[TOC]
理想滤波器不可实现, 只能以实际滤波器逼近
$$
|\omega| \leq \omega_{p} \quad 1-\delta_{1} \leq\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right| \leq 1
$$
$$
\omega_{s t} \leq|\omega| \leq \pi \quad\left|H\left(e^{j \omega}\right)\right| \leq \delta_{2}
$$
$$
\omega_{p} \leq|\omega| \leq \omega_{s t}
$$
$\omega_p$ ：通带截止频率
$\omega_st$ ：阻带截止频率
$\delta_1$ ：通带容限
$\delta_2$ ：阻带容限
通带允许的最大衰减 $R p$ 分贝：
$R_{p} \geq 20 \lg \frac{\left|H\left(e^{j 0}\right)\right|}{\left|H\left(e^{j \omega_{p}}\right)\right|}=-20 \lg \left|H\left(e^{j \omega_{p}}\right)\right|=-20 \lg \left(1-\delta_{1}\right)(\mathrm{dB})$
阻带最小衰减 $A s$ 分贝：
$A_{s} \leq 20 \lg \frac{\left|H\left(e^{j 0}\right)\right|}{\left|H\left(e^{j \omega_{s t}}\right)\right|}=-20 \lg \left|H\left(e^{j \omega_{s t}}\right)\right|=-20 \lg \delta_{2}(\mathrm{~dB})$
其中: $\quad\left|H\left(e^{j 0}\right)\right|=1$
当 $\left|H\left(e^{j \omega_{p}}\right)\right|=\sqrt{2} / 2=0.707$ 时, $R_{p}=3 \mathrm{~dB}$
称 $\omega_{p}$ 为 $3 \mathrm{~dB}$ 通带截止频率
由幅度平方函数 $\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}$ 确定模拟滤波器的系统函数 $H_{a}(s)$
当$h(t)$ 是实函数：
$$
\begin{aligned}
\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2} &=H_{a}(j \Omega) H_{a}^{*}(j \Omega) \
&=H_{a}(j \Omega) H_{a}(-j \Omega) \
&=\left.H_{a}(s) H_{a}(-s)\right|_{s=j \Omega}
\end{aligned}
$$
将左半平面的的极点归 $H_{a}(s)$
将以虚轴为对称轴的对称零点的任一半作为 $H_{a}(s)$ 的零点, 虚轴上的零点一半归 $H_{a}(s)$
由 $\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}$ 确定 $H_{a}(s)$ 的方法
由幅度平方函数得象限对称的 $s$ 平面函数
将 $H_{a}(s) H_{a}(-s)$ 因式分解, 得到各零极点
对比 $H_{a}(j \Omega)$ 和 $H_{a}(s)$ , 确定增益常数
由零极点及增益常数, 得 $H_{a}(s)$
幅度平方函数：
$$
\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}=\frac{1}{1+\left(\frac{\Omega}{\Omega_{c}}\right)^{2 N}}
$$
$N$ 为滤波器的阶数
$\Omega$ 为通带截止频率
当 $\left|H_{a}\left(j \Omega_{c}\right)\right|^{2}=1 / 2$ 时
$$
R_{p}=20 \lg \left|\frac{H_{a}(j 0)}{H_{a}\left(j \Omega_{c}\right)}\right|=3 d B
$$
称为Butterworth低通滤波器的 3 分贝带宽
$\Omega=0 \quad\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}=1$
$\Omega=\Omega_{c}\quad \left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}=1 / 2 \quad R_{p}=3 d B$ （3dB不变性）
$\Omega<\Omega_{c}$ 通带内有最大平坦的幅度特性，单调减小
$\Omega>\Omega_{c}$ 过渡带及阻带内快速单调减小
当$\Omega=\Omega_{s t}$ （阻带截止频率）时，衰减 $A_s$ 为阻带最小衰减
$$
\left|H_{a}(j \Omega)\right|{\Omega=s / j}^{2}=H {a}(s) H_{a}(-s)=\frac{1}{1+\left(\dfrac{s}{j \Omega_{c}}\right)^{2 N}}
$$
Butterworth滤波器是一个全极点滤波器, 其极点:
$$
s_{k}=(-1)^{\frac{1}{2 N}} j \Omega_{c}=\Omega_{c} e^{j\left[\frac{1}{2}+\frac{2 k-1}{2 N}\right] \pi} \quad k=1,2, \ldots, 2 N
$$
极点在 $s$ 平面呈象限对称, 分布在Buttterworth圆上, 共 $2 \mathrm{~N}$ 点
极点间的角度间隔为 $\pi / N$ $\mathrm{rad}$
极点不落在虚轴上
$N$ 为奇数, 实轴上有极点, $N$ 为偶数, 实轴上无极点
$$
\begin{aligned}
&H_{a}(s)=\frac{\Omega_{c}^{N}}{\prod_{k=1}^{N}\left(s-s_{k}\right)} \\
&s_{k}=\Omega_{c} e^{j\left[\frac{1}{2}+\frac{2 k-1}{2 N}\right] \pi} \quad k=1,2, \ldots, N
\end{aligned}
$$
$\Omega_{c}=\Omega_{c r}=1 \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ 时，为归一化系统的系统函数 $H_{a n}(s)$
去归一化, 得
$$
H_{a}(s)=\left.H_{a n}(s)\right|{s=\frac{\Omega {c r}}{\Omega_{c}}s}=H_{a n}\left(\frac{\Omega_{c r} s}{\Omega_{c}}\right)
$$
由幅度平方响应函数和 $A_s$ 、$R_p$ 的定义得
$$
N \geq \frac{\lg \left(\dfrac{10^{0.1 . A_{s}}-1}{10^{0.1 R_{p}}-1}\right)}{2 \lg \left(\Omega_{s} / \Omega_{p}\right)}
$$
由
$$
R_{p}=-20 \lg \left|H_{a}\left(j \Omega_{p}\right)\right|\\
\left|H_{a}\left(j \Omega_{p}\right)\right|^{2}=\frac{1}{1+\left(\dfrac{\Omega_{p}}{\Omega_{c}}\right)^{2 N}}
$$
得
$$
1+\left(\frac{\Omega_{p}}{\Omega_{c}}\right)^{2 N}=10^{0.1 R_{p}}
$$
同理
$$
1+\left(\frac{\Omega_{s}}{\Omega_{c}}\right)^{2 N}=10^{0.1 A_{s}}
$$
两式联立得
$$
\left(\frac{\Omega_{p}}{\Omega_{s}}\right)^{N}=\sqrt{\frac{10^{0.1 R_{p}}-1}{10^{0.1 A_{s}}-1}}
$$
令
$$
\lambda_{s p}=\frac{\Omega_{s}}{\Omega_{p}}\\
k_{s p}=\sqrt{\frac{10^{0.1 R_{p}}-1}{10^{0.1 A_{s}}-1}}
$$
则
$$
N \geq-\frac{\lg k_{s p}}{\lg \lambda_{s p}}
$$
$$
H_{a n}(s)=\frac{1}{\prod_{k=1}^{N}\left(s-s_{k}\right)}
$$
其中极点:
$$
s_{k}=\Omega_{c} e^{j\left[\frac{1}{2}+\frac{2 k-1}{2 N}\right] \pi} \quad k=1,2, \ldots, N
$$
或者由 $N$ , 直接查表得 $H_{a n}(s)$
$$
H_{a}(s)=H_{a n}\left(\frac{s}{\Omega_{c}}\right)
$$
其中技术指标 $\Omega_c$ 给出或由下式求出:
$$
\begin{array}{ll}
\Omega_{c}=\Omega_{p} / \sqrt[2N]{\left(10^{0.1 R_{p}}-1\right)} & \text { 阻带指标有富裕 } \\
\Omega_{c}=\Omega_{s} / \sqrt[2 N]{\left(10^{0.1 A_{s}}-1\right)} & \text { 通带指标有富裕 }
\end{array}
$$
常用归一化( $\left.\Omega_{c}=1\right)$ Butterworth
模拟滤波器的系统函数
$$
\begin{array}{lc}
\text { 一阶: } & H_{\mathrm{L}{0}}(s)=\dfrac{1}{s+1} \
\text { 二阶: } & H {\mathrm{L} 0}(s)=\dfrac{1}{s^{2}+\sqrt{2} s+1} \
\text { 三阶: } & H_{\mathrm{L} 0}(s)=\dfrac{1}{(s+1)\left(s^{2}+s+1\right)} \
\text { 四阶: } & H_{\mathrm{L} 0}(s)=\dfrac{1}{\left(s^{2}+0.7654+1\right)\left(s^{2}+1.8478 s+1\right)} \
& H_{\mathrm{L}}(s)=H_{\mathrm{L} 0}\left(s / \omega_{\mathrm{c}}\right)
\end{array}
$$
幅度平方函数
$$
|H(j \Omega)|^{2}=\frac{1}{1+\left(\frac{\Omega}{\Omega_{c}}\right)^{2 N}}
$$
特点
$\Omega=0$ 时， $|H(\mathrm{j} \Omega)|^{2}=1$
$\Omega=\Omega_{c}$ 时, $|H(\mathrm{j} \Omega)|^{2}=\frac{1}{2}$
通带内平坦，单调下降过程平滑
阶数越高，特性越接近矩形
[N ,wc ]=buttord(wp ,ws ,Ap ,As ,' s' % 确定N和wc，其中wc由阻带参数确定，'s'表示模拟域num ,den ]=butter(N ,wc ,' s' % 求分子系数向量和分母系数向量，'s'表示模拟域z ,p ,k ]=buttap(N )% 确定零点、极点和增益 由于Butterworth型滤波器在通带内堛度单调下降，如果阶次 $\mathbf{N}$ 定，则在 $\Omega_p$ 处下降很大。
为了使通带内的衰减足够小, 需要的阶次 $\mathrm{N}$ 很高。
为了避免这一缺点，人们设计了Chebyshev滤波器，Chebyshev滤波器在通带内幅度是等波纹波动的。在同样的衰减要求下, 它的阶数比 Butterworth的要小。
Chebyshev滤波器频响示意图
$$
\left|H_{a}(j \Omega)\right|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2} C_{N}^{2}\left(\frac{\Omega}{\Omega_{c}}\right)}
$$
$0<\varepsilon<1$ ， 表示通带波纹大小, $\varepsilon$ 越大, 波纹越大
$\Omega_{c}$ : 截止频率, 不一定为 $3 \mathrm{~dB}$ 带宽
$N$ ： 滤波器的阶数
$C_{N}(x): N$ 阶Chebyshev多项式
$$
C_{N}(x)=\left{\begin{array}{ccc}
\cos \left(N \cos ^{-1} x\right) & |x| \leq 1 & \text { 等波纹幅度特性 } \\
\operatorname{ch}\left(N \operatorname{ch}^{-1} x\right) & |x|>1 & \text { 单调增加 }
\end{array}\right.
$$
(1) 当 $|\mathrm{x}| \leq 1$ 时， $\left|\mathrm{C}{\mathrm{N}}(\mathrm{x})\right| \leq 1, \mathrm{C} {\mathrm{N}}(\mathrm{x})$ 在-1 $\sim$ +1之间等幅度振荡， $\mathrm{N}$ 越大，振荡速度越快。
(2) 当 $|x|>1$ 时， $C_{N}(x)$ 是双曲线函数，随 $x$ 单调迅速上升， $N$ 越大， $C_{N}(x)$ 上升速度越快。
$$
\left|H_{a}(j \Omega)\right|=\frac{1}{\sqrt{1+\varepsilon^{2} C_{N}^{2}\left(\frac{\Omega}{\Omega}\right)}}
$$
$\Omega=0$
$\begin{array}{ll}-N \text { 为奇数 } & \left|H_{a}(j 0)\right|=1 \ -N \text { 为偶数 } & \left|H_{a}(j 0)\right|=1 / \sqrt{1+\varepsilon^{2}}\end{array}$
$\Omega=\Omega_{c}\left|H_{a}(j \Omega)\right|=1 / \sqrt{1+\varepsilon^{2}}$
$\Omega<\Omega_{c}$ 通带内: 在 $1$ 和 $1 / \sqrt{1+\varepsilon^{2}}$ 间等波纹起伏
$\Omega>\Omega_{c}$ 通带外: 迅速单调下降趋向 $0$
$$
R_{p}=20 \lg \frac{\left|H_{a}(j \Omega)\right|{\max }}{\left|H {a}(j \Omega)\right|_{\mathrm{m} \text { in }}}=20lg\sqrt{1+\varepsilon^{2}}
$$
$\varepsilon^{2}=10^{0.1 R_{p}}-1$ ，由通带衰减 $R p$ 决定
$N$ : 滤波器阶数, 等于通带内最大最小值的总数
$$
N \geq \frac{c h^{-1}\left[\frac{1}{\varepsilon} \sqrt{10^{0.1 A_{s}}-1}\right]}{c h^{-1}\left(\frac{\Omega_{s}}{\Omega_{c}}\right) \quad} \quad \begin{aligned}\&\begin{array}{l}\end{array}\end{aligned}
$$
$\Omega_s$ 为阻带截止频率，阻带衰减 $A_s$ 越大，所需阶数越高
已知
$$
\left|H_{a}(j \Omega)\right|{\Omega=s / j}^{2}=H {a}(s) H_{a}(-s)=\frac{1}{1+\varepsilon^{2} C_{N}^{2}\left(\frac{s}{j \Omega_{c}}\right)}
$$
极点分解为实部和虚部：
$$
\begin{aligned}
& s_{k}=\sigma_{k}+j \Omega_{k} \quad k=1,2, \ldots, 2 N
\end{aligned}
$$
存在关系
$$
\frac{\sigma_{k}^{2}}{\left(\Omega_{c} a\right)^{2}}+\frac{\Omega_{k}^{2}}{\left(\Omega_{c} b\right)^{2}}=1
$$
$$
\begin{aligned}
& \sigma_{k}=-\Omega_{c} a \sin \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right] \\
& \Omega_{k}=\Omega_{c} b \cos \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right]
\end{aligned}
$$
说明其极点分布于椭圆上
其中
$$
\begin{aligned}
&a=\frac{1}{2}\left(\gamma^{\frac{1}{N}}-\gamma^{-\frac{1}{N}}\right) \\
&b=\frac{1}{2}\left(\gamma^{\frac{1}{N}}+\gamma^{-\frac{1}{N}}\right)
\end{aligned}
$$
$$
\gamma=\frac{1}{\varepsilon}+\sqrt{\frac{1}{\varepsilon^{2}}+1}
$$
$$
H_{a}(s)=\frac{K}{\prod_{k=1}^{N}\left(s-s_{k}\right)} \ K=\frac{\Omega_{c}^{N}}{\varepsilon \cdot 2^{N-1}}
$$
其中：
$$
\begin{gathered}
s_{k}=-\Omega_{c} a \sin \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right]+j \Omega{ }_{c} b \cos \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right] \\
k=1,2, \ldots, N
\end{gathered}
$$
$$
\lambda_{p}=\frac{\Omega_{p}}{\Omega_{p}}=1 \\
\lambda_{s}=\frac{\Omega_{s}}{\Omega_{p}}
$$
根据技术指标求出滤波器阶数 $N$ 及 $\varepsilon$ :
$$
N \geq \frac{c h^{-1}\left(k_{1}^{-1}\right)}{c h^{-1} \lambda_{s}} \\
\text { 其中: } \quad k_{1}^{-1}=\sqrt{\frac{10^{0.1 A_{s}}-1}{10^{0.1 R_{p}}-1}}\\
\varepsilon^{2} =10^{0.1 R_{p}}-1\\
$$
$$
H_{a n}(s)=\frac{1}{\varepsilon \cdot 2^{N-1} \prod_{k=1}^{N}\left(s-s_{k}\right)}
$$
其中极点由下式求出:
$$
\gamma=\frac{1}{\varepsilon}+\sqrt{\frac{1}{\varepsilon^{2}}+1}
$$
$$
\begin{aligned}
&a=\frac{1}{2}\left(\gamma^{\frac{1}{N}}-\gamma^{-\frac{1}{N}}\right) \\
&b=\frac{1}{2}\left(\gamma^{\frac{1}{N}}+\gamma^{-\frac{1}{N}}\right)
\end{aligned}
$$
$$
s_{k}=-\Omega_{c} a \sin \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right]+j \Omega{ }_{c} b \cos \left[\frac{\pi}{2 N}(2 k-1)\right]\\
k=1,2,...,N
$$
或者由N和R，直接查表得 $H_{an}(s)$
$$
H_{a}(s)=H_{a n}\left(\frac{s}{\Omega_{p}}\right)
$$
$$
|H(j \Omega)|^{2}=\frac{1}{1+\varepsilon^{2} R_{N}^{2}\left(\frac{\Omega}{\Omega_{p}}\right)}
$$
$\Omega=0$ 时
$$
|H(\mathrm{j} \Omega)|^{2}=\left{\begin{array}{cc}
\dfrac{1}{1+\varepsilon^{2}} & N \text { 为偶数 } \\
\\
1 & N \text { 为奇数 }
\end{array}\right.
$$
$|H(j\Omega)|$ 在 $\Omega \in [0,\Omega_p]$ 中等波纹
$|H(j\Omega)|$ 在 $\Omega \in [\Omega_p,\infty)$ 中等波纹
相频一般具有非线性
常用的滤波器设计函数
[N ,Wc ]=buttord(Wp ,Ws ,Ap ,As ,' s' B ,A ]=butter(N ,Wc ,' s' [N ,Wc ]=cheb1ord(Wp ,Ws ,Ap ,As ,' s' B ,A ]=cheby1(N ,Wc ,' s' [N ,Wc ]=cheb2ord(Wp ,Ws ,Ap ,As ,' s' B ,A ]=cheby2(N ,Wc ,' s' [N ,Wc ]=ellipord(Wp ,Ws ,Ap ,As ,' s' B ,A ]=ellip(N ,Wc ,' s' 对比示意图:
对比:
当阶数相同时, 对相同的通带最大衰减 $R_p$ 和阻带最小衰减 $A_s$ ：
巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性, 过渡带最宽。两种类型的切比雪夫滤波器的过渡带宽度相等, 比巴特沃斯滤波器的过渡带窄, 但比椭圆滤波器的过渡带宽
切比雪夫 I 型滤波器在通带具有等波纹幅频特性, 过渡带和阻带是单调下降的幅频特性
切比雪夫 II 型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃斯滤波器相同, 阻带是等波纹幅频特性
椭圆滤波器的过渡带最窄, 通带和阻带均是等波纹幅频特性
相位逼近情况：
复杂性：
在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下, 巴特沃斯滤波器阶数最高, 椭圆滤波器的阶数最低, 而且阶数差别较大
所以, 就满足滤波器幅频响应指标而言, 椭圆滤波器的性价比最高, 应用较广泛
低通-高通
$$
\quad H_{H P}(s)=\left.H(\bar{s})\right|{\bar{s}=\frac{\Omega {p} R_{p}}{s}}
$$
低通-带通
$$
\quad H_{B P}(s)=\left.H(\bar{s})\right|_{\bar{s}=\bar{\Omega}p \frac{s^{2}+\Omega {0}^{2}}{B s}}
$$
低通-带阻
$$
\quad H_{B S}(s)=\left.H(\bar{s})\right|{\bar{s}=\bar{\Omega} {s} \frac{B s}{s^{2}+\Omega_{0}^{2}}}
$$
$$
\boldsymbol{H}{\mathrm{LP}}(\boldsymbol{s})=\left.\boldsymbol{H} {\mathrm{an}}(\overline{\boldsymbol{s}})\right|{\bar{s}=\boldsymbol{s} / \Omega {\mathrm{p}}}
$$
将 $\bar{s}=\mathrm{j} \bar{\Omega}, s=\mathrm{j} \Omega$ 代 $入 \bar{s}=s / \Omega_{\mathrm{p}}$ 中得
$$
\bar{\Omega}=\Omega / \Omega_{p}
$$
$$
\boldsymbol{H}{\mathrm{HP}}(\boldsymbol{s})=\left.\boldsymbol{H} {\mathrm{an}}(\overline{\boldsymbol{s}})\right|{\bar{s}=\Omega {\mathrm{p}} / s}
$$
将 $\bar{s}=\mathrm{j} \bar{\Omega}, s=\mathrm{j} \Omega$ 代入 $\bar{s}=\Omega_{\mathrm{p}} / s$ 中得
$$
\bar{\Omega}=-\Omega_{p} / \Omega
$$
由于物理可实现滤波器的幅度响应具有偶对称特性, 故低通到高通变换的频率对应关系可表示为
$$
\bar{\Omega}=\frac{\Omega_{p}}{\Omega}
$$
原型低通的通带变换到高通的阻带
原型低通的阻带变换到高通的通带
$$
\Omega=-\frac{\Omega_{p}}{\bar{\Omega}}
$$
$$
\begin{array}{rrrrrrrrr}
\bar{\Omega}: & 0 & \bar{\Omega}{s t} & \bar{\Omega} {p} & \infty & -\infty & -\bar{\Omega}{p} & -\bar{\Omega} {s t} & 0 \
\Omega: & -\infty & -\Omega_{s t} & -\Omega_{p} & 0 & 0 & \Omega_{p} & \Omega_{s t} & \infty
\end{array}
$$
$$
H_{\mathrm{BP}}(s)=\left.H_{\mathrm{an}}(\bar{s})\right|{\bar{s}=\frac{s^{2}+\Omega {\mathrm{p}}^{2}}{B_{p}^{s}}}
$$
其中:
$$
\boldsymbol{B}{\mathrm{p}}=\Omega {\mathrm{p} 2}-\Omega_{\mathrm{p} 1}\
\Omega_{\mathrm{p} 0}^{2}=\Omega_{\mathrm{p} 1} \Omega_{\mathrm{p} 2}
$$
将 $\bar{s}=\mathrm{j} \bar{\Omega}, s=\mathrm{j} \Omega$ 代入 $\bar{s}=\frac{s^{2}+\Omega_{\mathrm{p} 0}^{2}}{B_{\mathrm{p}} s}$ 中得
$$
\bar{\Omega}=\frac{\Omega^{2}-\Omega_{p 0}^{2}}{B_{p} \Omega}
$$
$$
\bar{\Omega}=\frac{\bar{\Omega}{\mathrm{st}} \boldsymbol{B} {\mathrm{s}} \Omega}{\Omega_{\mathrm{st} 0}^{2}-\Omega^{2}}
$$
