seminar05.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{amsmath}
% \usepackage{amsthm}
% \usepackage{amsfonts}
% \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
% \usepackage[russian]{babel}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
% \theoremstyle{definition}
%\newtheorem{problem}{Задача}
% \renewcommand{\comment}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\GCD}{\text{НОД}}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\title{Семинар 5}
\date{16 сентября 2019}
\begin{document}
\section*{Осталось с прошлого семинара}
\problem
    Рассмотрим последовательность $a_n=q^n$, где $q\in \bbR$. При каких значениях~$q$ 
    \items
        \item последовательность имеет предел? (Какой?) 
        \item не имеет конечного предела и стремится к $+\infty$? 
        \item не имеет конечного предела и стремится к $\infty$, но не к
            $+\infty$? 
        \item не имеет конечного предела и при этом не стремится к $\infty$?
    Все утверждения обосновать с помощью определения предела.
\problem
    \comment{Это важная задача! Нужно её сделать (не в этот раз, так в
    следующий.}
    Рассмотрим последовательность $a_n=\frac{n^2}{2^n}$. Пусть $b_n=a_{n+1}/a_n$.
    \items
        \item 
            Докажите, что найдётся такое $N\in \bbN$ и такое $c<1$, что для
            всех $n > N$, $b_n < c$.
        \item 
            Докажите, что найдётся такое $N \in \bbN$ и такое $M$, что для
            всех $n>N$, $a_n<Mc^n$. (Подсказка: $a_n = a_1 \cdot b_1 \cdot
            \ldots \cdot b_{n-1}$.)
        \item 
            Докажите, что $\lim\limits_{n\to \infty} a_n =0$.
\section*{Новые задачи}
\problem
    Найти пределы. Если предел равен бесконечности (плюс бесконечности, минус
    бесконечности), доказать это.
    \items \multicols 2
        \item
            \eq
                \lim_{n \to \infty} \frac{n^{10}\cdot 2^n}{3^n}
        \item 
            \eq
                \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}}{n+1}.
        \item
            \eq
                \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^3}}{n+1}.
        \item \homework
            \eq
                \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt{n^3}}{n^2+n}.
\problem
    Найти предел
    \eq 
        \lim_{n \to \infty} \frac{200^n}{n!},
    где $n!=1\times 2 \times \cdots \times n$.

\problem
    Найти пределы
    \items \multicols 3
        \item \homework
            \eq
                \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n};
        \item
            \eq
                \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a},\quad a> 0;
        \item (*) \skiptest
            \eq
                \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n}.
\problem
    Докажите, что для всякого $a>0$, $k\in \mathbb N$ и всякого $C>0$ найдётся
    такое $N$ что для всех $n>N$:
    \items \multicols 2
        \item \eq (1+a)^n > Cn^k;
        \item \homework
            \eq n! > Ca^n.
\problem
    Известно, что 
    \eq 
        \lim_{n\to \infty} a_n = a \ge  0.
    Докажите, что
    \eq
        \lim_{n\to \infty} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}.
\begin{definition}
    Пусть $\\{a_n\\}$ — некоторая последовательность. Пусть $\\{n_k\\}$ — строго
    возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность
    $\\{b_k\\}$, $b_k=a_{n_k}$, $k=1,2,\ldots$ называется
    \emph{подпоследовательностью} последовательности $\\{a_n\\}$.
\end{definition}
\problem
    Докажите, что если у последовательности есть предел, то у любой её
    подпоследовательности тоже есть предел, причём такой же. Верно ли обратное?
\problem
    Докажите, что
    $$\lim_{n\to \infty} \frac{\log_2 n}{n}=0.$$

    \noindent \textbf{Подсказка:} пусть $k$ — такое натуральное число, что $2^{k}< n \le
    2^{k+1}$. (Такое $k$ обязательно найдётся, потому что $2^k \to +\infty$ при $k\to
    \infty$.) Докажите, что в этом случае $\frac{\log_2 n}{n}\le
    \frac{k+1}{2^{k}}$.

    \noindent \textbf{Вопрос:} почему нельзя просто взять подпоследовательность $n=2^k$ и
    воспользоваться предыдущей задачей?
\problem
    Докажите, что если $\\{a_n\\}$ — ограниченная последовательность и
    $$\lim_{n\to \infty} b_n=0,$$
    то
    $$\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$$
\problem \homework
    Найдите предел
    \eq
        \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}.
\problem
    Найдите
    \eq
        \lim_{n\to \infty}\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot
        \frac{5}{6}\cdots\frac{2n-1}{2n}.
    \noindent \textbf{Подсказка:} докажите, что
    \eq
        \frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdots\frac{2n-1}{2n} <
        \frac{1}{\sqrt{2n+1}}.

\end{document}