_maths.tex

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% File         : _maths.tex
% Title        : 
% Author       : Sebastien Varrette <Sebastien.Varrette@imag.fr>
% Creation     : 27 Jun 2007
% Licence      : CC Creative Commons 
%                Paternité-Pas d'Utilisation Commerciale-Pas de Modification 2.0 France
%
% Vous etes Libres :
% - de reproduire, distribuer et communiquer cette création au public
%
% Selon les conditions suivantes :
%
% - Paternité. Vous devez citer le nom de l'auteur original de la manière 
%     indiquée par l'auteur de l'oeuvre ou le titulaire des droits qui vous 
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%     qu'ils vous soutiennent ou approuvent votre utilisation de l'oeuvre).
% - Pas d'Utilisation Commerciale. Vous n'avez pas le droit d'utiliser 
%     cette création à des fins commerciales.
% - Pas de Modification. Vous n'avez pas le droit de modifier, de 
%     transformer ou d'adapter cette création.
% - A chaque réutilisation ou distribution de cette création, vous devez 
%   faire apparaître clairement au public les conditions contractuelles de 
%   sa mise à disposition. La meilleure manière de les indiquer est un 
%   lien vers la page web http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/deed.fr
% - Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez l'autorisation 
%   du titulaire des droits sur cette oeuvre.
%   Rien dans ce contrat ne diminue ou ne restreint le droit moral de 
%   l'auteur ou des auteurs. 
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C'est la vraie raison du succès de \LaTeX, qui permet une écriture aisée et 
rigoureuse de formules mathématiques.
Il est conseillé d'utiliser les packages additionnels 
\texttt{amsmath,amsthm,amsfonts,amssymb} qui facilitent la vie. 
Cette section détaille le génération de formules mathématiques avec \LaTeX.

%---------------------------------
\subsection{Le mode mathématiques}
\label{sec:mode_maths}

Pour écrire des formules et/ou des symboles mathématiques, il faut d'abord passer 
en mode mathématiques. 
On distingue principalement deux méthodes\footnote{On peut revenir au mode texte dans 
  le mode mathématique par la commande \texttt{\textbackslash text\{...\}}.}:
\begin{enumerate}
  \item \verb!$...$! ou \verb!\(...\)! : la formule fait partie d'un texte.
  \item \verb!\[...\]! : le formule est mise en évidence : il y a un saut de ligne 
    et la formule est centrée.
\end{enumerate}
Exemple: 

\begin{minipage}{.5\linewidth}
  \begin{lstlisting}
Soit $\epsilon > 0$ un seuil arbitraire:
\[ 
  \forall \alpha \geq \epsilon, 
  f(\alpha) < \frac{1}{2} 
\]    
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{.43\linewidth}
  Soit $\epsilon > 0$ un seuil arbitraire:
  \[ 
  \forall \alpha \geq \epsilon, f(\alpha) < \frac{1}{2} 
  \]      
\end{minipage}

%------------------------------------------------
\subsection{Polices de caractères spécifiques}

\begin{table}[H]
  \centering\small
  \begin{tabular}{c|l}
    \verb!\mathbb{...}!  & Alphabet \emph{blackboard}: $\mathbb{A}\mathbb{B}\mathbb{C}\ldots\mathbb{N}\ldots\mathbb{Z}$ \\
    \verb!\mathcal{...}! & Alphabet \emph{calligraphié}: $\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}\ldots$ \\
    \verb!\mathfrak{...}! & Alphabet \emph{Euler Fraktur}: $\mathfrak{A}\mathfrak{B}\mathfrak{C}\ldots\mathfrak{a}\mathfrak{b}\mathfrak{c}\ldots\mathfrak{1}\mathfrak{2}\mathfrak{3}\ldots$ \\
    \verb!\mathbf{...}! & $\mathbf{Gras}$  \\
    \verb!\mathit{...}! & $\mathit{Italic}$\\
    \verb!\mathrm{...}! & Police $\mathrm{roman}$\\
    \verb!\mathsf{...}! & Police $\mathrm{Sans\ serif}$\\
    \verb!\mathtt{...}! & Police $\mathtt{Typewriter}$
  \end{tabular}
\end{table}


%-----------------------------
\subsection{Symboles spéciaux}
\label{sec:maths_special}

Les paragraphes qui suivent listent les symboles les plus courants.
Pour une liste plus exhaustive, la bible des symboles \LaTeX\ est disponible en
ligne
\href{http://www.ctan.org/tex-archive/info/symbols/comprehensive/symbols-a4.pdf}{sur
le site du CTAN}.

%...............................................
\subsubsection{Caractères et constructions spéciaux}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{lllll}
    $\hat{a}$ \verb!\hat{a}!     & $\acute{a}$ \verb!\acute{a}! & $\bar{a}$ \verb!\bar{a}! & $\dot{a}$ \verb!\dot{a}!   & $\breve{a}$ \verb!\breve{a}! \\
    $\check{a}$ \verb!\check{a}! & $\grave{a}$ \verb!\grave{a}! & $\vec{a}$ \verb!\vec{a}! & $\ddot{a}$ \verb!\ddot{a}! & $\tilde{a}$ \verb!\tilde{a}!
  \end{tabular}
\vspace{1em}

  \begin{tabular}{ll}
    $\overleftarrow{abc}$ \verb!\overleftarrow{abc}!   & $\overrightarrow{abc}$ \verb!\overrightarrow{abc}!\\
    $\overline{abc}$ \verb!\overline{abc}!             & $\underline{abc}$ \verb!\underline{abc}!  \\
    $\widetilde{abc}$ \verb!\widetilde{abc}!           & $\widehat{abc}$ \verb!\widehat{abc}!\\
    $\xrightarrow{\text{abc}}$ \verb!\xrightarrow{\text{abc}}! & $\xleftarrow{\text{abc}}$ \verb!\xleftarrow{\text{abc}}!\\
    $\overbrace{abc}$ \verb!\overbrace{abc}!           & $\underbrace{abc}$ \verb!\underbrace{abc}!\\
% & $\{abc}$ \verb!\{abc}! & $\{abc}$ \verb!\{abc}!
  \end{tabular}
\end{center}



%...................................
\subsubsection{Les lettres grecques}

Elles sont obtenues à partir du nom de la lettre précédé par un antislash \verb!\!. 
Certaines possèdent une variante préfixée par \verb!\var!.

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\alpha$ & \verb!\alpha!           & $\theta $ & \verb!\theta!        & $\pi $ & \verb!\pi!             & $\phi $ & \verb!\phi!\\
    $\beta $ & \verb!\beta!            & $\vartheta $ & \verb!\vartheta!  & $\varpi $ & \verb!\varpi!       & $\varphi $ & \verb!\varphi!\\
    $\gamma$ & \verb!\gamma!           & $\iota $ & \verb!\iota!          & $\rho $ & \verb!\rho!           & $\chi $ & \verb!\chi! \\
    $\delta$ & \verb!\delta!           & $\kappa $ & \verb!\kappa!        & $\varrho $ & \verb!\varrho!     & $\psi $ & \verb!\psi!\\
    $\epsilon$ & \verb!\epsilon!       & $\lambda $ & \verb!\lambda!      & $\sigma $ & \verb!\sigma!       & $\omega$ & \verb!\omega!\\
    $\varepsilon$ & \verb!\varepsilon! & $\mu $ & \verb!\mu!              & $\varsigma $ & \verb!\varsigma!  \\
    $\zeta$ & \verb!\zeta!             & $\nu $ & \verb!\nu!              & $\tau $ & \verb!\tau!            \\
    $\eta $ & \verb!\eta!              & $\xi $ & \verb!\xi!              & $\upsilon $ & \verb!\upsilon!
  \end{tabular}
\end{center}

Certaines lettres existent sous forme majuscule: 

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\Gamma$ & \verb!\Gamma!   & $\Xi$    & \verb!\Xi!        & $\Phi$   & \verb!\Phi!\\
    $\Delta$ & \verb!\Delta!   & $\Pi$  & \verb!\Pi!          & $\Psi$    & \verb!\Psi! \\
    $\Theta$ & \verb!\Theta!   & $\Sigma$ & \verb!\Sigma!     & $\Omega$ & \verb!\Omega!\\
    $\Lambda$ & \verb!\Lambda! & $\Upsilon$ & \verb!\Upsilon! 
  \end{tabular}
\end{center}

%.....................................
\subsubsection{Symboles mathématiques}
\label{sub:math_symbole}

%__________________________
\paragraph{Symboles divers.}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\aleph$ & \verb!\aleph!     & $\prime$ & \verb!\prime!         & $\forall$ & \verb!\forall!\\
    $\hbar$ & \verb!\hbar!       & $\emptyset$ & \verb!\emptyset!   & $\exists$ & \verb!\exists!\\
    $\imath$ & \verb!\imath!     & $\nabla$ & \verb!\nabla!         & $\neg$ & \verb!\neg! ou \verb!\lnot!\\
    $\jmath$ & \verb!\jmath!     & $\surd$ & \verb!\surd!           & $\flat$ & \verb!\flat!\\
    $\ell$ & \verb!\ell!         & $\top$ & \verb!\top!             & $\natural$ & \verb!\natural!\\
    $\wp$ & \verb!\wp!           & $\bot$ & \verb!\bot!             & $\sharp$ & \verb!\sharp!\\
    $\Re$ & \verb!\Re!           & $\|$ & \verb!\|!                 & $\clubsuit$ & \verb!\clubsuit!\\
    $\Im$ & \verb!\Im!           & $\angle$ & \verb!\angle!         & $\diamondsuit$ & \verb!\diamondsuit!\\
    $\partial$ & \verb!\partial! & $\triangle$ & \verb!\triangle!   & $\heartsuit$ & \verb!\heartsuit!\\
    $\infty$ & \verb!\infty!     & $\backslash$ & \verb!\backslash! & $\spadesuit$ & \verb!\spadesuit!\\
  \end{tabular}
\end{center}

%________________________________________________
\paragraph{Symboles de tailles variables et délimiteurs.}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\sum$ & \verb!\sum!       &  $\oint$ & \verb!\oint!        & $\bigvee$ & \verb!\bigvee!        & $\bigodot$ & \verb!\bigodot! \\
    $\prod$ & \verb!\prod!     & $\bigcap$ & \verb!\bigcap!     & $\bigwedge$ & \verb!\bigwedge!    & $\bigotimes$ & \verb!\bigotimes! \\
    $\coprod$ & \verb!\coprod! & $\bigcup$ & \verb!\bigcup!     & $\bigoplus$ & \verb!\bigoplus! \\
    $\int$ & \verb!\int!       & $\bigsqcup$ & \verb!\bigsqcup! & $\biguplus$ & \verb!\biguplus! \\
    \hline
    $\{$ & \verb!\{!           & $($ & \verb!(!             & $\|$ & \verb!\|!         & $\lbrace$ & \verb!\lbrace! \\ 
    $\}$ & \verb!\}!           & $)$ & \verb!)!             & $|$  & \verb!|!          & $\rbrace$ & \verb!\rbrace!\\
    $\lbrack$ & \verb!\lbrack! & $\lfloor$ & \verb!\lfloor! & $\lceil$ & \verb!\lceil! & $\langle$ & \verb!\langle!\\ 
    $\rbrack$ & \verb!\rbrack! & $\rfloor$ & \verb!\rfloor! & $\rceil$ & \verb!\rceil! & $\rangle$ & \verb!\rangle!\\
  \end{tabular}
\end{center}
\vspace{1em}
Les délimiteurs encadrent une expression entre \verb!\left!\emph{delimiteur} et \verb!\right!\emph{delimiteur} 
(le délimiteur \og \texttt{.}\fg\  sert alors de délimiteur vide).

%______________________________
\paragraph{Opérations binaires.}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\pm$ & \verb!\pm!             & $\cap$ & \verb!\cap!                     & $\vee$ & \verb!\vee! ou \verb!\lor!\\
    $\mp$ & \verb!\mp!             & $\cup$ & \verb!\cup!                     & $\wedge$ & \verb!\wedge! ou \verb!\land!\\
    $\setminus$ & \verb!\setminus! & $\uplus$ & \verb!\uplus!                 & $\oplus$ & \verb!\oplus!\\
    $\cdot$ & \verb!\cdot!         & $\sqcap$ & \verb!\sqcap!                 & $\ominus$ & \verb!\ominus!\\
    $\times$ & \verb!\times!       & $\sqcup$ & \verb!\sqcup!                 & $\otimes$ & \verb!\otimes!\\
    $\ast$ & \verb!\ast!           & $\triangleleft$ & \verb!\triangleleft!   & $\oslash$ & \verb!\oslash!\\
    $\star$ & \verb!\star!         & $\triangleright$ & \verb!\triangleright! & $\odot$ & \verb!\odot!\\
    $\diamond$ & \verb!\diamond!   & $\wr$ & \verb!\wr!                       & $\dagger$ & \verb!\dagger!\\
    $\circ$ & \verb!\circ!         & $\bigcirc$ & \verb!\bigcirc!             & $\ddagger$ & \verb!\ddagger!\\
    $\bullet$ & \verb!\bullet!     & $\bigtriangleup$ & \verb!\bigtriangleup! & $\amalg$ & \verb!\amalg!\\
    $\div$ & \verb!\div!           & $\bigtriangledown$ & \verb!\bigtriangledown!\\
  \end{tabular}
\end{center}

\clearpage
%____________________
\paragraph{Relations.}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\leq$ & \verb!\leq! ou \verb!\le! & $\geq$ & \verb!\geq! ou \verb!\le! & $\equiv$ & \verb!\equiv!\\
    $\prec$ & \verb!\prec!             & $\succ$ & \verb!\succ!             & $\sim$ & \verb!\sim!\\
    $\preceq$ & \verb!\preceq!         & $\succeq$ & \verb!\succeq!         & $\simeq$ & \verb!\simeq!\\
    $\ll$ & \verb!\ll!                 & $\gg$ & \verb!\gg!                 & $\asymp$ & \verb!\asymp!\\
    $\subset$ & \verb!\subset!         & $\supset$ & \verb!\supset!         & $\approx$ & \verb!\approx!\\
    $\subseteq$ & \verb!\subseteq!     & $\supseteq$ & \verb!\supseteq!     & $\cong$ & \verb!\cong!\\
    $\sqsubseteq$ & \verb!\sqsubseteq! & $\sqsupseteq$ & \verb!\sqsupseteq! & $\bowtie$ & \verb!\bowtie!\\
    $\in$ & \verb!\in!                 & $\ni$ & \verb!\ni! ou \verb!\owns! & $\propto$ & \verb!\propto!\\
    $\vdash$ & \verb!\vdash!           & $\dashv$ & \verb!\dashv!           & $\models$ & \verb!\models!\\
    $\smile$ & \verb!\smile!           & $\mid$ & \verb!\mid!               & $\doteq$ & \verb!\doteq!\\
    $\frown$ & \verb!\frown!           & $\parallel$ & \verb!\parallel!     & $\perp$ & \verb!\perp!\\
  \end{tabular}
\end{center}
%_______________________________
 \paragraph{Relations contraires.}

Elles sont généralement obtenues en préfixant la relation par \verb!\not!. 
\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\not<$ & \verb!\not<!                     & $\not>$ & \verb!\not>!                     & $\not=$ & \verb!\not=! ou \verb!\neq!\\  
    $\not\leq$ & \verb!\not\leq!               & $\not\geq$ & \verb!\not\geq!               & $\not\equiv$ & \verb!\not\equiv! \\
    $\not\prec$ & \verb!\not\prec!             & $\not\succ$ & \verb!\not\succ!             & $\not\sim$ & \verb!\not\sim! \\
    $\not\preceq$ & \verb!\not\preceq!         & $\not\succeq$ & \verb!\not\succeq!         & $\not\simeq$ & \verb!\not\simeq! \\
    $\not\subset$ & \verb!\not\subset!         & $\not\supset$ & \verb!\not\supset!         & $\not\approx$ & \verb!\not\approx! \\
    $\not\subseteq$ & \verb!\not\subseteq!     & $\not\supseteq$ & \verb!\not\supseteq!     & $\not\cong$ & \verb!\not\cong! \\
    $\not\sqsubseteq$ & \verb!\not\sqsubseteq! & $\not\sqsupseteq$ & \verb!\not\sqsupseteq! & $\not\asymp$ & \verb!\not\asymp! \\
  \end{tabular}
\end{center}

%___________________________
\paragraph{Flèches et pointillés.}

\begin{center}\small
  \begin{tabular}{ll@{~~~}ll@{~~~}ll}
    $\leftarrow$ & \verb!\leftarrow! ou \verb!\gets!   & $\rightarrow$ & \verb!\rightarrow! ou \verb!\to!\\
    $\longleftarrow$ & \verb!\longleftarrow!           & $\longrightarrow$ & \verb!\longrightarrow!\\
    $\Leftarrow$ & \verb!\Leftarrow!                   & $\Rightarrow$ & \verb!\Rightarrow!\\
    $\Longleftarrow$ & \verb!\Longleftarrow!           & $\Longrightarrow$ & \verb!\Longrightarrow!\\
    $\leftrightarrow$ & \verb!\leftrightarrow!         & $\Leftrightarrow$ & \verb!\Leftrightarrow!\\
    $\longleftrightarrow$ & \verb!\longleftrightarrow! & $\Longleftrightarrow$ & \verb!\Longleftrightarrow! ou \verb!\iff!\\
    $\hookleftarrow$ & \verb!\hookleftarrow!           & $\hookrightarrow$ & \verb!\hookrightarrow!\\
    $\leftharpoonup$ & \verb!\leftharpoonup!           & $\rightharpoonup$ & \verb!\rightharpoonup!\\
    $\leftharpoondown$ & \verb!\leftharpoondown!       & $\rightharpoondown$ & \verb!\rightharpoondown!\\
    $\uparrow$ & \verb!\uparrow!                       & $\downarrow$ & \verb!\downarrow!\\
    $\Uparrow$ & \verb!\Uparrow!                       & $\Downarrow$ & \verb!\Downarrow!\\
    $\updownarrow$ & \verb!\updownarrow!               & $\Updownarrow$ & \verb!\Updownarrow!\\
    $\nearrow$ & \verb!\nearrow!                       & $\nwarrow$ & \verb!\nwarrow!\\
    $\searrow$ & \verb!\searrow!                       & $\swarrow$ & \verb!\swarrow!\\
    $\mapsto$ & \verb!\mapsto!                         & $\longmapsto$ & \verb!\longmapsto!\\
    $\leftrightharpoons$ & \verb!\leftrightharpoons!   & $\rightleftharpoons$ & \verb!\rightleftharpoons!   \\
    $\curvearrowleft$ & \verb!\curvearrowleft!         & $\curvearrowright$ & \verb!\curvearrowright!\\
    $\ldots$ & \verb!\ldots!                           & $\cdots$ & \verb!\cdots!\\
    $\vdots$ & \verb!\vdots!                           & $\ddots$  & \verb!\ddots!                 
 \end{tabular}
\end{center}

%...............................
\subsubsection{Fonctions standards (sin, cos etc...)}

Certaines abreviations/fonctions standards existent déjà en \LaTeX. 

Ainsi, on peut obtenir:
\[ \cos(\theta + \phi) = \cos \theta \cos \phi
      - \sin \theta \sin \phi \]
en tapant
\begin{lstlisting}
\[ 
   \cos(\theta + \phi) = \cos \theta \cos \phi - \sin \theta \sin \phi 
\]
\end{lstlisting}
Voici la liste des séquences à utiliser:
\begin{center}\small
  \begin{tabular}{llllllll}
    \verb!\arccos! & \verb!\cos! & \verb!\csc! & \verb!\exp! & \verb!\ker! & \verb!\limsup! & \verb!\min! & \verb!\sinh!\\
    \verb!\arcsin! & \verb!\cosh! & \verb!\deg! & \verb!\gcd! & \verb!\lg! & \verb!\ln! & \verb!\Pr! & \verb!\sup!\\
    \verb!\arctan! & \verb!\cot! & \verb!\det! & \verb!\hom! & \verb!\lim! & \verb!\log! & \verb!\sec! & \verb!\tan!\\
    \verb!\arg! & \verb!\coth! & \verb!\dim! & \verb!\inf! & \verb!\liminf! & \verb!\max! & \verb!\sin! & \verb!\tanh!\\
 \end{tabular}
\end{center}

%--------------------------------
\subsection{Structures courantes}
\label{sec:math_struct}

%...................................
\subsubsection{Indices et exposants}

Un indice s'obtient à l'aide de \texttt{\_} et un exposant avec \verb!^!.
Exemple: 
\begin{center}
  \begin{tabular}{cc|cc}
    $x_i$          & \verb!x_i!            & $x^i$    & \verb!x^i! \\
    $x_{i-1}^{j-1}$ &  \verb!x_{i-1}^{j-1}! & $x_{u_n}$ & \verb!x_{u_n}!
  \end{tabular}
\end{center}

%........................
\subsubsection{Fractions}

La commande \verb!\frac{!\emph{num}\verb!}{!\emph{den}\verb!}! produit une fraction de 
numérateur \emph{num} et de dénominateur \emph{den}. Exemple: 

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
  \begin{lstlisting}
$\frac{1}{2}$ dans une phase. Sinon:
\[
  \frac{3x+1}{1-x^2}
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.45\linewidth}
$\frac{1}{2}$ dans une phase. Sinon:
\[
  \frac{3x+1}{1-x^2}
\]
\end{minipage}

À noter que la plupart des fractions écrites au sein d'une phrase ont un meilleur rendu lorsqu'elles
sont précédées de la commande \verb!\displaystyle!. Exemple: 

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
  \begin{lstlisting}
$\displaystyle\frac{1}{2}$ dans une phase. 
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
$\displaystyle\frac{1}{2}$ dans une phase. 
\end{minipage}
\verb!\dfrac! est un raccourci à la séquence \verb!\displaystyle\frac!.

Enfin, on utilise la commande \verb!\cfrac! pour les fractions continuées: 

\begin{minipage}{0.72\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[
  \cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1}}}}
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\[
\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{1}}}
\]
\end{minipage}



%......................
\subsubsection{Racines}

On utilise la commande \verb!\sqrt{...}!. Exemple:
\begin{center}
  \begin{tabular}[hc]{ll}
    $\sqrt{1-x^2}$                & \verb!\sqrt{1-x^2}!\\
    $\sqrt[3]{\frac{1}{1-x^2}}$   & \verb!\sqrt[3]{\frac{1}{1-x^2}}! \\
    $\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}$ & \verb!\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\cdots}}}!
  \end{tabular}
\end{center}

%...................................
\subsubsection{Points de suspension}

\LaTeX\ propose quatre types de points de suspension: 
\begin{center}
  \begin{tabular}[hc]{llllllll}
    \verb!\ldots! & $\ldots$          & \verb!\cdots! & $\cdots$ &
    \verb!\vdots! & $\vdots$          & \verb!\ddots! & $\ddots$ 
  \end{tabular}
\end{center}

La commande \verb!\ldots! peut s'utiliser également en mode texte. 
La distinction entre \verb!\ldots! et \verb!\cdots! est la hauteur sur la ligne, 
comme le montre l'exemple suivant:
\begin{center}
  \begin{tabular}[hc]{ll}
    \verb!x_1,\ldots,x_n! & $x_1,\ldots,x_n$ \\
    \verb!x_1+\cdots+x_n! & $x_1+\cdots+x_n$ \\
  \end{tabular}
\end{center}

%.........................
\subsubsection{Intégrales}

On utilise le mot clé \verb!\int!. Exemple (\verb!\,! permet 
d'obtenir un espace supplémentaire: voir \S\ref{sub:espace_math}): 

\begin{minipage}{0.52\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[
  \int_0^{+\infty} x^n e^{-x}\,dx = n!
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
  \[
    \int_0^{+\infty} x^n e^{-x}\,dx = n!
  \]
\end{minipage}

Pour les intégrales multiples, on peut utiliser \verb!\!! pour produire des espaces 
négatifs et améliorer la lisibilité. Exemple:

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[ 
  \int \int_D f(x,y)\,dx\,dy = 
  \int \!\!\!\int_D f(x,y)\,dx\,dy 
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[ 
  \int \int_D f(x,y)\,dx\,dy = 
  \int \!\!\!\int_D f(x,y)\,dx\,dy 
\]
\end{minipage}

%.................................
\subsubsection{Sommes et produits}

Il faut alors utiliser les commandes \verb!\sum! et \verb!\prod!. 
Exemple: 

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[ 
  \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
  \text{~et~}
  \prod_{k=1}^n(1-a^k) 
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[ 
  \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}
  \text{~et~}
  \prod_{k=1}^n(1-a^k) 
\]
\end{minipage}

%......................
\subsubsection{Limites, inf, sup}

Ces expressions sont obtenues grâce  aux commandes \verb!\lim!, \verb!\inf! et 
\verb!\sup!. 

Ainsi, \verb/\lim_{x \to +\infty}/, \verb/\inf_{x > s}/ et \verb/\sup_K/ 
produiront respectivement :
\[ \lim_{x \to +\infty} \mbox{, } \inf_{x > s} \mbox{ et } \sup_K \]


%..............................................
\subsubsection{Dérivées et dérivées partielles}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[ 
  \frac{du}{dt} \text{ et } \frac{d^2 u}{dx^2}
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[ 
  \frac{du}{dt} \text{ et } 
  \frac{d^2 u}{dx^2}
\]
\end{minipage}

Le symbole de dérivée partielle $\partial$ est produit par \verb/\partial/. 
Ainsi, l'équation de diffusion de la chaleur 
\[
  \frac{\partial u}{\partial t} = 
      \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 
      \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 
      \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} 
\]  
est obtenue en tapant :
\begin{lstlisting}
\[
  \frac{\partial u}{\partial t} = 
      \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + 
      \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 
      \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} 
\]  
\end{lstlisting}

%..............................................
\subsubsection{Modulos}

Il existe plusieurs commandes pour afficher les calculs modulaires:
\begin{center}
  \begin{tabular}{l@{~~~}l}
    \verb!9\equiv 3 \bmod{6}! & $9\equiv 3 \bmod{6}$ \\
    \verb!9\equiv 3 \pmod{6}! & $9\equiv 3 \pmod{6}$\\
    \verb!9\equiv 3 \mod{6}!  & $9\equiv 3 \mod{6}$\\
    \verb!9\equiv 3 \pod{6}!  & $9\equiv 3 \pod{6}$\\
  \end{tabular}
\end{center}

%..............................................
\subsubsection{Coefficients binomiaux}

On utilise la commande \verb!\binom{!\emph{n}\verb!}{!\emph{k}\verb!}!. Exemple:

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[ 
  \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = 
  \binom{n+1}{k+1} 
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[ 
  \binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} 
\]
\end{minipage}


%..............................................
\subsubsection{Matrices et tableaux }

On utilise l'environnement \verb!array! et sa gestion est similaire à celle des 
tableaux du mode texte (voir \S\ref{sec:tableau_figure}, page~\pageref{sec:tableau_figure}).
Par exemple : 
\begin{quotation}
Le \emph{polynôme caractéristique} $\chi(\lambda)$ de la matrice 
$3 \times 3$: 
\[ \left( 
 \begin{array}{ccc}
   a & b & c \\
   d & e & f \\
   g & h & i 
  \end{array} \right) \] 
est donné par la formule
\[ \chi(\lambda) = 
\left| 
 \begin{array}{ccc}
   \lambda - a & -b & -c \\
   -d & \lambda - e & -f \\
   -g & -h & \lambda - i 
\end{array} 
\right|.\] 
\end{quotation}

Ce passage est produit par:

\begin{lstlisting}
Le \emph{polynôme caractéristique} $\chi(\lambda)$ de la matrice 
$3 \times 3$: 
\[ \left( 
 \begin{array}{ccc}
   a & b & c \\
   d & e & f \\
   g & h & i 
  \end{array} \right) \] 
est donné par la formule
\[ \chi(\lambda) = 
\left| 
 \begin{array}{ccc}
   \lambda - a & -b & -c \\
   -d & \lambda - e & -f \\
   -g & -h & \lambda - i 
\end{array} 
\right|.\] 
\end{lstlisting}

A noter l'utilisation des mots clés \verb!\left! (respectivement \verb!\right!) 
suivi d'un délimiteur ouvrant (respectivement fermant) 
(défini dans le \S\ref{sub:math_symbole}). 
Ces deux séquences sont indissociables.
On peut remplacer un délimiteur par un point '.' pour spécifier l'absence de 
délimiteur. Un exemple sera sans doute plus parlant:
\begin{lstlisting}
\[ \left| 4 x^3 + \left( x + \frac{42}{1+x^4} \right) \right|.\]
\[ \left. \frac{du}{dx} \right|_{x=0}.\] 
\end{lstlisting}
produit:
\[ \left| 4 x^3 + \left( x + \frac{42}{1+x^4} \right) \right|.\]
\[ \left. \frac{du}{dx} \right|_{x=0}.\] 

Le package amsmath propose également des environements dédiés aux matrices, plus précisément 
\texttt{pmatrix}, \texttt{bmatrix}, \texttt{Bmatrix}, \texttt{vmatrix} et \texttt{Vmatrix}. 
Ils  intègrent différents délimiteurs, respectivement 
$( )$, $[ ]$, $\{ \}$, $| |$ et $\| \|$. Exemple: 

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[
\begin{pmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \dots   & a_{1,n}\\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \dots   & a_{2,n}\\
  \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \dots   & a_{n,n}\\      
\end{pmatrix}
\]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[
\begin{pmatrix}
  a_{1,1} & a_{1,2} & \dots  & a_{1,n}\\
  a_{2,1} & a_{2,2} & \dots  & a_{2,n}\\
  \vdots & \vdots  & \ddots & \vdots\\
  a_{n,1} & a_{n,2} & \dots  & a_{n,n}\\      
\end{pmatrix}
\]
\end{minipage}

%.....................
\subsubsection{Normes}

Elles sont obtenues par \verb!\|!.
Exemple:
\begin{lstlisting}
Soit $X$ un espace de Banach et soit $f \colon B \to \mathbb{R}$
un fonction linéaire bornée sur $X$. 
La \emph{norme} de $f$, notée $\|f\|$, est définie par:
\[ \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) :
          |f(x)| \leq K \|x\| \,\forall x \in X \}.\] 
\end{lstlisting}
produit:
\begin{quote}
Soit $X$ un espace de Banach et soit $f \colon B \to \mathbb{R}$
un fonction linéaire bornée sur $X$. 
La \emph{norme} de $f$, notée $\|f\|$, est définie par:
\[ \|f\| = \inf \{ K \in [0,+\infty) :
          |f(x)| \leq K \|x\| \,\forall  x \in X \}.\] 
\end{quote}

%............................
\subsubsection{Les équations}


\paragraph{Sur une seule ligne}

On utilise l'environnement \verb!equation!:\\
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\begin{equation}\label{eq:test}
  f(x) + g(x) = \frac{1}{x-1} 
\end{equation}
L'équation~\ref{eq:test}...
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{equation}\label{eq:test}
  f(x) + g(x) = \frac{1}{x-1} 
\end{equation}
L'équation~\ref{eq:test}...
\end{minipage}

Comme toujours, on peut supprimer la numérotation en utilisant 

\verb!\begin{equation*}...\end{equation*}! (ou simplement écrire la formule :-)


\paragraph{Sur plusieurs lignes, alignées}

On utilise alors l'environnement \verb!\equarray*!:

\begin{lstlisting}
\begin{eqnarray*}
\cos 2\theta & = & \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
             & = & 2 \cos^2 \theta - 1.
\end{eqnarray*}
\end{lstlisting}

produit :
\begin{eqnarray*}
\cos 2\theta & = & \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\
             & = & 2 \cos^2 \theta - 1.
\end{eqnarray*}

On aura compris que cela marche comme un tableau. Sans le caractère '*', chaque 
ligne sera numérotée.

%...............................................
\subsubsection{Les alternatives conditionnelles}
\label{sub:alternative}

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\[ f(x) = 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    4x^2-3   & \mbox{ si $x \ge 0$}\\
    x^2-2x-4 & \mbox{ si $x < 0$}
  \end{array}
\right. \]
  \end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\[ f(x) = 
\left\{
  \begin{array}{ll}
    4x^2-3   & \mbox{ si $x \ge 0$}\\
    x^2-2x-4 & \mbox{ si $x < 0$}
  \end{array}
\right. \]
\end{minipage}

On peut aussi utiliser le package \verb!amsmath! et l'environnement \verb!cases!:

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
  \begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  |x|=
     \begin{cases}
        -x & \text{si $x$ est impair} \\
        x  & \text{si $x$ est pair ou nul}
     \end{cases}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.4\linewidth}
\begin{equation*}
  |x|=
     \begin{cases}
        -x & \text{si $x$ est impair} \\
        x  & \text{si $x$ est pair ou nul}
     \end{cases}
\end{equation*}
\end{minipage}

%---------------------------------------
\subsection{Les ensembles mathématiques}
\label{sec:ensembles}

Il existe deux façons d'obtenir l'écriture des ensembles mathématiques:
\begin{enumerate}
  \item En utilisant les fonts AMS. 
    Pour cela, il faut insérer les packages AMS dans l'en-tête du document par 
    \verb!\usepackage{amsmath,amssymb}!. 
    
    puis utiliser la commande \verb!\mathbb{}!.
    
    Ainsi, $\R$  obtenu au choix par \verb!\mathbb{R}! ou 
    par \verb!\R! (après avoir redéfini cette commande 
    en en-tête par \verb!\newcommand{\R}{\mathbb{R}}!.
  \item Sans disposer des packages AMS : il faut alors définir les 
    commandes suivantes dans l'en-tête du document:
    \begin{center}
      \begin{tabular}[hc]{ll}
        pour les naturels:  & \verb!\def\N{\mbox{I\hspace{-.15em}N}}! \\
        pour les entiers:   & \verb!\def\Z{\mbox{Z\hspace{-.3em}Z}}! \\
        pour les reels:     & \verb!\def\R\mbox{I\hspace{-.15em}R}}! \\
        pour les complexes: & \verb!\def\C{\mbox{l\hspace{-.47em}C}}!
      \end{tabular}
    \end{center}
    Ensuite, il suffit d'appeler \verb!$\N$!, \verb!$\R$! etc...
\end{enumerate}


%-------------------------------------------------------
\subsection{Polices de caractères en mode mathématiques}
\label{sec:math_polices}

Toutes les polices de caractères vues dans le \S\ref{sub:polices}, 
page~\pageref{sub:polices} ont leur équivalent dans le mode mathématique. 
On utilisera ainsi \verb!\mathbf{}! au lieu de \verb!\textbf{}!.

Exemple: 
\begin{lstlisting}
Soient $\vec{\mathbf{u}}$,$\vec{\mathbf{v}}$ et $\vec{\mathbf{w}}$ 
trois vecteurs de ${\mathbb R}^3$. 
Le volume~$V$ du parallélépipède .... est donné par la formule:
\[ 
V = (\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}) \cdot \vec{\mathbf{w}}.
\] 
\end{lstlisting}
produit:
\begin{quote}
Soient $\vec{\mathbf{u}}$,$\vec{\mathbf{v}}$ et $\vec{\mathbf{w}}$ 
trois vecteurs de ${\mathbb R}^3$. 
Le volume~$V$ du parallélépipède .... est donné par la formule:
\[ V = (\vec{\mathbf{u}} \times \vec{\mathbf{v}}) \cdot \vec{\mathbf{w}}.\] 
\end{quote}

Il existe également une police de caractère 'calligraphique' (\emph{réservée aux 
lettres majuscules}) qui s'obtient par la séquence \verb!\mathcal{}!. Ex:
\[ 
\mathcal{A}\mathcal{B}\mathcal{C}\mathcal{D}\mathcal{E}\mathcal{F}\mathcal{G}
\mathcal{H}\mathcal{I}\mathcal{J}\mathcal{K}\mathcal{L}\mathcal{M}\mathcal{N}
\mathcal{O}\mathcal{P}\mathcal{Q}\mathcal{R}\mathcal{S}\mathcal{T}\mathcal{U}
\mathcal{V}\mathcal{W}\mathcal{X}\mathcal{Y}\mathcal{Z}. 
\]

%.................................................
\subsubsection{Accentuations en mode mathématique}

Elles sont résumées dans le tableau~\ref{tab:math_accent}.

\def\exhibitaccent#1#2{\rlap{$\csname #1\endcsname{#2}$}%
                      \qquad \texttt{\char92 #1\char123 #2\char125}}
\begin{table}[h]
 \centering\small
 \begin{tabular}{|l|l|}
   \hline
   $\exhibitaccent{underline}{a}$ & $\exhibitaccent{hat}{a}$ \\
   $\exhibitaccent{overline}{a}$ & $\exhibitaccent{check}{a}$ \\
   $\exhibitaccent{tilde}{a}$ & $\exhibitaccent{acute}{a}$ \\
   $\exhibitaccent{grave}{a}$ & $\exhibitaccent{dot}{a}$ \\
   $\exhibitaccent{ddot}{a}$ & $\exhibitaccent{breve}{a}$ \\
   $\exhibitaccent{bar}{a}$ & $\exhibitaccent{vec}{a}$ \\
   \hline
 \end{tabular}
 \caption{\small Les accentuation en mode mathématique}
 \label{tab:math_accent}
\end{table} 

%...............................................
\subsubsection{Les espaces en mode mathématique}
\label{sub:espace_math}

\LaTeX\ ignore complètement les espaces dans les formules mathématiques. 
Plus exactement, il adapte lui-même les espaces. 
Dans certains cas, il est utile d'augmenter l'espace et dans d'autres de le 
diminuer. Pour cela, \LaTeX\ offre quatres commandes:
\verb!\,! (petit espace), \verb!\:! (espace moyen), \verb!\!! (petit espace négatif) et
\verb!\;! (espace large).

\iu{Remarque}: un espace négatif est utilisé pour rapprocher les signes 
d'intégration d'une intégrale

Sinon, il faut aussi l'utilisation de \verb!\mbox{}! ou \verb!\text{}! qui 
permet de revenir 
temporairement en mode texte au sein d'une formule mathématique. 
Voir les exemples fournis en \S\ref{sub:alternative}, page~\pageref{sub:alternative}.


%-------------------------------------------------------
\subsection{Théorèmes, propositions, définitions etc...}
\label{sec:theoremes}

Le plus simple est d'utiliser la package \verb!amsthm!. 

Ensuite, on définit de nouveaux environnements par le mot clé \verb!\newtheorem! 
dans l'en-tete (voir \S\ref{sec:structure_generale}, 
page~\pageref{sec:structure_generale}): 

\begin{lstlisting}
%pour les propositions, lemmes etc.... Utilise le package amsthm
\newtheorem{theoreme}{Théorème}[section]
\newtheorem{proposition}{Proposition}[section]
\end{lstlisting}
Le paramètre \texttt{[section]} précise que l
es théoremes seront numérotés avec le numéro 
de section en prefixe (donc de la forme <numero\_section>.<numéro\_théorème>). 
On peut alors dans le document créer un théorème par : 
\begin{lstlisting}
\begin{theoreme}[Critère d'Euler] \label{theo:crit_euler}
Soit $p$ un nombre premier impair.
$x$ est un résidu quadratique si, et seulement si 
\[
x^{(p-1)/2} \equiv 1 [p]
\]
\end{theoreme}
\begin{proof}
La preuve est à faire en exercice :-)
\end{proof}
Comme le montre le théoreme~\ref{theo:crit_euler}...
\end{lstlisting}

ce qui produit :

\begin{quote}
\begin{theoreme}[Critère d'Euler] \label{theo:crit_euler}
Soit $p$ un nombre premier impair.
$x$ est un résidu quadratique si, et seulement si 
\[
x^{(p-1)/2} \equiv 1 [p]
\]
\end{theoreme}
   
\begin{proof}
La preuve est à faire en exercice :-)
\end{proof}
Comme le montre le théoreme~\ref{theo:crit_euler}...
\end{quote}

\iu{Remarques}:
\begin{itemize}
\item on aura compris que pour écrire une proposition, il suffira de taper\\
    \verb!\begin{proposition}...\end{proposition}!.
  \item On peut utiliser \verb!\newtheorem! pour des définitions numérotées.
    On définit l'environnement en en-tête par :
    \begin{lstlisting}
\newtheorem{definition}{Définition}[section]
\end{lstlisting}
    
    Ensuite, la séquence 
     \begin{lstlisting}
\begin{definition}\label{def:indice_coincidence}
  Soit $x=x_1x_2\ldots x_n$ et $y=y_1y_2\ldots y_{n'}$ deux chaînes 
  de longueurs respectives $n$ et $n'$.\\
  L'\textbf{indice de coïncidence mutuel} de $x$ et $y$, noté $MI_c(x,y)$, 
  est la probabilité  qu'un caractère aléatoire de $x$ soit égal à 
  un caractère aléatoire de $y$.
\end{definition} 
A partir de la définition~\ref{def:indice_coincidence}...  
\end{lstlisting}
produira:
\begin{quotation}
  \begin{definition}\label{def:indice_coincidence}
    Soit $x=x_1x_2\ldots x_n$ et $y=y_1y_2\ldots y_{n'}$ deux chaînes
    de longueurs respectives $n$ et $n'$.\\
    L'\textbf{indice de coïncidence mutuel} de $x$ et $y$, noté
    $MI_c(x,y)$, est la probabilité qu'un caractère aléatoire de $x$
    soit égal à un caractère aléatoire de $y$.
  \end{definition}
  A partir de la définition~\ref{def:indice_coincidence}...
\end{quotation}
\end{itemize}

%-------------------------------------------------------
\subsection{Division Euclidienne de polynômes}

Récemment, il m'a été demandé une façon de réaliser en \LaTeX\ l'écriture 
détaillée d'une division euclidienne de deux polynômes. 

L'exemple suivant devrait se passer de commentaires et détaille la division 
du polynôme $X^3+X+1$ par $X+1$.  
\[
 \begin{array}{rcrcrcrc|c}
   X^3 &+&        & & X   &+& 1     & & X + 1       \\\cline{9-9}
 -(X^3 &+& X^2)   & &     & &       & & X^2 - X + 2 \\\cline{1-3}
       & & -X^2   &+& X   & &       & &             \\
       & & -(-X^2 &-& X)  & &       & &             \\\cline{3-5}
       & &        & & 2X  &+& 1     & & \\
       & &        & &-(2X &+& 2)    & & \\\cline{5-7}
       & &        & &     & & -1    & &
 \end{array}
\]

Ce résultat est optenu à partir du code suivant: 
\begin{lstlisting}
\[
 \begin{array}{rcrcrcrc|c}
   X^3 &+&        & & X   &+& 1     & & X + 1       \\\cline{9-9}
 -(X^3 &+& X^2)   & &     & &       & & X^2 - X + 2 \\\cline{1-3}
       & & -X^2   &+& X   & &       & &             \\
       & & -(-X^2 &-& X)  & &       & &             \\\cline{3-5}
       & &        & & 2X  &+& 1     & & \\
       & &        & &-(2X &+& 2)    & & \\\cline{5-7}
       & &        & &     & & -1    & &
 \end{array}
\]
\end{lstlisting}

\iu{Remarque:} La commande \texttt{cline} est initialement présentée au 
\S\ref{sec:tableau_figure}.





%~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
% eof
%
% Local Variables:
% mode: latex
% End: