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Diferencia Exponencial
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\documentclass{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks=true, allcolors=blue]{hyperref}
\title{Ecuación de discretización con fuente y tiempo}
\author{Guillermo Riquelme Hernández}
\begin{document}
\maketitle
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{controldevolumen.jpg}
\caption{\label{fig:frog}Volumen de control de un nodo.}
\end{figure}
Consideremos la situación de un flujo unidimensional estacionario donde solo los términos convectivos y difusivos están presentes. La ecuación diferencial que gobierna es:
\vspace{15pt}
\begin{large}
\[\frac{d}{dx}(\rho u \phi)=\frac{d}{dx}\biggl(\Gamma \frac{d\phi}{dx}\biggl)\]
\vspace{15pt}
{\normalsize Para llegar a una solución exacta debemos considerar $\Gamma$ como constante. Si un dominio $0<=x<=L$ con las condiciones de contorno:}
\vspace{15pt}
\[\phi=\phi_0\hspace{5}, \hspace{15}x=0\]
\[\phi=\phi_L\hspace{5}, \hspace{15}x=L\]
\vspace{15pt}
La solución de la ecuación de gobierno sería:
\vspace{15pt}
\[\frac{\phi-\phi_0}{\phi_L-\phi_0}=\frac{exp (Px/L)-1}{exp (P) - 1}\]
\end{large}
\vspace{15pt}
Donde el número de Peclet se define por:
\vspace{15pt}
\[P \equiv \frac{\rho u L}{\Gamma}\]
\vspace{15pt}
Para el esquema exponencial se considera un flujo total $J$ que se construye a partir del flujo convectivo $\rho u\phi$ y el flujo difusivo $-\Gamma \frac{d\phi}{dx}$:
\[J=\rho u\phi - \Gamma \frac{d\phi}{dx}\]
\vspace{15pt}
Con esta definicion, la ecuación de gobierno se vuelve:
\vspace{15pt}
\[\frac{dJ}{dx}=0
\]
\vspace{15pt}
Que al ser integrada sobre el volumen de control de la figura 1 da:
\vspace{15pt}
\[J_e-J_w=0
\]
\vspace{15pt}
La solución exacta puede entonces ser usada como un perfil entre los puntos P y E con $\phi_0$ y $\phi_L$, y la distancia $(\delta x)_e$ reemplazando L. La sustitución de este perfil nos da:
\vspace{15pt}
\[J_e=F_e \biggl(\phi_P + \frac{\phi_P-\phi_E}{exp (P_e)-1}\biggl)\]
\vspace{15pt}
Donde:
\vspace{15pt}
\begin{large}
\[P_e=\frac{(\rho u)_e (\delta x)_e}{\Gamma_e}= \frac{F_e}{D_e} \]
\end{large}
\vspace{15pt}
\end{document}