $0.7$ y $1.0$ ($−0.7$ y $−1.0$) indican una fuerte relación lineal positiva (negativa) a través de una regla lineal firme.

:::: {.blackbox}
::: {.exercise}
Por ejemplo, si $r_{XY} = -0.96$, ¿qué podemos decir acerca de la relación entre $X$ e $Y$?
:::
::::

A continuación, se estudia gráficamente la correlación entre dos variables. Para ello, se necesita del gráfico de dispersión y una recta que refleje la asociación lineal (detalles de esta recta en secciones posteriores).

```{r echo=FALSE, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center', warning=FALSE, message=FALSE}
df = iris
x = iris$Petal.Length
y = iris$Petal.Width
x.bar = mean(iris[["Petal.Length"]])
y.bar = mean(iris[["Petal.Width"]])
ggplot(data = df, aes(x = Petal.Length, y = Petal.Width))+
         geom_smooth(method = lm, se = FALSE, formula = 'y ~ x') +
         geom_point() +
         labs(x = "Variable 1", y = "Variable 2", title = "Gráfico de dispersión")
```

**Nota:** En R, se utiliza el comando `cor()` para calcular la correlación entre dos variables.

**¿Cómo se comportan los puntos al rededor de la línea azul?**

::: {.exercise}
La base de datos [*graficos+dolar.csv*](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%202/dolar.csv) contiene el valor del dólar observado de algunos de los días de los meses de junio y julio del 2022, tomados por el el SII. A continuación:

1.  Realice un histograma del valor de dólar.
2.  Realice un histograma del valor de dólar diferenciado por mes. Utilice el comando `facet_grid(~Mes)`.
3.  Reordene los gráficos por mes. Para ello convierta la variable Mes a factor, ordenando los meses como corresponde.
4.  Realice un gráfico de Violín con caja y promedio del valor de dolar. Interprete lo observado.
5.  Separe el gráfico anterior por mes. Comente lo observado.
6.  Estudie las medidas de asociación entre los valores del dólar de los primeros 18 registros de cada mes. Interprete. ¿Por qué no es posible comparar todos los registros de cada uno de los meses?
7.  Realice un gráfico de dispersión de los para estudiar las medidas de asociación entre las variables de la pregunta 6.
:::

## Regresión lineal simple

La regresión lineal simple (RLS) consiste en generar un **modelo de regresión** (ecuación de una recta) que permita explicar la relación lineal que existe entre dos variables. A la variable dependiente, predicha o respuesta se le identifica como $Y$ y a la variable predictora o independiente como $X$. [@Devore, página 450]

El modelo de regresión lineal simple se describe de acuerdo a la ecuación:

```{=tex}
\begin{equation}
Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \epsilon_i \text{ , }i = 1,\ldots ,n \text{ , } \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
(\#eq:regresion)
\end{equation}
```

Una ejemplificación de esta ecuación es la siguiente (\@ref(fig:regresion1)).

```{r regresion1, echo=FALSE, message=FALSE, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center', fig.cap='Ecuación de regresión'}
df = data.frame("Variable.Explicativa" = 0:8,
                "Variable.Respuesta" = c(12,10,8,11,6,7,2,3,3))
model = lm(Variable.Respuesta ~ ., data = df)
df$Predicha = model$fitted.values

ggplot(data = df, aes(x = Variable.Explicativa, y = Variable.Respuesta)) +
  # geom_segment(aes(x = Variable.Explicativa, xend = Variable.Explicativa,
                   # y = Variable.Respuesta, yend = Predicha, color = "segment")) +
  labs(x = "Variable explicativa (X)", y = "Variable repuesta (Y)",
       title = "Ecuación de regresión") + 
  geom_point() +
  geom_smooth(method = lm, se = FALSE, formula = 'y ~ x')
  # theme_bw() +
  # theme(legend.position = "none")
```

Siendo $\beta_0$ la ordenada en el origen, $\beta_1$ la pendiente y $\epsilon$ el **error aleatorio**. Este último representa la diferencia entre el valor ajustado por la recta y el valor real (línea de color rojo en el gráfico enla figura \@ref(fig:regresion2)), el cual, recoge el efecto de todas aquellas variables que influyen en $Y$ pero que no se incluyen en el modelo como predictores. En el gráfico \@ref(fig:regresion2) es posible apreciar los errores como el distanciamiento de los puntos respecto de la recta.

```{r regresion2, echo=FALSE, message=FALSE, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center', fig.cap='Errores de una ecuación de regresión'}
df = data.frame("Variable.Explicativa" = 0:8,
                "Variable.Respuesta" = c(12,10,8,11,6,7,2,3,3))
model = lm(Variable.Respuesta ~ ., data = df)
df$Predicha = model$fitted.values

ggplot(data = df, aes(x = Variable.Explicativa, y = Variable.Respuesta)) +
  geom_segment(aes(x = Variable.Explicativa, xend = Variable.Explicativa,
                   y = Variable.Respuesta, yend = Predicha), color = "red") +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = lm, se = FALSE, formula = 'y ~ x') +
  # theme(legend.position = "none") +
  labs(x = "Variable explicativa (X)", y = "Variable repuesta (Y)",
       title = "Ecuación de regresión")
```

La ecuación \@ref(eq:regresion) representa la **ecuación de regresión verdadera** (o poblacional). Sin embargo, no es posible conocer el valor de $\beta_0$ y $\beta_1$, ya que son parámetros poblacionales (de antemano, no se conocen todos los datos de la población), por lo cual, se se deben determinar estimadores que permitan aproximar los valores de estos parámetros a partir de una muestra ("base de datos"), para así de determinar una expresión estimada de esta ecuación de regresión verdadera.

### Estimadores de mínimos cuadrados {#EMCRLS}

Una forma intuitiva de abordar el problema de estimar $\beta_0$ y $\beta_1$ es minimizando los errores aleatorios. Para ello, se hace uso de la ecuación de regresión verdadera:

$$
Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \epsilon_i
$$

Luego, es posible escribir el error aleatorio de la siguiente manera:

```{=tex}
\begin{equation}
\epsilon_i = Y_i - [\beta_0 + \beta_1X_i]
(\#eq:funcion-errores)
\end{equation}
```

Para considerar el error en cada uno de los puntos al rededor de la recta de regresión verdadera se considera la suma de los errores. Sin embargo, para tener mayor facilidad en el proceso de determinar los estimadores, se elevan los errores al cuadrado (**suma cuadrática de errores**).

```{=tex}
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n\epsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n (Y_i - [\beta_0 + \beta_1X_i])^2
(\#eq:sumacuadratica-RL)
\end{equation}
```

Llegado a este punto, es natural minimizar esta función, ya que los valores de $\beta_0$ y $\beta_1$ estimados buscan dar lugar a la recta que "pasa más cerca de todos lo puntos". Los estimadores de $\beta_0$ y $\beta_1$ se denotan por $\widehat{\beta}_0$ y $\widehat{\beta}_1$ respectivamente, y son denominados como **Estimadores de Mínimos Cuadrados** (EMC). La ecuación \@ref(eq:regresionajustada) representa la ecuación de regresión ajustada (estimada) mediante una muestra.

```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{Y}_i = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1X_i
(\#eq:regresionajustada)
\end{equation}
```
Los estimadores de $\beta_0$ y $\beta_1$ son (detalles del desarrollo en el anexo \@ref(RLS-EMC)):

```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{\beta}_1 = \frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2} = \frac{S_Y}{S_X}r_{XY}
(\#eq:beta1gorro)
\end{equation}
```
```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{\beta}_0 = \bar{y} - \widehat{\beta}_1\bar{x}
(\#eq:beta0gorro)
\end{equation}
```

-   Los valores de $S_y$ y $S_x$ son las desviaciones estándar de cada variable y $r_{XY}$ el coeficiente de correlación entre estas.
-   $\widehat{\beta}_0$ es el valor esperado la variable $Y$ cuando $X = 0$, es decir, la intersección de la recta con el eje $y$. En ocasiones, no tiene interpretación práctica (situaciones en las que $X$ no puede adquirir el valor 0).
-   $\widehat{\beta}_1$ corresponde al valor de la pendiente. La interpretación de este valor se detalla más adelante.
-   $\widehat{Y}$ se entiende como el valor esperado, es decir, el valor promedio (muestral) de $Y$.
-   La diferencia entre los valores reales $Y$ (en la base de datos) y los valores de la recta estimada ($\widehat{Y}$) se denominan residuos, que se denotan por la letra $e$. Estos se observan de la misma forma que los errores aleatorios (figura \@ref(fig:regresion2)).

:::: {.blackbox}
::: {#AFPUNO .example}
El archivo [*cuota+patrimonio.csv*](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%202/cuota%2Bpatrimonio.csv) contiene los valores cuota (pesos) y valor del patrimonio (miles de millones de pesos) de los primeros dos meses del año 2022 de la AFP UNO. En R:

1.  Realice un estudio inicial de los datos, elaborando un gráfico de violín + caja + promedio para cada una de las variables.

Inspeccionamos la base de datos.

```{r, echo=FALSE}
datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%202/cuota%2Bpatrimonio.csv")
```


```{r}
# Cargue previamente la base de datos, guardándola con el nombre "datos"
str(datos)
```

Luego, realizamos el gráfico de violín con caja y promedio.

```{r fig.align='center', fig.width=4, fig.height=2}
ggplot(data = datos, aes(y = 1, x = Valor.Cuota)) + 
  geom_violin(trim = F) +
  geom_boxplot(width = 0.1) +
stat_summary(fun = mean, color = "red", geom = "point", orientation = "y") +
  labs(y = "", x = "Pesos", title = "Valor Cuota")
```

Se observa, que la mayor concentración de datos se encuentra entre el primer y segundo cuartil. Además, el cierre superior del gráfico de violín presenta una mayor concentración de datos que el cierre inferior, lo cual, explica la posición del promedio por sobre la mediana.

```{r fig.align='center', fig.width=4, fig.height=2}
ggplot(data = datos, aes(y = 1, x = Valor.Patrimonio)) + 
  geom_violin(trim = F) +
  geom_boxplot(width = 0.1) +
stat_summary(fun = mean, color = "red", geom = "point", orientation = "y") +
  labs(y = "", x = "Miles de millones de pesos", title = "Valor Patrimonio")
```

Se observa, que la mayor concentración de datos se encuentra entre el primer y segundo cuartil. Una segunda concentración se encuentra por sobre el tercer cuartil , lo cual, explica la posición del promedio por sobre la mediana.

2.  Estudie la correlación entre ambas variables.

```{r}
cor(datos$Valor.Cuota, datos$Valor.Patrimonio)
```

El valor de la correlación indica que la relación lineal entre las dos variables es positiva y fuerte. Esto quiere decir que, cuando en promedio el valor cuota aumenta, el promedio el valor del patrimonio también aumenta.

3.  Considerando que desea explicar el valor del patrimonio a partir del valor cuota. Determine los valores de $\widehat{\beta}_0$ y $\widehat{\beta}_1$ utilizando el comando `lm()`.

```{r}
modelo = lm(Valor.Patrimonio ~ Valor.Cuota, data = datos)
modelo
```

4.  Escriba la ecuación de la recta de regresión ajustada.

$$
\widehat{Y}_i = -135.3 + 0.004936X_i
$$

5.  Realice un gráfico de la la recta de regresión y los residuos del modelo.

```{r message=FALSE, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center'}
# Guardamos los valores de la recta estimada en una nueva columna en la base de datos
datos$Ajustados = modelo$fitted.values
ggplot(data = datos, aes(x = Valor.Cuota, y = Valor.Patrimonio)) +
  geom_segment(aes(x = Valor.Cuota, xend = Valor.Cuota,
                   y = Valor.Patrimonio, yend = Ajustados), color = "red") +
  labs(x = "Valor Cuota", y = "Valor Patrimonio",
       title = "Ecuación de regresión ajustada") + 
  geom_point() +
  geom_smooth(method = lm, se = FALSE, formula = 'y ~ x')
```
:::
::::

Para interpretar cada uno de los beta estimados se debe hacer en función de la variable de estudio (variable dependiente). En este sentido,

-   $\widehat{\beta}_1$: corresponde a la pendiente de la ecuación de la recta de regresión ajustada, e indica un avance lineal constante en crecimiento o en decrecimiento dependiendo de su valor. La interpretación de este parámetro, está sujeta a la unidad de medida de la variable predictora $X$, de tal manera, que una cambio en una unidad de medida de la variable $x$, afecta en **promedio** $\widehat{\beta}_1$ unidades en la variable $Y$.

    En el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO), el valor de $\widehat{\beta}_1$ es de `r modelo$coefficients[2]` , lo cual indica que por cada unidad de valor cuota (por cada peso), el valor del patrimonio aumenta en promedio `r modelo$coefficients[2]` miles de millones pesos.

-   $\widehat{\beta}_0$: es el intercepto de la ecuación de la recta de regresión ajustada, y se debe verificar que el valor obtenido tenga sentido con el fenómeno. En el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO), se obtiene un valor lejano a cero (`r modelo$coefficients[1]`), por lo que, cuando $\beta_1x$ vale cero (es decir, una cantidad de cuotas igual a 0), el valor del promedio del patrimonio es menor a cero. Esto tiene sentido, ya que las cuotas no constituyen la totalidad del valor del patrimonio de la AFP (en el ejemplo se trabaja con un fondo en específico de los cinco existentes, de un determinado producto de inversión).

::: {.exercise #ingreso}
Utilizando la base de datos [Ingreso](#Ingreso):

1.  Realice un estudio inicial de los datos, elaborando un gráfico de violín + caja + promedio para cada una de las variables cuantitativas continuas, mientras que para las variables categóricas elabore tablas de frecuencias relativas.
2.  Considerando que desea explicar la proporción de logro en el diagnóstico de comunicación escrita a partir del puntaje en la PTU de Lenguaje (considere esto para las siguientes preguntas), estudie la correlación entre ambas variables.
3.  Determine los valores de $\widehat{\beta}_0$ y $\widehat{\beta}_1$ utilizando el comando `lm()`. Interprete los valores.
4.  Escriba la ecuación de la recta de regresión ajustada.
5.  Realice un gráfico de la la recta de regresión ajustada y los residuos del modelo.
:::

### Sumas cuadráticas {#sumascuadraticas}

En un modelo sin variables independientes los valores ajustados o predichos son iguales al promedio de las observaciones, $\bar{Y}$ (tal como se mostró en la interpretación asociada a las estimaciones de los parámetros). Los residuos de dicho modelo corresponden a $Y_i - \bar{Y}$. La **suma de cuadrados total** (SCT) se define como:

```{=tex}
\begin{equation}
\text{SCT} = \sum_{i=1}^n\left( Y_i - \bar{Y} \right)^2
(\#eq:SCT)
\end{equation}
```

¿Cómo se relacionan la SCT y la suma cuadrática de errores (SCE)? Consideremos la siguiente igualdad.

```{=tex}
\begin{equation}
Y_i - \bar{Y} = \left( \widehat{Y}_i - \bar{Y} \right) + \left( Y_i - \widehat{Y}_i \right)
(\#eq:SCT-SCE-SCReg)
\end{equation}
```

A partir de esta igualdad se demuestra que:

```{=tex}
\begin{equation}
\underbrace{\sum_{i=1}^n\left( Y_i - \bar{Y} \right)^2}_{\text{SCT}} = \underbrace{\sum_{i=1}^n\left( \widehat{Y}_i - \bar{Y} \right)^2}_{\text{SCReg}} + \underbrace{\sum_{i=1}^n\left( Y_i - \widehat{Y}_i \right)^2}_{\text{SCE}},
(\#eq:descomposicion-sct)
\end{equation}
```

donde,

- **Suma de cuadrados total** (SCT): corresponde a la variabilidad de los datos.

- **Suma de cuadrados de la regresión** (SCReg): corresponde a la variabilidad de los datos que es explicada por el modelo de regresión.

- **Suma de cuadrados del error** (SCE): corresponde a la variabilidad de los datos que no es explicada por el modelo.

En la experimentación, se quiere que SCE sea pequeña y que SCReg sea grande.

Las expresiones involucradas en la ecuación \@ref(eq:descomposicion-sct) dan lugar a reescribir distintas expresiones, entre las cuales se encuentra, el coeficiente de determinación ($R^2$) y el error estándar residual explicados en la sección \@ref(metricasRLS), y el estadístico asociado a las pruebas de hipótesis de los parámetros explicado en la sección \@ref(pruebasHipotesisRLS).

### Pruebas de hipótesis {#pruebasHipotesisRLS}

Los modelos de regresión lineal simple incluyen pruebas de hipótesis asociadas a los betas, además de otro tipo de información. En R es posible utilizar el comando `summary()` para acceder al resumen de información. A continuación, a modo de ejemplo se utiliza el modelo elaborado en el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO).

```{r}
summary(modelo)
```

El detalle por columna es el siguiente.

-   En primer lugar, ya conocemos los coeficientes del modelo (betas estimados) y cómo se interpretan. Estos valores los podemos encontrar en la columna llamada **Estimate**.

-   La segunda columna (**Std. Error**) corresponde a la desviación estándar de la estimación de cada uno de los betas. Como cada uno de los errores ($\epsilon_i$) tiene distribución normal, esto implica que cada uno de los $\beta$ tenga distribución t -- Student (no analizaremos esto en profundidad).

-   La tercera y cuarta columna están diseñadas para probar una determinada prueba de hipótesis relacionada a los $\beta$, llamada **prueba de no nulidad**. En este caso, cada fila aborda la siguiente hipótesis:

    ```{=tex}
    \begin{equation}
    \notag
    \begin{split}
    H_0:&\beta_i = 0\\
    H_1:&\beta_i \neq 0\\
    \end{split}
    \end{equation}
    ```
    El estadístico para cada uno de los beta se obtiene dividiendo el valor estimado (**Estimate**) por la desviación estándar (**Std. Error**). El resultado de estos valores, se puede apreciar en la columna **t value**.

-   Finalmente, se calcula el valor - p asociado a cada una de las hipótesis del punto anterior, con la fórmula $2\cdot(1-pt(|t_0|, n-2))$. El valor resultante de esta expresión para cada uno de los betas se encuentra en la columna **Pr(\>\|t\|)**. La interpretación de este valor es mediante el criterio del valor - p presentado en la unidad anterior.

En el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO), al no rechazarse la hipótesis nula asociada a cada beta estimado, se tiene que cada variable (intercepto y valor cuota) son relevantes para explicar la variable respuesta (valor del patrimonio). Sin embargo, esto no es un regla decidora respecto a si una variable debe o no considerarse en el modelo, es decir,

-   No rechazar las hipótesis nula de los beta estimados, indica que su "valor" es **cero**, por lo que no "aportarían" al modelo de regresión construido. En este punto, muchas personas eliminarían la variable utilizada para construir el modelo (el valor cuota) (esto es una de tantas técnicas aplicables, pero que no profundizaremos) o, cambiarían la variable explicativa utilizada (no considerarían el valor cuota, sino que utilizarían otra variable).

-   A pesar de que los valores-p puedan no ser significativos (mayores a 0.05), es decir, no rechazar las hipótesis nulas; es posible forzar la permanencia de la variable en el modelo debido al criterio experto del profesional.

Por último, al final de la salida del resumen, encontramos el valor llamado **F-statistic**. Este valor, es un estadístico que prueba de hipótesis llamada **prueba de no nulidad conjunta**,

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0:&\text{ Todos los betas asociados a las covariables valen 0}\\
H_1:&\text{ Almenos uno de los betas asociados a las covariables es distinto de 0}\\
\end{split}
\end{equation}
```

Se rechaza $H_0$ cuando:

```{=tex}
\begin{equation}
F_0 = \frac{\text{SCReg}}{\text{MCE}} \geq F_{1-\alpha, 1, n-2}.
(\#eq:estadistico-F-RLS)
\end{equation}
```

con una significancia $\alpha$. El valor de MCE se especifica en la sección \@ref(metricasRLS).

**Nota**: esta prueba de hipótesis no considera $\beta_0$.

En el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO), se observa un valor del estadístico igual a 322.6 con 1 y 57 grados de libertad, además de un valor menor a 0.05. Por lo tanto, existe suficiente evidencia estadística para rechazar $H_0$, es decir, almenos uno de los betas asociados a las covariables es distinto de 0.

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Pacientes](#Pacientes):

1. Ajuste un modelo para estudiar el nivel de colesterol de los pacientes a partir de su edad. Luego, estudie las pruebas de hipótesis asociadas utilizando una confianza del 95%.
2. Ajuste un modelo para estudiar el tiempo de duración del último ataque al corazón de los pacientes a partir de su edad. Luego, estudie las pruebas de hipótesis asociadas utilizando una confianza del 95%.
:::

### Métricas {#metricasRLS}

La salida de R nos proporciona dos valores que permiten evaluar al modelo de regresión lineal simple:

- **Residual standard error** (error estándar residual): corresponde a la desviación estándar de los residuos, es decir, que mientras menor sea este valor, los puntos se alejarán menos de la recta de regresión. Este valor es una estimación de $\sigma$, que en términos de las expresiones de la ecuación \@ref(eq:descomposicion-sct) se tiene que:

  ```{=tex}
  \begin{equation}
  \widehat{\sigma}^2 = \frac{\text{SCE}}{n-2} = \text{MCE},
  (\#eq:sigma2-estimador)
  \end{equation}
  ```
  
  donde, MCE se denomina **media cuadrática del error**. El denominador de esta expresión corresponde al total de observaciones ($n$) menos la cantidad de parámetros del modelo ($\beta_1$ y $\beta_2$). Finalmente, el valor del  error estándar residual ($\widehat{\sigma}$) es igual a $\sqrt{\text{MCE}}$.

- **Multiple R-squared** o $R^2$: es un métrica de error de la regresión que mide el rendimiento del modelo, corresponde a la proporción de variabilidad explicada por la regresión sobre la variabilidad total de las observaciones. En términos de las expresiones de la ecuación \@ref(eq:descomposicion-sct) se tiene que:

  ```{=tex}
  \begin{equation}
  R^2 = \frac{\text{SCReg}}{\text{SCT}}
  (\#eq:R2-RLS)
  \end{equation}
  ```

En el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO) se obtiene un error estándar residual de 4.2. Sin embargo, **NO EXISTE** un regla que determine cuando un error estándar residual es bueno o malo. En general, este valor se utiliza para comparar don o más modelos que estudian la misma variable respuesta pero con distintas variables predictoras (variables independientes), para saber cual realiza un mejor ajuste.

Por otro lado, se tiene un valor de $R^2$ igual a 0.84, el cual es muy alto, por lo que se logra explicar gran parte de la variable respuesta. Al igual que el error estándar residual, no existe una regla para determinar cuando un valor de $R^2$ es bueno o malo, aunque valores cercanos a cero indican que el poder explicativo del modelo es extremadamente pobre; y a su vez, valores muy cercanos a 1 son muy buenos, aunque extremadamente sospechosos.

Lo anteriormente explicado se puede observar mediante los siguientes comandos, aunque es posible observarlos en salida general del comando `summary()`.

```{r}
# Resumen del modelo
summ = summary(modelo)
print(c("Error estándar residual" = summ$sigma, "R cuadrado" = summ$r.squared))
```

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Ingreso](#Ingreso):

1.  Ajuste un modelo para estudiar la proporción de logro a partir el puntaje NEM.
2.  Ajuste un modelo para estudiar la proporción de logro a partir el puntaje PTU de la prueba de Lenguaje.
3.  Obtenga de manera manual el estadístico F asociado a la prueba de hipótesis de nulidad conjunta de cada modelo. Interprete, utilizando una confianza del 95%.
4.  Compare los ajustes de ambos modelos utilizando el error estándar residual y el $R^2$, obteniendo las métricas de manera manual. Interprete.
:::

### Supuestos

Cuándo se elabora un modelo de regresión lineal, es necesario verificar el cumplimiento de condiciones para la correcta interpretación y utilización del modelo desarrollado. Las condiciones que se deben cumplir se denominan supuestos. A continuación, se detallan los 4 supuestos que se deben estudiar, utilizando como ejemplo el modelo elaborado en el ejemplo \@ref(exm:AFPUNO).

#### Linealidad

La relación entre ambas variables (dependiente e independiente) debe ser lineal. Para observar el comportamiento es posible realizar un gráfico de puntos entre la variable predictora ($X$) y la variable de estudio ($Y$).

```{r fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center'}
ggplot(data = datos) +
  geom_point(aes(x = Valor.Cuota, y = Valor.Patrimonio)) +
  labs(x = "Valor Cuota (pesos)", y = "Valor Patrimonio \n (miles de millones de pesos)")
```

La interpretación del comportamiento queda a discreción del profesional. En este caso, se aprecia una clara tendencia lineal, por lo que se asume que se cumple el supuesto de linealidad.

#### Normalidad

Los residuos \texttt{estandarizados} deben distribuir Normal con media 0 ($\mu$) y varianza 1 ($\sigma^2$). Para ello, se pueden ejecutar varios comandos en R para probar esta hipótesis. El más conocido es el comando `shapiro.test()`. La hipótesis es

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Los residuos estandarizados tienen distribución Normal}\\
H_1&: \text{Los residuos estandarizados NO tienen distribución Normal}\\
\end{split}
\end{equation}
```

Se definen los residuos estandarizados, $r_i$, como los residuos, $e_i$, divididos por su error estándar:

```{=tex}
\begin{equation}
r_i = \frac{e_i}{\widehat{\text{es}}(e_i)}, i = 1,\ldots,n
(\#eq:residuos-estandarizados)
\end{equation}
```

Utilizando la definición dada en la ecuación \@ref(eq:sigma2-estimador), se tiene que

```{=tex}
\begin{equation}
r_i = \frac{e_i}{\sqrt{\text{MCE}}}
(\#eq:residuos-estandarizados-2)
\end{equation}
```

```{r fig.width=7, fig.height=4, fig.align='center'}
residuos = resid(modelo) # Residuos 
residuos_estandarizados = rstandard(modelo) # Residuos estandarizados
shapiro.test(x = residuos_estandarizados)
```

Considerando una confianza del 95%, el valor-p de 0.1177 no es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos (estandarizados) tienen distribución normal.

En caso de que la cantidad de datos sea mayor a 5000, el comando `shapiro.test()` fallará. En su lugar, es posible usar el comando `ks.test()`, un ejemplo con los residuos del ejemplo anterior es

```{r fig.align='center', warning=FALSE}
ks.test(residuos_estandarizados, "pnorm", 0, 1)
```

Una tercera opción es utilizar el comando `ad.test()` de la librería **nortest**

```{r fig.align='center'}
library(nortest)
ad.test(residuos_estandarizados)
```

#### Homocedasticidad

Este supuesto hace referencia a la necesidad de una varianza constante de los residuos. Para verificar esto, se grafican los residuos estandarizados del modelo versus los valores de la variable predictora (o variable predicha, $\widehat{y}$). Se busca que las amplitudes verticales en las figuras sean similares en la medida que se recorre el eje de las abscisas. Similarmente, es posible ejecutar una prueba de hipótesis (Breucsh - Pagan) en R con el comando `bptest()` de la librería **lmtest**, siendo

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Los residuos tienen varianza constante}\\
H_1&: \text{Los residuos NO tienen varianza constante}\\
\end{split}
\end{equation}
```

```{r fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center'}
valores_predichos = modelo$fitted.values
ggplot(data = datos) +
  geom_point(aes(x = valores_predichos,
                 y = residuos_estandarizados)) +
  geom_hline(yintercept = 0) +
  labs(x = "Valores predichos", y  = "Residuos estandarizados")
```

Las amplitudes verticales no tiene un patrón claro de cambio (puede ser difícil de interpretar), por lo que utilizaremos la prueba de Breucsh - Pagan para decidir.

```{r message=FALSE}
library(lmtest)
bptest(formula = Valor.Patrimonio ~ Valor.Cuota,
       data = datos)
```

Considerando una confianza del 95%, el valor-p de 0.5835 no es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos tienen varianza constante (homocedasticidad).

#### Independencia

El último supuesto corresponde a la independencia de los residuos, es decir que, no deben estar correlacionados entre ellos (autocorrelación igual a 0). La prueba de hipótesis de Durbin - Watson está diseñada para detectar autocorrelación en los residuos. Para ejecutar esta prueba en R se debe utilizar la función `dwtest()` de la librería **lmtest**. La hipótesis es

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Autocorrelación de los residuos es igual a 0}\\
H_1&: \text{Autocorrelación de los residuos es distinta de 0}\\
\end{split}
\end{equation}
```

```{r}
# Prueba de Durbin Watson
dwtest(formula = Valor.Patrimonio ~ Valor.Cuota,
       data = datos,
       alternative = "two.sided")
```

Considerando una confianza del 95%, el valor-p de $2.2 \times 10^{-16}$ es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos no son independientes (autocorrelación distinta de 0).

**Conclusión**: En resumen, se han cumplido 3 de los 4 supuestos planteados. Esto es muy común que suceda en la realidad, además de existir diversos factores que influyen en los resultados vistos.

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Ingreso](#Ingreso), ajuste el modelo:

$$\widehat{Y}_{\text{Logro}} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1X_{\text{NEM}}$$
Luego,

1.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
2.  Verifique los supuestos del modelo, utilizando una confianza del 95% cuando corresponda.
:::

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Pacientes](#Pacientes), elabore un modelo para estudiar la variable *oldpeak* a través de la variable *chol*. Estudie los supuestos del modelo, utilizando una confianza del 92%.
:::

::: {.exercise}
La base de datos [*terremotos.csv*](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%202/terremotos.csv), contiene datos sobre los terremotos ocurridos a nivel mundial entre los años 1900 y 2014. Las columnas de la base de datos son:

-   Ano: año de ocurrencia del terremoto.
-   Latitud: grados decimales de la coordenada de latitud (valores negativos para latitudes del sur).
-   Longitud: grados decimales de la coordenada de longitud (valores negativos para longitudes occidentales).
-   Profundidad: profundidad del evento en kilómetros.
-   Magnitud: magnitud del evento (la escala no es fija, ya que, a través de los años, la escala a cambiado según el método de medición. Sin embargo, todos las magnitudes son comparables, indicando que a mayor magnitud, mayor es la intensidad en movimiento/fuerza del terremoto).

Ajuste los siguientes modelos:

-   $Y_{\text{Magnitud}} = \beta_0 + \beta_1X_{\text{Profundidad}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$

-   $Y_{\text{Magnitud}} = \beta_0 + \beta_1X_{\text{Latitud}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$

Luego, para cada modelo:

1.  Estudie la relación entre la variable dependiente e independiente mediante gráficos de dispersión.
2.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
3.  Interprete los betas estimados.
4.  Estudie los supuestos del modelo, utilizando una confianza del 98%.
:::

## Regresión lineal múltiple

A diferencia de la regresión lineal simple, la regresión lineal múltiple (RLM) hace uso de más de una variable independiente para modelar el comportamiento de variable de estudio [@Devore, página 528]. La expresión de un modelo de regresión múltiple es:

```{=tex}
\begin{equation}
Y = X\beta + \epsilon
(\#eq:multiple1)
\end{equation}
```
con $\epsilon \sim N(0,\sigma^2I)$ independientes. Es detalles de las matrices es el siguiente,

```{=tex}
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
y_1\\
y_2\\
\vdots\\
y_n
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & x_{11} & x_{12} & \cdots & x_{1k}\\
1 & x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2k}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nk}\\
\end{pmatrix} 
\begin{pmatrix}
\beta_0\\
\beta_1\\
\vdots \\
\beta_k\\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
\epsilon_1\\
\epsilon_2\\
\vdots \\
\epsilon_n\\
\end{pmatrix}.
(\#eq:multiple2)
\end{equation}
```

Una expresión equivalente es:

```{=tex}
\begin{equation}
y_i = \beta_0 + \sum_{j=1}^k x_{ij}\beta_j +\epsilon_i\text{, } i = 1,\dots,n \text{, } \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
(\#eq:multiple3)
\end{equation}
```

### Estimadores de mínimos cuadrados {#EMC-RLM-CUERPO}

Al igual que el una regresión lineal simple, se busca minimizar la **suma cuadrática de los errores** (SCE). Sin embargo, al trabajar con matrices, el proceso de minimización de la SCE da como resultado los siguientes estimadores de mínimos cuadrados (EMC), valores ajustados y residuos.

```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{Y} = X\widehat{\beta}
(\#eq:ecuacionajustadamultiple)
\end{equation}
```
```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{\beta} = (X^tX)^{-1}X^tY
(\#eq:betasestimadosmultiple)
\end{equation}
```
```{=tex}
\begin{equation}
\widehat{Y} = X(X^tX)^{-1}X^tY
(\#eq:ygorromultiple)
\end{equation}
```
Además, los residuos se calculan como

```{=tex}
\begin{equation}
e = Y - \widehat{Y}
(\#eq:residuosmultiple)
\end{equation}
```

Cabe mencionar, que se mantiene la igualdad respecto a la descomposición de la SCT expresada en la ecuación \@ref(eq:descomposicion-sct).

::: blackbox
::: {#MultipleManual .example}
Utilizando la base de datos [Imacec](#Imacec3) , se debe considerar un modelo que estudie el valor del Imacec de Minería a base del Imacec de Industria y del Año de medición, con el fin de determinar los beta estimados, los valores ajustados y los errores del modelo, mediante las fórmulas explicadas anteriormente.

Los modelos poblacional y ajustado son:

-   Modelo poblacional: 
```{=tex}
\begin{equation}
\notag
Y_{\text{Imacec Minería}} = \beta_0 + \beta_1X_{\text{Año}} + \beta_2X_{\text{Imacec Industria}} + \epsilon \text{, } \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
\end{equation}
```

-   Modelo ajustado: 
```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\widehat{Y}_{\text{Imacec Minería}} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_1X_{\text{Año}} + \widehat{\beta}_2X_{\text{Imacec Industria}}
\end{equation}
```

```{r, echo=FALSE}
df = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2022-2/Estad%C3%ADstica%201/imacec.csv")
```

```{r}
# Cargamos previamente la base de datos, guardándola previamente con el nombre "df"

# Para conformar la matriz de covariables (X) extraemos las columnas relevantes de la base de datos
X = df[,c(1,4)] # Año e Imacec de Industria
# Agregamos la columna de unos que debe ir antes de las otras
X = cbind(1, X)
# Cambiamos el formato de X a matriz
X = as.matrix(X)
# Extraemos la variable independiente (en formato de matriz)
Y = as.matrix(df$Mineria)
# Determinemos los estimadores de los beta
betas.gorro = solve(t(X)%*%X)%*%t(X)%*%Y
# El comando solve() calcula la inversa de una matriz.
# el operador %*% es para multiplicar matrices.
# El comando t() es para calcular una matriz traspuesta de una matriz.
```

Los valores estimados de los beta son

```{r}
betas.gorro
```

Los valores ajustados son

```{r}
y.gorro = X%*%betas.gorro
head(y.gorro)
```

Los residuos del modelo son

```{r}
residuos = Y - y.gorro
head(residuos)
```

La ecuación de regresión ajustada es:

$$
\widehat{Y}_{\text{Imacec Minería}} = 3293.79 -1.59X_{\text{Año}} + 0.32X_{\text{Imacec Industria}}
$$
:::
:::

El modelo ajustado del ejemplo \@ref(exm:MultipleManual) se elabora con el siguiente comando en R:

```{r}
modelo = lm(Mineria ~ Ano + Industria, data = df)
modelo
```

La interpretación de los beta estimados es similar a la vista en regresión lineal simple, aunque la estructura de la expresión ya no es una recta como tal. Considerando la salida correspondiente al ejemplo \@ref(exm:MultipleManual):

-   $\widehat{\beta}_0$: en la salida de R tiene el nombre de **Intercept**, su interpretación es igual a la vista en regresión lineal, es decir, corresponde al valor esperado de $y$ cuando las covariables tienen un valor nulo (igual a 0).

    Respecto al ejemplo, se interpreta que, cuando se está en el año 0 y, el valor del Imacec de industria es de 0 puntos, entonces, el valor promedio (o esperado) del Imacec de Minería es de $\widehat{\beta}_0 = 3293.79$. Este valor carece de sentido, ya que el Imacec se empezó a utilizar en 1984, por lo que sería recomendable ajustar los años para considerar el tiempo inicial en 0 (1984).

-   $\widehat{\beta}_j$: dado un cambio en una unidad de medida de variable $x_j$ (considerando que el resto de covariables se mantiene constante), en promedio, la variable $y$ se ve afectada (aumenta o disminuye) en $\widehat{\beta}_j$ unidades.

    Respecto al ejemplo:

-   $\widehat{\beta}_1 = -1.598$: Por cada año que transcurre, el Imacec de Minería disminuye en promedio $1.598$ unidades. Considerando que el resto de covariables se mantiene constante.

-   $\widehat{\beta}_2 = 0.322$: Por cada unidad que aumenta el Imacec de Industria, el Imacec de Minería aumenta en promedio $0.322$ unidades. Considerando que el resto de covariables se mantiene constante.

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Pacientes](#Pacientes):

1. Ajuste un modelo para estudiar la presión arterial en reposo, a partir de la edad, frecuencia cardíaca máxima alcanzada y el nivel de colesterol del paciente.
2. Interprete los parámetros estimados.
3. Escriba el modelo poblacional y la ecuación de regresión ajustada.
:::

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Ingreso](#Ingreso):

1. Ajuste un modelo para estudiar la variable *Logro* a partir de las variables *LEN* y *NEM*.
2. Interprete los parámetros estimados.
3. Escriba el modelo poblacional y la ecuación de regresión ajustada.
:::

### Covariables cualitativas {#covariables-cualitativas}

En un modelo de regresión lineal es posible utilizar variable cualitativas, para ello es necesario usar variables indicadoras que toman los valores 0 o 1 [@neter]. Por ejemplo, consideremos un extracto de la base de datos del Imacec del ejemplo \@ref(exm:MultipleManual), el cual contenga únicamente los valores asociados a los meses de enero y febrero.

```{r}
extracto = df[df$Mes %in% c("ene", "feb"),]
str(extracto)
```

Suponiendo que, se desea estudiar el Imacec de Minería a través del Imacec de Industria y el mes de medición, el modelo poblacional es el siguiente:

$$Y_{\text{Imacec Minería}} = \beta_0 + \beta_1X_{\text{Imacec Industria}} + \beta_2I_{\text{Mes = febrero}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$$

La covariable $I_{\text{Mes = febrero}}$ corresponde a una indicatriz, esta función vale 1 para el mes que se especifica (febrero en este caso) y 0 en otro caso (más detalles en el anexo \@ref(funcion-indicatriz)). El valor del `Mes` que no se observa en el modelo es llamado **categoría de referencia**. Ajustando el modelo en R se obtiene el siguiente resumen.

```{r}
modelo_con_categorias = lm(Mineria ~ Industria + Mes, data = extracto) 
summary(modelo_con_categorias)
```

Es posible apreciar, que de los betas estimados, el que está asociado a la variable `Mes` solo corresponde al valor de `febrero`. En este sentido, la interpretación de $\widehat{\beta}_2$ es la siguiente: Cuando el mes de medición es en febrero, el Imacec de Minería es en promedio 6.92 unidades inferior al mes de enero.

La ecuación de regresión ajustada es:

$$\widehat{Y}_{\text{Imacec Minería}} = 111.086 - 0.186X_{\text{Imacec Industria}} - 6.920I_{\text{Mes = febrero}}$$

La forma en la que R selecciona la categoría de referencia es alfanumérica, sin embargo, es posible asignarla manualmente mediante el comando `as.factor()`.

Para modelos que consideren variables con más opciones de categoría, se debe agregar una indicatriz por cada categoría a excepción de la categoría de referencia. Por ejemplo, si consideramos un modelo que estudie el el Imacec de Minería a través del Imacec de Industria y el Mes, siendo está última una variable con tres opciones (marzo, abril y mayo). El modelo poblacional es el siguiente:

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
Y_{\text{Imacec Minería}} = &\beta_0 + \beta_1X_{\text{Imacec Industria}} + \beta_2I_{\text{Mes = abril}} + \\
&\beta_3I_{\text{Mes = mayo}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)\\
\end{split}
\end{equation}
```

Se puede observar, que dado el modelo poblacional planteado, la categoría de referencia de la variable Mes corresponde a marzo.

::: {.exercise}
Utilizando la base de datos [Pacientes](#Pacientes), ajuste el siguiente modelo.

$$
Y_{\text{Logro}} = \beta_0 + \beta_1I_{\text{Sexo = Hombre}} + \beta_2X_{\text{NEM}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
$$ 
Luego,

1.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
2.  Interprete los betas estimados.
:::

::: {.exercise #co2}
La base de datos *CO2* (propia de R) contiene datos de una experimento sobre la tolerancia al frío de la especie de pasto Echinochloa crus-galli. Las columnas son las siguientes:

-   Plant: Identificador del tipo de planta.
-   Type: Lugar de origen de la planta.
-   Treatment: indica si la planta fue refrigerada (chilled) o no (nonchilled).
-   conc: Concentraciones ambientales de dióxido de carbono (ml/L).
-   uptake: Tasas de absorción de dióxido de carbono (umol/$m^2$ seg) de las plantas.

Ajuste el siguiente modelo:

$$
Y_{\text{uptake}} = \beta_0 + \beta_1I_{\text{Type = Mississippi}} + \beta_2I_{\text{Treatment = chilled}} +  \beta_3X_{\text{conc}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
$$
Luego,

1.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
2.  Interprete los betas estimados.
:::

### Pruebas de hipótesis

Las hipótesis de no nulidad asociadas a cada uno de los betas se plantean de la misma forma que se ha visto en el caso de regresión lineal simple. La única diferencia radica en el valor- p de la prueba **F-statistic**, el cual es diferente al valor-p de la prueba asociada a $\widehat{\beta}_1$.

Considerando el modelo ajustado en el ejemplo \@ref(exm:MultipleManual), la ecuación de regresión ajustada es:

$$
\widehat{Y}_{\text{Imacec Minería}} = 3293.79  -1.59X_{\text{Año}} + 0.32X_{\text{Imacec Industria}}
$$

El resumen del modelo ajustado en R es el siguiente.

```{r}
summary(modelo)
```

Respecto a las pruebas de hipótesis de cada uno de los beta,

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0:&\beta_j = 0\\
H_1:&\beta_j \neq 0\\
\end{split}
\end{equation}
```

El criterio de rechazo es:

```{=tex}
\begin{equation}
|t_0| \geq t_{1-\alpha/2, n-k-1}
(\#eq:valor-critico-cada-beta-RLM)
\end{equation}
```

donde $n$ es el tamaño de la muestra y $k$ es la cantidad de covariables del modelo. 

Para el ejemplo planteado, se observa que todos lo betas estimados son significativos para una confianza del 95%. 


Respecto a la prueba de hipótesis de no nulidad conjunta, se aprecia que el valor-p (0.01405) es menor a 0.05, por lo cual, se asume que al menos uno de los beta que acompañan a las covariables es distinto de cero. Las hipótesis involucradas son las siguientes:

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0:& \beta_1 = \ldots  = \beta_k = 0\\
H_1:&\text{ Al menos uno de los beta es distinto de 0}\\
\end{split}
\end{equation}
```

A diferencia del estadístico expresado en la ecuación \@ref(eq:estadistico-F-RLS), la expresión del criterio de rechazo para esta prueba es:

```{=tex}
\begin{equation}
F_0 = \frac{\text{MCReg}}{\text{MCE}} \geq F_{1-\alpha, k, n-k-1},
(\#eq:estadistico-F-RLM)
\end{equation}
```

donde,

```{=tex}
\begin{equation}
\text{MCReg} = \frac{\text{SCReg}}{k} 
(\#eq:MCReg)
\end{equation}
```

para una significancia $\alpha$ y $k$ variables predictoras. Además, la expresión asociada al MCE también cambia, para ello refiérase a la sección \@ref(metricasRLM).

::: {.exercise}
Plantear y estudiar las hipótesis asociadas al modelo ajustado en el ejercicio \@ref(exr:co2), utilizando una confianza del 95%.
:::

::: {.exercise #calidad-aire}
La base de datos *airquality* (propia de R) contiene mediciones diarias de la calidad del aire en Nueva York, de mayo a septiembre de 1973. Las columnas son las siguientes:

-   Ozone: Ozono medio en partes por billón.
-   Solar.R: Radiación solar en Langley.
-   Wind: Velocidad promedio del viento en millas por hora.
-   Temp: Temperatura máxima diaria en grados Fahrenheit.
-   Month: Mes de medición.
-   Day: Día de medición.

Elimine los datos faltantes de la base de datos utilizando el comando `na.omit()`.

Considere el siguiente modelo

$$
Y_{\text{Ozone}} = \beta_0 + \beta_1X_{\text{Solar.R}} + \beta_2X_{\text{Temp}} + \beta_3X_{\text{Wind}} + \epsilon, \epsilon_i \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)
$$

Luego,

1.  Ajuste el modelo R.
2.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
3.  Interprete los beta estimados.
4.  Estudie las hipótesis asociadas a los betas, utilizando una confianza del 95%.
:::

### Métricas {#metricasRLM}

Al igual que en la regresión lineal simple, contamos con los valores de **Residual standard error** y con el **Multiple R-squared**. Sin embargo, este último no es óptimo es su interpretación, ya que un modelo de regresión lineal múltiple mientras más covariables utilice, mayor será su $R^2$, aunque estas no sean significativas. Para penalizar esto, se debe observar el **Adjusted R-squared**, el cual corrige este valor, según la cantidad de covariables que se utilizan en el modelo. Y al igual que para el $R^2$, se desean valores altos, dándose la misma interpretación al valor.

En términos de la ecuación \@ref(eq:descomposicion-sct) se tienen las siguientes igualdades:

- Residual standard error: a diferencia de lo mostrado en \@ref(eq:sigma2-estimador), la cantidad de parámetros es variable y se denota con la letra $k$, por lo cual, el estimador es el siguiente.

  ```{=tex}
  \begin{equation}
  \widehat{\sigma}^2 = \frac{\text{SCE}}{n-k-1} = \text{MCE},
  (\#eq:error-estandar-residual-RLM)
  \end{equation}
  ```
  Luego, el valor del  error estándar residual ($\widehat{\sigma}$) es igual a $\sqrt{\text{MCE}}$.
  
- Adjusted R-squared: se agrega una penalización respecto a la cantidad de covariables ($k$) incluidas en el modelo. Luego, la expresión correspondiente es la siguiente.

  ```{=tex}
  \begin{equation}
  \bar{R}^2 = 1-\left(\frac{n-1}{(n-k-1)}\right)(1-R^2)
  (\#eq:r2-ajustado)
  \end{equation}
  ```
  
  Una característica importante de esta métrica de ajuste es que, tanto el  $R^2$ como el $\bar{R}^2$ aumentan a medida que se incluyen más covariables en el modelo  (consulte el anexo \@ref(R2-no-decreciente) para estudiar esta característica). Sin embargo, este último penaliza el valor del $R^2$ en función de la cantidad de covariables incluidas en este.
  
Respecto al ejemplo \@ref(exm:MultipleManual), la salida de resumen del modelo en R es:

```{r}
# Guardamos el resumen como una variable
resumen = summary(modelo)
# Consultamos las métricas de manera directa
print(c("Error estándar residual" = resumen$sigma, "R cuadrado ajustado" = resumen$adj.r.squared))
```

-   **Residual standard error**: corresponde a la desviación estándar de los residuos, la cual, toma una valor de 6.238. Este número se utiliza para comparar modelos, prefiriendo aquel que tenga un menor valor.

-   **Adjusted R-squared**: El valor del $R^2$ ajustado toma una valor de 0.1209, lo cual, indica que un 12.09% del comportamiento (variabilidad) del Imacec de Minería (variable independiente) es explicado por las covariables (es decir, el modelo) a través de una relación lineal múltiple. Este valor, también se suele ocupar para comparar modelos, prefiriéndose un modelo con mayor $R^2$ ajustado.

::: exercise
Interprete las métricas del modelo desarrollado en el ejercicio \@ref(exr:calidad-aire).
:::

::: {.exercise}
A continuación, se trabaja con una base (de 607 filas) que contiene datos referentes a salarios de trabajos de ciencia de datos. Las columnas de la base de datos son las siguientes:

```{r echo=FALSE}
datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/salariosds.csv")
datos = datos[,c(1,2,7,11)]
colnames(datos) = c("workYear", "experienceLevel", "salaryInUSD", "companySize")
modelo = lm(salaryInUSD ~ workYear + companySize, data = datos)
SCT = round(sum((datos$salaryInUSD - mean(datos$salaryInUSD))^2))
SCReg = round(sum((modelo$fitted.values - mean(datos$salaryInUSD))^2))
```

- workYear: El año en que se pagó el salario.
- experienceLevel: El nivel de experiencia en el trabajo durante el año con los siguientes valores posibles: EN (Entry-level/Junior), MI (Mid-level/Intermedio), SE (Senior-level/Experto), EX (Executive-level/Director).
- salaryInUSD: El salario en USD (tasa de cambio dividida por la tasa promedio de USD para el año respectivo a través de fxdata.foorilla.com).
- companySize: El número promedio de personas que trabajaron para la empresa durante el año: S menos de 50 empleados (pequeño), M de 50 a 250 empleados (mediano), L más de 250 empleados (grande).

Se ejecutó en R el comando: 

```{r eval=FALSE}
lm(salaryInUSD ~ workYear + companySize, data = datos)
```

Los valores de SCT y SCReg son $`r SCT`$ y $`r SCReg`$, respectivamente. Suponiendo que se ha utilizado la base de datos mencionada, calcule el R cuadrado ajustado y $F_0$.
:::

::: {.exercise}
Considera una base que contiene datos (de 303 filas) respecto a los ataques al corazón de distintos pacientes hospitalarios. Las columnas de la base de datos son las siguientes:

- sex: sexo del paciente (Hombre: H y  Mujer: M).
- trtbps: presión arterial en reposo (en mm Hg).
- thalachh: frecuencia cardíaca máxima alcanzada (en latidos por minuto).
- oldpeak: tiempo de duración del último ataque al corazón (en minutos).

```{r echo=FALSE}
datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Heart2.csv")
datos$sex = factor(datos$sex, levels = c("M", "H"))
modelo = lm(oldpeak ~ trtbps + sex, data = datos)
SCT = round(sum((datos$oldpeak - mean(datos$oldpeak))^2))
SCReg = round(sum((modelo$fitted.values - mean(datos$oldpeak))^2))
```

Se ejecutó en R el comando: 

```{r echo=FALSE}
lm(oldpeak ~ trtbps + sex, data = datos)
```

Los valores de SCT y SCReg son $`r SCT`$ y $`r SCReg`$, respectivamente. Suponiendo que se ha utilizado la base de datos mencionada, calcule MCE, MCReg y $F_0$.
:::


### Supuestos

Al igual que en la regresión lineal simple, lo supuestos a verificar son:

1.  **Linealidad**: se requiere que la relación entre la variable de estudio y cada una de las covariables sea lineal. Sin embargo, cuando se tiene una gran cantidad de covariables es mejor estudiar el gráfico de residuos (eje Y) versus los valores ajustados $\widehat{Y}_i$ (eje X); se busca que no existan patrones o formas.

2.  **Normalidad**: Los residuos estandarizados tiene distribución normal con media 0 y varianza 1. Procedimiento idéntico al utilizado en la regresión lineal simple.

3.  **Homocedasticidad**: Los residuos estandarizados tienen varianza constante. Procedimiento idéntico al utilizado en la regresión lineal simple.

4.  **Independencia**: Los residuos estandarizados son independientes. Procedimiento idéntico al utilizado en la regresión lineal simple.

Por otro lado, aparece un nuevo fenómeno llamado colinealidad entre las variables predictoras (multicolinealidad). La colinealidad indica que las covariables están correlacionadas entre si (correlación lineal). Es normal y esperable que esto suceda en alguna medida con las covariables de una base de datos. El problema surge, cuando hay como mínimo dos variables cuya correlación es fuerte, ya que esto provoca que ambas variables traten de explicar la misma "información" (variabilidad) de la variable respuesta. En temas posteriores, se abordarán técnicas para evitar la ocurrencia de este fenómeno.

::: blackbox
::: example
Utilizando el modelo ajustado en el ejemplo \@ref(exm:MultipleManual), verifique los supuestos para la regresión construida, utilizando una confianza del 95%.

```{r}
modelo = lm(Mineria ~ Ano + Industria, data = df)
```

1.  **Linealidad**

```{r fig.width=6, fig.height=2, fig.align='center'}
ggplot(data = data.frame("Y_Gorro" = df$Mineria, "Residuos" = residuals(modelo)),
       aes(x = Residuos, y = Y_Gorro)) +
  geom_point() +
  labs(y = "Valores \n ajustados")
```

Existe un claro patrón lineal, por lo cual, no se estaría cumpliendo con el supuesto de linealidad.

2.  **Normalidad**

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Los residuos estandarizados tienen distribución Normal}\\
H_1&: \text{Los residuos estandarizados NO tienen distribución Normal}\\
\end{split}
\end{equation}
```

```{r}
r_e = rstandard(modelo) # residuos estandarizados
shapiro.test(x = r_e)
```

El valor-p de 0.8738 no es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, no existe suficiente evidencia estadística para rechaza la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos tienen distribución normal.Considerando una confianza del 95%.

3.  **Homocedasticidad**

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Los residuos tienen varianza constante}\\
H_1&: \text{Los residuos NO tienen varianza constante}\\
\end{split}
\end{equation}
```

```{r fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center'}
df$Valores.ajustados = modelo$fitted.values
ggplot(data = df, aes(x = Valores.ajustados, y = r_e)) +
  geom_point() + geom_hline(yintercept = 0) +
  labs(x = "Valores ajustados", y = "Residuos estandarizados")
```

No se evidencia patrones en la amplitud de los residuos, por lo que se asume homocedasticidad. Verificamos mediante la prueba de hipótesis correspondiente

```{r}
bptest(formula = Mineria ~ Ano + Industria, data = df)
```

El valor-p de 0.482 no es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, no existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos tiene varianza constante. Considerando una confianza del 95%.

4.  **Independencia**

```{=tex}
\begin{equation}
\notag
\begin{split}
H_0&: \text{Autocorrelación de los residuos es igual a 0}\\
H_1&: \text{Autocorrelación de los residuos es distinta de 0}\\
\end{split}
\end{equation}
```

```{r}
dwtest(formula = Mineria ~ Ano + Industria, data = df, alternative = "two.sided")
```

El valor-p de 0.0009 es menor o igual a la significancia de 0.05, por lo cual, existe suficiente evidencia estadística para rechazar la hipótesis nula, es decir, se asume que los residuos no son independientes. Considerando una confianza del 95%.

:::
:::

::: exercise
Considere los modelos ajustados en:

-   El ejercicio \@ref(exr:co2).
-   El ejercicio \@ref(exr:calidad-aire).

Estudie los supuestos del modelo, además escriba las hipótesis asociadas a los supuestos cuando corresponda, utilizando una confianza del 95%.
:::

## Selección de variables

La selección de métodos le permite especificar cómo se introducen las variables independientes en el análisis. Usando diferentes métodos, puede construir una variedad de modelos de regresión a partir del mismo conjunto de variables.

Dentro de las utilidades de usar un método para la selección de variables están:

-   Evitar la colinealidad entre las covaribles.
-   Generar modelos parsimoniosos.

A continuación se dan a conocer algunos de los métodos de selección de variables.

### Forward

Corresponde a un procedimiento de selección de variables paso a paso en el que las variables se ingresan secuencialmente en el modelo. La primera variable considerada para entrar en la ecuación de regresión es la que tiene la mayor correlación positiva o negativa con la variable dependiente. Esta variable se ingresa en la ecuación solo si cumple el criterio de entrada. Si se ingresa la primera variable, la variable independiente que no está en la ecuación y que tiene la mayor correlación parcial se considera a continuación. El procedimiento se detiene cuando no hay variables que cumplan con el criterio de entrada.

Los pasos detallados son los siguientes:

1.  Sea $X_1$ la primera variable en ingresar al modelo, la que corresponde al predictor con mayor coeficiente de correlación lineal en valor absoluto con la variable respuesta.
2.  Ajustar el modelo $Y \sim X_1$. Si el modelo es significativo, continuar la selección. En caso contrario, reportar el modelo $Y = \beta_0$.
3.  Ajustar el modelo $Y \sim X_1 + X_j$ para todo $j = 2, \ldots , (p -1)$. Ingresar al modelo la variable con el mayor estadístico $F$ parcial dado $X_1$ (el menor valor-p) que sea significativo. Si no existen predictores significativos, reportar el modelo $Y \sim X_1$.
4.  Proseguir hasta que:
    -   Se llegue a un número predeterminado de predictores en el modelo, o
    -   No se obtengan estadísticos $F$ significativos.

El estadístico $F$ mencionado en la metodología *forward* prueba la siguiente hipótesis:

```{=tex}
\begin{equation}
\begin{split}
H_0 &: \text{ La correlación parcial entre } X_j \text{ e } Y, \text{ dados } X_1, \ldots , X_{j-1}, \text{ es igual a cero}\\
H_1 &: \text{ La correlación parcial entre } X_j \text{ e } Y, \text{ dados } X_1, \ldots , X_{j-1}, \text{ es distinta cero}
\end{split}
(\#eq:forward)
\end{equation}
```
Más detalles del funcionamiento de este estadístico en el anexo \@ref(F-forward).

::: blackbox
::: {#forward1 .example}
Considerando el ejercicio \@ref(exr:ingreso), elabore un modelo para estudiar la proporción de logro obtenida en el diagnóstico de lenguaje, seleccionado las variables independientes mediante el método *forward*.

```{r, echo=FALSE}
datos = read.csv("https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Ingreso%2Buniversidad.csv")
```

```{r}
# Cargamos la base de datos previamente, guardándola con el nombre "datos"

# Planteamos un modelo vacío sin covariables, solo intercepto
modelo.nulo = lm(Logro ~ 1, data = datos)
# Planteamos un modelo con todas las covariables
modelo.total = lm(Logro ~ ., data = datos)
modelo.final = step(modelo.nulo, # Modelo nulo
                    scope = list(lower = formula(modelo.nulo), # Rango inicial de modelos examinados
                                 upper = formula(modelo.total)), # Rango final de modelos examinados
                    direction = "forward", # Método de selección de variables
                    trace = 0, # Si es igual a 0, no imprime todos los modelos que va elaborando, solo imprime el modelo final
                    test = "F") # Estadístico utilizado
summary(modelo.final)
```

¿Qué es posible comentar respecto a la inclusión de la variable Sexo en el modelo?
:::
:::

::: {#forward2 .exercise}
Considerando el ejercicio \@ref(exr:co2), elabore un modelo para estudiar la tasa de absorción de dióxido de carbono de las plantas, seleccionado las variables independientes mediante el método *forward*. Interprete los betas estimados, analice las pruebas de hipótesis asociadas a los betas e interprete el $R^2$ ajustado del modelo. Se recomienda aplicar el siguiente código de manera previa:

```{r eval = F}
data = CO2
data$Plant = factor(data$Plant, ordered = F)
```
:::

::: {#forward3 .exercise}
Considerando el ejercicio \@ref(exr:calidad-aire), elabore un modelo para estudiar la concentración de Ozono en el aire, seleccionado las variables independientes mediante el método *forward*. Interprete los betas estimados, analice las pruebas de hipótesis asociadas a los betas e interprete el $R^2$ ajustado del modelo.
:::

### Backward

Al contrario de la metodología *forward*, la metodología *backward* realiza una eliminación de variables considerando como punto de partida el modelo que contiene todas las covariables. Los pasos detallados son los siguientes:

1.  Ajustar el modelo completo $(p − 1)$ veces, de modo de obtener los $(p − 1)$ estadísticos $F$ parciales, dado que todas las variables restantes ya están en el modelo.
2.  Eliminar el predictor con el menor estadístico $F$ parcial (mayor valor-p) que no sea significativo. En caso de ser todos significativos, reportar el modelo completo.
3.  Ajustar el modelo con los $(p − 2)$ predictores restantes, de modo de obtener los estadísticos $F$ parciales de cada uno de ellos. Eliminar el predictor con el menor estadístico $F$ parcial (mayor valor-p) que no sea significativo. En caso de ser todos significativos, reportar el modelo con $(p − 2)$ predictores.
4.  Proseguir hasta que:
    -   Se llegue a un número predeterminado de predictores en el modelo, o
    -   Todos los estadísticos $F$ parciales sean significativos.

El estadístico $F$ es el mismo que el aplicado en la metodología *forward*.

::: blackbox
::: {#backward1 .example}
Considerando el ejercicio \@ref(exr:calidad-aire), elabore un modelo para estudiar la concentración de Ozono, seleccionado las variables independientes mediante el método *backward*.

```{r}
datos = airquality
datos = na.omit(datos)
# Planteamos un modelo vacío sin covariables, solo intercepto
modelo.nulo = lm(Ozone ~ 1, data = datos)
# Planteamos un modelo con todas las covariables
modelo.total = lm(Ozone ~ ., data = datos)
modelo.final = step(modelo.total, # Modelo total
                    scope = list(lower = formula(modelo.nulo), # Rango inicial de modelos examinados
                                 upper = formula(modelo.total)), # Rango final de modelos examinados
                    direction = "backward", # Método de selección de variables
                    trace = 0, # Si es igual a 0, no imprime todos los modelos que va elaborando, solo imprime el modelo final
                    test = "F") # Estadístico utilizado
summary(modelo.final)
```
:::
:::

::: {#contaminacion .exercise}
En un estudio para explicar la tasa máxima de flujo de seis sectores de drenaje después de una tormenta, se desea analizar la relación entre el logaritmo de esta tasa (logq) y los siguientes predictores ([*contaminacion.txt*](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/drenaje.txt)), a través de un modelo de regresión lineal múltiple:

-   area: área del sector de drenaje.
-   area2: área impermeabilizada.
-   pendiente: pendiente media del sector.
-   largo: largo del flujo.
-   absorbencia: índice de absorbencia de la superficie (0: absorbencia total, 100: no absorbencia).
-   capacidad: capacidad estimada de almacenamiento del suelo.
-   infiltracion: tasa de infiltración del agua en el suelo.
-   lluvia: pulgadas de lluvia caída.
-   tiempo: tiempo en el cual la lluvia excedió 1/4 pulgadas/hora.

Determine dos modelos utilizando las metodologías forward y backward. Compare ambos modelos mediante el $R^2$ ajustado. ¿Cuál modelo eligiría para estudiar la varible *logq*?
:::

## Predicción de observaciones

Es natural estar interesado en estudiar nuevas observaciones en un estudio, por ejemplo, si se construye una regresión lineal simple para estudiar el valor de dólar a través del PIB y el ICC, es posible que surja la pregunta ¿cuál será el valor del dólar para una PIB e ICC determinado? (considere que dichos valores del PIB e ICC no se encuentran en la muestra). Para responder a esto, es posible construir un denominado intervalo de predicción. Sin embargo, existe otro tipo de intervalo muy común, denominado intervalo de confianza. La distinción entre estos dos tipos de intervalos es la siguiente [@fahrmeir_regression_2013, página 125]:

-   Un intervalo de predicción es un intervalo asociado con una variable aleatoria aún por observar, con una probabilidad específica de que la variable aleatoria se encuentre dentro del intervalo.

-   Un intervalo de confianza es un intervalo asociado a un parámetro. Se supone que el parámetro no es aleatorio sino desconocido, y el intervalo de confianza se calcula a partir de los datos, con una probabilidad específica de que el intervalo contenga al parámetro.

Consideremos la base de datos *airquality* del ejercicio \@ref(exr:calidad-aire). Para visualizar la diferencia entre los dos tipos de intervalos ajustemos una regresión lineal simple para estudiar la tasa de absorción del dióxido de carbono a través de la temperatura.

```{r}
datos = airquality
datos = na.omit(datos)
modelo = lm(Ozone ~ Temp, data = datos) # Modelo
```

Al momento de obtener la información de los intervalos de confianza y predicción se incluye el valor central del intervalo (el mismo para ambos), además del valor inferior y superior de cada uno.

```{r warning=FALSE}
I_confianza = predict.lm(modelo, interval = "confidence") # Intervalos de confianza
I_prediccion = predict.lm(modelo, interval = "prediction") # Intervalos de predicción
head(I_confianza,3)
head(I_prediccion,3)
```

El gráfico \@ref(fig:IC-IP) refleja los dos tipos de intervalo.

```{r IC-IP, fig.width=6, fig.height=3, fig.align='center', fig.cap="Intervalo de confianza y predicción"}
df_grafico = data.frame("y" = datos$Ozone, 
                        "x" = datos$Temp,
                        "Confianza_lower" = I_confianza[,2],
                        "Confianza_upper" = I_confianza[,3],
                        "Prediccion_lower" = I_prediccion[,2],
                        "Prediccion_upper" = I_prediccion[,3])
library(ggplot2)
ggplot(data = df_grafico, aes(x = x, y = y)) + geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", formula = y ~ x, se = FALSE, linewidth = 0.5) +
  geom_line(aes(x = x, y = Confianza_lower, color = "IC"), linetype = 2) +
  geom_line(aes(x = x, y = Confianza_upper, color = "IC"), linetype = 2) +
  geom_line(aes(x = x, y = Prediccion_lower, color = "IP"), linetype = 2) +
  geom_line(aes(x = x, y = Prediccion_upper, color = "IP"), linetype = 2) +
  labs(x = "Temperatura" , y = "Ozono", color = "Intervalos",
       title = "Intervalo de confianza (IC) y predicción (IP)")
```

Ahora, para responder a preguntas como ¿cuál sería la concentración de ozono a una temperatura de 90.34 grados Fahrenheit? se debe reportar el intervalo de predicción, el cual, en R, es al 95% de confianza por defecto.

```{r}
# Creamos una nueva base de datos para poder consultar el intervalo de predicción
# Se debe tener el cuidado de que las columnas tengan el mismo nombre que base usada
# para construir el modelo de regresión lineal
aux = data.frame("Temp" = 90.34) # Solo incluimos la(s) variable(s) independiente(s)
predict.lm(modelo, newdata = aux, interval = "prediction")
```

La salida de R indica, que la predicción de la concentración de ozono asociado a una medición de temperatura de 90.34 grados Fahrenheit sería de 72.70312 partes por billón, mientras que, el intervalo de predicción al 95% de confianza es $(24.71044, 120.6958)$.

Por otro lado, si se desea conocer el intervalo de confianza asociado a un valor promedio (esperado o ajustado) del ozono asociado a una temperatura de 90.34 grados Fahrenheit, se debe efectuar el siguiente comando.

```{r}
predict.lm(modelo, newdata = aux, interval = "confidence")
```

La salida de R indica, que el valor promedio de la concentración de ozono asociado a una medición de temperatura de 90.34 grados Fahrenheit sería de 72.70312 partes por billón, mientras que, el intervalo de confianza al 95% de confianza es $(65.24199, 80.16425)$.

::: exercise
Utilizando la base del ejercicio \@ref(exr:contaminacion) realice lo siguiente:

1.  Ajuste en R un modelo de regresión lineal para estudiar el logaritmo de la tasa máxima de flujo de seis sectores de drenaje después de una tormenta (logq) a través de las pulgadas de lluvia caída.
2.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
3.  Interprete los betas estimados.
4.  Elabore un gráfico de dispersión entre la variable dependiente e independiente del modelo de regresión lineal, que contenga los intervalos de confianza y predicción, diferenciándolos por colores.
5.  Determine el intervalo de predicción de logaritmo de la tasa máxima de flujo de seis sectores de drenaje después de una tormenta (logq) asociado a una cantidad de lluvia caída de 3.435 pulgadas. Interprete.
6.  Determine el intervalo de confianza del valor promedio del logaritmo de la tasa máxima de flujo de seis sectores de drenaje después de una tormenta (logq) asociado a una cantidad de lluvia caída de 3.435 pulgadas. Interprete.
:::

::: exercise
Las mujeres ocupan aproximadamente la mitad de la población mundial, pero cuando se trata de la fuerza laboral total de un país, el porcentaje de trabajadores masculinos y femeninos rara vez es similar. Esto es aún más prominente para los países en desarrollo y subdesarrollados. Si bien varias razones, como el acceso insuficiente a la educación, las supersticiones religiosas y la falta de infraestructuras adecuadas, son responsables de esta discrepancia, va mucho más allá. Y para mostrar los efectos de múltiples factores socioeconómicos sobre la participación de la mujer en la fuerza laboral total, se ha considerado el porcentaje de empleo femenino en la fuerza laboral total, entre otros.

El conjunto de datos ([Empleo+femenino.csv](https://raw.githubusercontent.com/Dfranzani/Bases-de-datos-para-cursos/main/2023-1/Empleo%2Bfemenino.csv)) se eligió de una encuesta realizada en la población de Bangladesh. La base de datos contiene los siguientes datos:

-   Year: Año de medición.
-   PerFemEmploy: Relación entre empleo y población (%) de mujeres de 15 años o más.
-   Ratio_MaletoFemale: Relación entre la tasa de participación de mujeres y hombres en la fuerza laboral. La tasa de participación en la fuerza laboral es la proporción de la población de 15 años o más que es económicamente activa.
-   Wage.Salaried: Trabajadores asalariados, mujeres (% del empleo femenino). Los trabajadores asalariados (empleados) son aquellos trabajadores que ocupan el tipo de trabajos definidos como "trabajos de empleo remunerado".

A continuación:

1.  Ajuste en R un modelo mediante la metodología forward para estudiar la variable *PerFemEmploy.*
2.  Escriba el modelo poblacional.
3.  Escriba el modelo ajustado.
4.  Escriba la ecuación de regresión ajustada.
5.  Interprete los parámetros estimados.
6.  Estudie las pruebas de hipótesis de no nulidad (individual y conjunta) utilizando una confianza del 95%.
7.  Determine el intervalo de predicción de la variable *PerFemEmploy* asociada a una tasa de participación de mujeres y hombres en la fuerza laboral igual a 37.543 en el año 2020. Interprete.
8.  Determine el intervalo de confianza del valor promedio de la variable *PerFemEmploy* asociada a una tasa de participación de mujeres y hombres en la fuerza laboral igual a 45.121 en el año 2021. Interprete.
9.  Interprete el $R^2$ ajustado.
10. Estudie los supuestos del modelo, utilizando una confianza del 95%.
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