引航罗盘.md

示例图

示例初始图如下：

数学建模

首先，按照由内而外的顺序，将盘圈标序为： $$ {c_1, c_2, \dots, c_n} $$ 单次最小转动角度记为： $$ j=\frac{\pi}{3} $$ 基于此，以左侧为极轴，顺时针为正序，给出罗盘初始状态： $$ jB=j \begin{bmatrix} 0\2\4 \end{bmatrix} $$ 将每圈的最小转动角度记为如下向量： $$ M=j \begin{bmatrix} -2\1\4 \end{bmatrix} $$ 将每个转动操作表示为向量，如下述向量分别为本实例图的三种操作，内中联动、内外联动和中外联动： $$ L_1=\begin{bmatrix} 1\1\0 \end{bmatrix} \quad L_2=\begin{bmatrix} 1\0\1 \end{bmatrix} \quad L_3=\begin{bmatrix} 0\1\1 \end{bmatrix} $$ 可以给出转动方程如下： $$ L= \begin{bmatrix} L_1, L_2, L_3 \end{bmatrix} \ jB+jM\cdot Lx=6jIK \ M\cdot Lx=6K-B $$ 其中，$I$ 为三阶单位方阵，$K$ 为任意整数值三维向量。

于是问题转换为求解上述方程，并尽可能使得 $||x||$ 最小。

试解决本例（失败）

首先有方程如下： $$ \begin{bmatrix} -2\1\4 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1&1&0\ 1&0&1\ 0&1&1\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\x_2\x_3 \end{bmatrix}

6 \begin{bmatrix} k_1\k_2\k_3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 0\2\4 \end{bmatrix} $$ 将右侧除以 $M$： $$ Lx= \begin{bmatrix} -3k_1\ 6k_2-2\ 3k_3/2-1\ \end{bmatrix} $$ 由于右侧为整数向量，且 $K$ 为任意整数向量，于是有： $$ Lx= \begin{bmatrix} 3k_1\ 6k_2-2\ 3k_3/2-1\ \end{bmatrix} \ L^{-1}= \begin{bmatrix} 0.5&0.5&-0.5\ 0.5&-0.5&0.5\ -0.5&0.5&0.5\ \end{bmatrix} \ x= \begin{bmatrix} -1.5+1.5k_1+3k_2-0.75k_3\ 0.5+1.5k_1-3k_2+0.75k_3\ -0.5-1.5k_1+3k_2+0.75k_3 \end{bmatrix} \ x= \begin{bmatrix}-0.5\0.5\-1.5\\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.5&3&-0.75\ 1.5&-3&0.75\ -1.5&3&0.75\ \end{bmatrix}K $$ 只需令 $x$ 中元素均为非负整数即可。

然而似乎更复杂了。

暴力求解

实例链接

先按最小正数来 $$ k_3=2\ $$