seminar06.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% \usepackage[utf8]{inputenc}
% \usepackage{amsmath}
% \usepackage{amsthm}
% \usepackage{amsfonts}
% \usepackage[T1,T2A]{fontenc}
% \usepackage[russian]{babel}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
% \theoremstyle{definition}
%\newtheorem{problem}{Задача}
% \renewcommand{\comment}[1]{\emph{#1}}
\newcommand{\GCD}{\text{НОД}}
\newcommand{\bbR}{\mathbb R}
\newcommand{\bbN}{\mathbb N}
\title{Семинар 6}
\date{17 сентября 2020}
\begin{document}
\section*{Осталось с прошлого семинара}    

\problem
    Известно, что 
    \eq 
        \lim_{n\to \infty} a_n = a \ge  0.
    Докажите, что
    \eq
        \lim_{n\to \infty} \sqrt{a_n}=\sqrt{a}.
    \correction{Позанудствую, но чтобы эта запись имела смысл, нужно, чтобы каждый $a_n$ был неотрицателен}

\begin{definition}
    Пусть $\\{a_n\\}$ — некоторая последовательность. Пусть $\\{n_k\\}$ — строго
    возрастающая последовательность натуральных чисел. Последовательность
    $\\{b_k\\}$, $b_k=a_{n_k}$, $k=1,2,\ldots$ называется
    \emph{подпоследовательностью} последовательности $\\{a_n\\}$.
\end{definition}
\problem
    Докажите, что если у последовательности есть предел, то у любой её
    подпоследовательности тоже есть предел, причём такой же. Верно ли обратное?
\problem
    Докажите, что
    $$\lim_{n\to \infty} \frac{\log_2 n}{n}=0.$$

    \noindent \textbf{Подсказка:} пусть $k$ — такое натуральное число, что $2^{k}< n \le
    2^{k+1}$. (Такое $k$ обязательно найдётся, потому что $2^k \to +\infty$ при $k\to
    \infty$.) Докажите, что в этом случае $\frac{\log_2 n}{n}\le
    \frac{k+1}{2^{k}}$.

    \noindent \textbf{Вопрос:} почему нельзя просто взять подпоследовательность $n=2^k$ и
    воспользоваться предыдущей задачей?
\problem
    Докажите, что если $\\{a_n\\}$ — ограниченная последовательность и
    $$\lim_{n\to \infty} b_n=0,$$
    то
    $$\lim_{n\to \infty} a_n b_n=0.$$
\problem \homework
    Найдите предел
    \eq
        \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[3]{n^2}\sin n!}{n+1}.

\section*{Арифметика пределов}
\begin{theorem}
    Пусть $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\to \infty}b_n=B$, $A, B \in
    \mathbb R$. Тогда
    \begin{enumerate}
        \item $\lim\limits_{n\to \infty}(a_n + b_n) = A+B$;
        \item $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n \cdot b_n) = A\cdot B$;
        \item $\lim\limits_{n \to \infty}\frac{1}{a_n}=\frac{1}{A}$ если $A\ne 0$;
    \end{enumerate}
\end{theorem}
Начиная с этого момента этими правилами можно пользоваться, если не оговорено
обратное. Также можно пользоваться предыдущими задачами.
\problem
    Найдите пределы, если они существуют. Если не существуют, докажите. При
    использовании правил арифметики пределов требуется обосновать их
    применимость на каждом шаге.
    \items \multicols 2
        \item
            \eq
                \lim_{n\to \infty}\frac{5n^2-12n}{2n^2+7n-2}
        \item \homework
            \eq
                \lim_{n \to \infty} \frac{n^3+10}{n^2+1000n}
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n-1}};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\frac{2^n+n}{\sqrt{n}-2^n \log_2 n};
        \item \homework
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\frac{3n^2-2^{-n}}{n^2-4n+3};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to \infty} \frac{n\ln n+2}{n^2-n+1};
        \item \homework
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sin (2^n+3^n)}{n};
        \vskip 0.1em
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2-1};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty} \frac{2^n + 3^{-n}}{3^n - 2^{-n}};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty} \frac {\sin n +n^3-2^{-n}}{2^n+3};
        \item \homework
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^5+5}}{n-1};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt{n^2-3}-\sqrt{n^2+n}}{\sqrt{n^2-5}-\sqrt{n^2-n}};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty} 2^{1/n};
        \item 
            \eq
                \lim\limits_{n\to\infty} \sin n;
        \item
            \eq
                \lim\limits_{n\to \infty} \cos \frac{1}{n};
        \item \homework
            \eq
                \lim\limits_{n\to \infty} \tg \frac{1}{n};
        \item 
            \eq \lim\limits_{n\to\infty} \frac {\log_2 n}{\sqrt {n}+1}.
\end{document}