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einfacheModelle.R
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einfacheModelle.R
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library(ggplot2)
## Zum Beispiel eine Kalibriergerade
## Messungen per UV-Absorption (y)
## gegen die Konzentration (x)
data_for_lin_reg <- data.frame(Absorption=c(0.04, 0.12, 0.19, 0.30, 0.35, 0.48),
Konzentration=c(0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5))
print(data_for_lin_reg)
ggplot(data = data_for_lin_reg, aes(x=Konzentration, y=Absorption)) + geom_point() +
geom_smooth(method = "lm") # Fügt regressionsgerade hinzu
## Unser Modell besteht hier aus der Annahme, dass die Absorption proportional mit der Konzentraiton
## zunimmt. Das Modell besteht also aus der Steigung und die durch Eigenabsorption
## des Lösungsmittels verursachten y-Achsenabschnitt.
## Die einzige unabhängige Variable hier ist die Konzentration, die
## Modellparameter m (Steigung) und b (Achsenabschnitt) werden im Vektor 'par'
## zusammengefasst
## => f(Konzentration|par) = m * Konzentration + b
## Das mathematische Modell wird in R mit Hilfe einer 'function' definiert
model <- function(Konzentration, par) {
m <- par[1]
b <- par[2]
return(m*Konzentration+b) ## Vorhersage der Absorption anhand der Konzentration
}
## Wie finden wir die Modellparameter für die 'beste' Geradengleichung heraus?
## => Optimieren der Objektiven Funktion
## Die Objektive Funktion stellt ein Maß dafür dar, wie 'gut' die gemessenen Daten zu einem
## parameterset par (THETA) passen
obj_func <- function(Daten, par) {
Absorption <- Daten$Absorption ## y1,...,i
Konzentration <- Daten$Konzentration ## x1,...,i
ob_func_value <- sum( (Absorption-model(Konzentration,par))^2 ) # Quadrierte Abweichung von gemessener Absorption
# soll minimiert werden
# damit negative differenzen auch 'bestraft' werden
# => Quadrieren
return(ob_func_value)
}
## Jetzt rufen wir R auf um die obj_func zu minimieren
## => Finde den Satz von parametern 'par', der die Quadrierte Abweichung von Gemessenem zu Berechnetem Wert
## minimiert => Maximum-Likelihood-Schätzer für 'par'
fit <- optim(par = c(m=1,b=0),
fn = obj_func,
Daten=data_for_lin_reg)
par_hat <- fit$par
print(par_hat)
## mit diesen Parametern können wir nun die Regressionsgerade erstellen
data_with_lin_reg <- data_for_lin_reg
## Neue Spalte anfügen
data_with_lin_reg$berechnete_Absorption <- model(data_with_lin_reg$Konzentration, par_hat)
print(data_with_lin_reg)
ggplot(data = data_with_lin_reg, aes(x=Konzentration, y=Absorption)) + geom_point() +
geom_smooth(method = "lm") + # Fügt automatische Regressionsgerade hinzu
geom_line(aes(x=Konzentration, y=berechnete_Absorption), colour="red")
## liegt genau auf der von R erstellten Regressionsgeraden!
## Wie genau bekommen wir allerdings die Konfidenzintervalle?
## Man benötigt die Standardfehler der geschätzten parameter 'par_hat'
## Dazu lassen wir uns praktischerweise die hessian Matrix gleich mitberechnen
fit_with_hessian <- optim(par = c(m=1,b=0),
fn = obj_func,
Daten=data_for_lin_reg,
hessian = TRUE) ## Berechne diese Matrix
print(fit_with_hessian$hessian)
## Wir benötigen außerdem die residuelle Varianz
## Berechnung der residuellen Varianz mittels Maximum likelihood (Zur Minimierung wurde OLS verwendet)
sig2 <- fit$value/(nrow(data_for_lin_reg)-2) ## Abzug von zwei (Modellparametern) ## von den Freiheitsgeraden
print(sig2)
var_cov_mat <- solve(fit_with_hessian$hessian/(2*sig2))
RSE <- sqrt(diag(var_cov_mat))/par_hat*100
RSE
SE <- sqrt(diag(var_cov_mat))
SE
CI_95_oberes <- par_hat + 1.96*sqrt(diag(var_cov_mat))
CI_95_unteres <- par_hat - 1.96*sqrt(diag(var_cov_mat))
print(paste("Ermittelte Steigung:",
round(par_hat[1], 5),
"(95% KI:",
round(CI_95_unteres[1], 5),
"-",
round(CI_95_oberes[1], 5),
"), SE:",
round(SE[1], 5)
)
)
print(paste("Ermittelter Achsenabschnitt:",
round(par_hat[2], 5),
"(95% KI:",
round(CI_95_unteres[2], 5),
"-",
round(CI_95_oberes[2], 5),
"), SE:",
round(SE[2], 5)
)
)
print(paste("Residueller Standardfehler:", round(sqrt(sig2),5) ))
## Vergleiche mit der bereits in R hinterlegten Methode zur
## linearen Regression
automatic_fit <- lm(data = data_for_lin_reg, formula = Absorption~Konzentration)
summary(automatic_fit)
## Hier die Konfidenzintervalle für die Grundgesamtheit
data_with_lin_reg_with_CI <- data_with_lin_reg
se_a <- function(x, x_2, mean, n, sig2) {
return(sqrt(sig2*(1/n+(x-mean)^2/(x_2) )))
}
data_with_lin_reg_with_CI$CI_Absorption_low <- data_with_lin_reg_with_CI$berechnete_Absorption+se_a(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration,
mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration),
sum((data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration-mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration))^2),
nrow(data_with_lin_reg_with_CI), sig2) * qt(0.975, df=4)
data_with_lin_reg_with_CI$CI_Absorption_high <- data_with_lin_reg_with_CI$berechnete_Absorption- se_a(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration,
mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration),
sum((data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration-mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration))^2),
nrow(data_with_lin_reg_with_CI), sig2)* qt(0.975, df=4)
print(data_with_lin_reg_with_CI)
## Darstellung
ggplot(data = data_with_lin_reg_with_CI, aes(x=Konzentration, y=Absorption)) + geom_point() +
geom_smooth(method = "lm") + # Fügt automatische Regressionsgerade hinzu
geom_line(aes(x=Konzentration, y=berechnete_Absorption), colour="red") +
geom_ribbon(aes(x=Konzentration, ymin=CI_Absorption_low, ymax=CI_Absorption_high), fill="red", alpha=0.25)
### Konfidenzintervall für zukünftige Beobachtungen
se_b <- function(x, x_2, mean, n, sig2) {
return(sqrt(sig2*(1+1/n+(x-mean)^2/(x_2) )))
}
data_with_lin_reg_with_CI$CI_Absorption_low <- data_with_lin_reg_with_CI$berechnete_Absorption+se_b(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration,
mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration),
sum((data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration-mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration))^2),
nrow(data_with_lin_reg_with_CI), sig2) * qt(0.975, df=4)
data_with_lin_reg_with_CI$CI_Absorption_high <- data_with_lin_reg_with_CI$berechnete_Absorption- se_b(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration,
mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration),
sum((data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration-mean(data_with_lin_reg_with_CI$Konzentration))^2),
nrow(data_with_lin_reg_with_CI), sig2)* qt(0.975, df=4)
print(data_with_lin_reg_with_CI)
## Darstellung
ggplot(data = data_with_lin_reg_with_CI, aes(x=Konzentration, y=Absorption)) + geom_point() +
geom_smooth(method = "lm") + # Fügt automatische Regressionsgerade hinzu
geom_line(aes(x=Konzentration, y=berechnete_Absorption), colour="red") +
geom_ribbon(aes(x=Konzentration, ymin=CI_Absorption_low, ymax=CI_Absorption_high), fill="red", alpha=0.25)