x# آنالیز عددی
با ظهور کامپیوترها انقلابی عظیم در علم پدید آمد. حال پیچیده ترین محاسبات ریاضی که انجامشان با دست، ساعت‌ها و حتی روزها زمان می برد، در کسری از ثانیه قابل انجام بود. علاوه بر این کامپیوترها اشتباهات سهوی هم که یک انسان ممکن بود در محاسبات مرتکب شود را انجام نمی‌دادند. اتفاق عظیمی بود اما یک مشکل کوچک وجود داشت و همچنان هم وجود دارد و احتمالا در آینده هم وجود خواهد داشت. تلاش اصلی در علمی مانند آنالیز عددی، ارائه‌ی روش‌هایی با دقت و پایداری هر چه بیشتر است. آنالیز عددی (یا محاسبات عددی) به مطالعه‌ی روش‌ها و الگوریتم‌هایی گفته میشود که تقریب‌های عددی (در مقابل جواب‌های تحلیلی) را برای مسائل ریاضی بکار می‌برد. الگوریتم‌های مربوط به محاسبات عددی در حل بسیاری از مسائل موجود در علوم و مهندسی مورد استفاده قرار می گیرد. به عنوان مثال :
- تجزیه و طراحی سازه‌های مانند: پل‌ها، سدها، و هواپیماها
- هواشناسی مثلا پیش‌بینی آب و هوا و تهیه نقشه‌های جوی از زمین
- تجزیه و تحلیل ساختار مولکول‌ها
- پیدا کردن مخازن
- مدل‌سازی چند مقیاسی ریه با روش‌های محاسباتی و بررسی عملکرد ریه و عوامل موثر بر آسم
- مدل‌سازی ریاضی حرکت و رفتارهای جانوران از طریق تحلیل عددی معادلات مربوطه
- دینامیک چرخه‌ها و شبکه‌های هتروکلینیک با روش‌های حسابداری
- مدل‌سازی چند مقیاس ترشح آزاد و تجزیه و تحلیل عددی مربوطه
- سیستم‌های دینامیک با مقیاس چند چند زمانه
- انتشار موج مصنوعی
- مدل‌سازی و حل عددی حرکت و تعاملات سلول‌های ایمنی
- تحریک پذیری ذاتی و دیگر اثرات گذرا
- دینامیک مدل‌های آب و هوا
- پردازش تصویربرداری در صنایع شیمیایی، صنایع خمیر و کاغذ و صنایع معدنی
- دینامیک مدل‌های هواشناسی و پیش‌بینی تغییرات آب و هوا با استفاده از مدل‌سازی و تعدادی تجزیه و تحلیل همچنین اکثر ابررایانه‌ها به طور مداوم بر اساس الگوریتم‌های عددی برنامه ریزی شده‌اند. به طور کلی محاسبات عددی از نتایج عملی حاصل از اجرای محاسبات برای یافتن روش‌های جدید برای تجزیه و تحلیل مسائل استفاده می‌کند.
• خطا عددی و پایداری عددی این زیرشاخه به محاسبه‌ی تفاوت تقریبی عددی و پاسخ‌های تحلیلی (خطا عددی) و نیز پایداری روش‌های عددی پرداخته میشود. • یافتن ریشه‌ی معادلات جبری این زیر شاخه به محاسبه ی تقریب عددی برای ریشه ی معادلات جبری می پردازد. • درونیابی و تقریب این زیر شاخه به محاسبه‌ی فرمول تقریبی یک تابع با استفاده از اطلاعات محدود از آن تابع می‌پردازد. • انتگرال‌گیری عددی این زیرشاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای انتگرال‌ها می‌پردازد. • جبر خطی عددی این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب سیستم‌های خطی می‌پردازد. • حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل معمولی می‌پردازد. • حل عددی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی این زیر شاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی می‌پردازد. •حل دستگاه شامل حل مجموعه از معادلات و یافتن مقدار • بهینه‌سازی عددی این زیرشاخه به محاسبه‌ی تقریب عددی برای جواب مسائل بهینه‌سازی می‌پردازد. امروزه بیشتر الگوریتم‌ها توسط رایانه اجرا می‌شوند. نرم‌افزارهایی برای اجرای محاسبات ریاضی طراحی شده‌اند. از مهمترین و کاربردی ترین آنها می‌توان به نرم افزارهایی Matlab, mathematica و… اشاره کرد.
با شنیدن اثر پروانه‌ای، بسیاری از ما به یاد توضیح کلاسیکی می‌افتیم که از دوران کودکی شنیده‌ایم: بال زدن یک پروانه در نقطه‌ای از جهان، می‌تواند طوفانی را در نقطه‌ی دیگری بیافریند! ایده ی این‌که پروانه‌ای می‌تواند باعث تغییری آشوبی شود. نخستین بار در ۱۹۵۲ در داستان کوتاهی به نام آوای تندر کار ری‌بردبری مطرح شد. عبارت «اثر پروانه‌ای» در سال ۱۹۶۱ در پی مقاله‌ای از ادوارد لورنتس به‌وجود آمد. وی در صد و سی ونهمین اجلاس ای‌ای‌ای‌اس در سال ۱۹۷۲ مقاله‌ای با این عنوان ارائه داد که «آیا بال‌زدن پروانه‌ای در برزیل می‌تواند باعث ایجاد تندباد در تگزاس شود؟» لورنتس در پژوهشی بر روی مدل ریاضی بسیار ساده‌ای از آب و هوای جو زمین، به معادله‌ی دیفرانسیل غیر قابل حل رسید. وی برای حل این معادله از روش‌های عددی به کمک رایانه بهره جست. او برای این‌که بتواند این کار را در روزهای متوالی انجام دهد، نتیجه‌ی آخرین خروجی یک روز را به عنوان شرایط اولیه روز بعد وارد می‌کرد. لورنتس در نهایت مشاهده کرد که نتیجه شبیه‌سازی‌های مختلف با شرایط اولیه یکسان با هم کاملاً متفاوت است. بررسی خروجی چاپ شده رایانه نشان داده که رویال مک‌بی (Royal McBee)، رایانه‌ای که لورنتس از آن استفاده می‌کرد، خروجی را تا ۴ رقم اعشار گرد می‌کند. از آنجایی که محاسبات داخل این رایانه با ۶ رقم اعشار صورت می‌گرفت، از بین رفتن دو رقم آخر باعث چنین تاثیری شده بود. مقدار تغییرات در عمل گرد‌کردن نزدیک به اثر بال‌زدن یک پروانه است. این واقعیت غیرممکن بودن پیش‌بینی آب و هوا در دراز مدت را نشان می‌دهد. مشاهدات لورنتس باعث پررنگ شدن مبحث نظریه آشوب شد. عبارت عامیانه اثر پروانه ای در زبان تخصصی نظریه آشوب، وابستگی حساس به شرایط اولیه ترجمه میشود. لورنتس در سال ۱۹۷۹ در کنفرانس سالانه انجمن آمریکاپی پیشرفت علم حاضر شد و به تشریح تئوری اثر پروانه ای (butterfly effect) پرداخت و به این ترتیب تئوری بی‌نظمی رسمیت گرفت. این دانشمند نخستین بار تئوری بی‌نظمی را در سال ۱۹۶۱ در موسسه تکنولوژی ماساچوست (ام آی تی) مطرح کرد. سپس در سال ۱۹۶۳ این تئوری را کاربردی و در سال ۱۹۷۹ فرمول آن را ارائه کرد. این تئوری در خصوص پدیده‌هایی چون تغییرات آب و هوایی غیرمنتظره و حوادث و فرایندهایی که نمی‌توانند با استفاده از برهان‌ها و قوانین ریاضی رایج، مثل تئوری احتمالات مدل‌سازی و پیش‌بینی شوند، توضیح می‌دهد.
ثبات عددی نشان می‌دهد که یک ورودی ناقص بر اجرای یک الگوریتم تاثیر می‌گذارد. در یک الگوریتم عددی پایدار، اشتباهات در ورودی، به عنوان اجزای الگوریتم اجرا می‌شوند و بر خروجی نهایی اثرگذار خواهند بود. از طرفی دیگر، در الگوریتم عددی ناپایدار، خطاهای ورودی سبب خطای قابل توجهی در خروجی نهایی میشود. برخی از الگوریتم‌های عددی ممکن است نوسانات کوچک (خطا) در داده‌های ورودی را نادیده گرفته و اثر ان‌ها را بر خروجی اعمال نکنند. چنین محاسبات که خطاهای تقریبی را بزرگ نمی‌کنند به طور عددی ثابت باقی می‌مانند.
در ریاضیات محاسباتی، جبر عددی یا محاسبات نمادین (Symbolic Computation) علمی برای مطالعه و توسعه الگوریتم‌ها و نرم‌افزارهایی برای دستکاری عبارات ریاضی و دیگر اشیاء ریاضی است. اگرچه جبر کامپیوتری می‌تواند به عنوان زیرمجموعه محاسبات علمی محسوب شود، اما به طور کلی به عنوان زمینه‌های متمایز در نظر گرفته میشود، زیرا محاسبات علمی معمولا بر اساس محاسبات عددی با اعداد تقریبی شناور است، در حالی که محاسبات نمادین بر محاسبات دقیق با عباراتی حاوی متغیرهایی که ارزش داده‌ای ندارند و به عنوان نمادهای قابل دستکاری هستند، اشاره دارد. برنامه‌های کاربردی، نرم‌افزاری که محاسبات نمادین را انجام می‌دهند، سیستم‌های جبر کامپیوتری نامیده می‌شوند این سیستم شامل حداقل یک روش برای نشان دادن داده‌های ریاضی در یک کامپیوتر، زبان برنامه‌نویسی کاربر (معمولا متفاوت از زبان استفاده شده برای اجرا)، یک مدیر حافظه اختصاصی، یک رابط کاربری برای ورودی/خروجی عبارات ریاضی، یک مجموعه بزرگ از روش‌ها برای انجام عملیات معمول، مانند ساده‌سازی عبارات، تقسیم چندجمله‌ای، ادغام نامحدود و … است. از جمله نرم‌افزارهای متداول در محاسبات نمادین Maple, Mathematica, Sage می‌باشد. از طرف دیگر محاسبات عددي غالباً بدنبال يك الگوريتم مناسب براي حل تقريبي مساله مورد نظر مي‌باشد، كه اين الگوريتم شامل محاسبات زياد روي اعداد است. اين محاسبات معمولاً با يك ماشين (ماشين حساب، كامپيوتر) انجام مي‌گيرد. اما در ماشين حساب يا حتي كامپيوتر اكثر اعداد بخصوص آنهايي كه گنگ يا گويا هستند ولي داراي بسط اعشاري مختوم نيستند، به طور تقريبي ذخيره مي‌شود، بنابراين، اعداد غالباً با مقداري خطا در حافظه كامپيوتر ذخيره مي‌شوند كه اين مقدار خطا هر چند كوچك باشد با ادامه محاسبات روي اين اعداد معمولاً خطا انتشار يافته و نتايجي دور از ذهن بدست مي‌آيد.