lookup gate约束设计的疑惑

[Einstellung]

在 lookup gate Halo2部分有约束设计

$$ (f'(X)-f'(\omega^{-1}\cdot X))\cdot (f'(X)-t'(X)) = 0, \quad \forall x\in H $$

但是这样的约束是不足够的，因为可能是 $\vec{f}'=(9,9,9,9,9,9,9,9)$ 使得 $(f'(X)-f'(\omega^{-1}\cdot X))$ 永远成立，导致 $f'(X)-t'(X)$ 变得无效，所以需要额外加一个约束 $L_0(X)\cdot(f'(X)-t'(X)) = 0$

我的问题是原有约束为什么要设计成乘法乘积的形式呢？如果改成

$$ (f'(X)-f'(\omega^{-1}\cdot X)) + \alpha(f'(X)-t'(X)) = 0, \quad \forall x\in H $$

这种加法形式不就可以避免之前说的常数项无效问题吗？就不用再引入一个额外约束了。为什么不能这样设计呢？

[Einstellung]

答：因为这是一个或的关系，写成乘积的形式可以非常好的表达或这个形式。 $f'(x)$ 既可以等于 $f'(w^{-1} \cdot x)$ 也可能等于 $t'(x)$ 不能写成加和，加法运算就是and关系了。