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TP : Classification de voitures#

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Chargement des données#

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Dans ce TP, nous voulons classifier des voitures, selon leur type (sportive, citadine, familiale…). Commençons par charger les données dans Basthon :

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  1. Télécharger les données (clic droit ici puis enregistrer la cible du lien sous).

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  2. Dans Basthon, cliquer sur Fichier puis Ouvrir et sélectionner le fichier téléchargé.

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  3. Exécuter le code ci-dessous, en modifiant titanic.csv si vous avez utilisé un autre nom de fichier.

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import numpy as np
+import pandas as pd
+import matplotlib.pyplot as plt
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+voitures = pd.read_csv("voitures.csv")
+voitures
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
nommarquecylindréechevauxlongueurlargeurhauteurpoidsvitesse_max0_100consommation
0pandafiat124269365164155103016415.05.7
1ttaudi200020040417613514002357.07.0
2208peugeot1200100398174146105016314.03.8
3c3citroën11246138516715299815716.05.4
4berlingocitroën136075411172180137814916.07.4
5clio 4renault114975406173145110517712.05.0
6mégane 1renault199811541317014210851979.77.3
7espacerenault1870117466186173189717614.09.7
82008peugeot13986841617415612001909.55.7
9capturrenault133390422190158135218010.06.5
10carrera gtporsche573361246119211713853304.018.0
11f40ferrari293647844319811311003244.616.0
12scénicrenault1461105449181164170019011.07.0
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Pour éviter d’utiliser des dataframe pandas, nous allons utiliser des listes attributs et noms tels que attributs[i] contienne les caractéristiques (cyindrée, chevaux, longueur…) et noms[i] le nom de la voiture \(i\) :

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noms = voitures.iloc[:, :2].to_numpy().tolist()
+noms[0] # affiche le nom de la première voiture
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['panda', 'fiat']
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attributs = voitures.iloc[:, 2:].to_numpy().tolist()
+attributs[0] # affiche les valeurs des attributs de la première voiture
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[1242.0, 69.0, 365.0, 164.0, 155.0, 1030.0, 164.0, 15.0, 5.7]
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Pour obtenir la signification des attributs :

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attributs_noms = voitures.columns[2:].to_numpy().tolist()
+attributs_noms
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['cylindrée',
+ 'chevaux',
+ 'longueur',
+ 'largeur',
+ 'hauteur',
+ 'poids',
+ 'vitesse_max',
+ '0_100',
+ 'consommation']
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Standardisation des données#

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Question

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Écrire une fonction moyenne(j) qui renvoie la moyenne de l’attribut j (c’est-à-dire la moyenne de attributs[i][j], pour tous les i possibles).

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moyenne(0) # moyenne de cylindrée
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1908.0
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Question

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Écrire une fonction ecart_type(j) qui renvoie l’écart-type de l’attribut j (c’est-à-dire \(\sigma = \sqrt{\sum_i \frac{(x_i - \mu)^2}{n}}\) où les \(x_i\) sont les valeurs pour l’attribut j et \(\mu\) est la moyenne de l’attribut j).

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ecart_type(0)
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1206.7697505196386
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Si des données \(x_1, ..., x_n\) ont une moyenne \(\mu\) et un écart-type \(\sigma\), on peut standardiser ces données, c’est-à-dire se ramener à une moyenne à \(0\) et un écart-type à \(1\), en remplaçant chaque \(x_i\) par :

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+\[\frac{x_i - \mu}{\sigma}\]
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Question

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Définir une variable X qui contient les caractéristiques standardisées des voitures.

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X[0]
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[-0.5518865547576234,
+ -0.5838129204459943,
+ -1.881194060479367,
+ -1.4284117337371103,
+ 0.3256520809467957,
+ -0.9620792816591849,
+ -0.6746501884297091,
+ 1.034391681977312,
+ -0.5737524192504039]
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+

Question

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On aura aussi besoin de réaliser l’opération inverse de la précédente. Écrire une fonction inverse_standardisation(y) qui renvoie une liste x telle que \(x_i = y_i \sigma_i + \mu_i\), où \(\mu_i\) et \(\sigma_i\) sont la moyenne et l’écart-type de l’attribut \(i\).

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inverse_standardisation(X[0]) # égal à attributs[0]
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[1242.0, 69.0, 365.0, 164.0, 155.0, 1030.0, 164.0, 15.0, 5.7]
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Algorithme des k-moyennes#

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Question

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Écrire une fonction d(x, y) qui calcule la distance euclidienne entre deux attributs de voitures.

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d(X[0], X[1])
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3.6573045403567335
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Question

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Écrire une fonction centre(indices) qui renvoie le centre des X[i] pour i dans la liste indices.

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centre([0, 2, 7]) # centre des voitures 0, 2 et 7
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[-0.3900219295884706,
+ -0.42619570979982285,
+ -0.30720748345964605,
+ -0.35774636214316785,
+ 0.48641703230027744,
+ 0.16190614861559313,
+ -0.6103335371327435,
+ 0.8626535994012577,
+ -0.4020041621721581]
+
+
+
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+

Dans la suite, on utilisera une liste classes telle que classes[i] est la liste des indices j tels que X|j] est dans la classe i.
+Par exemple, si classes = [[0, 8, 11], [2, 7]] alors la classe numéro \(0\) contient les voitures \(0\), \(8\), \(11\) (dont les valeurs sont X[0], X[8] et X[11]).

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+

Question

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Écrire une fonction calculer_centres(classes) qui renvoie une liste contenant les centres de chaque classe. Il faut donc que centres[i] soit le centre de la classe i.

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calculer_centres([[0, 8, 11], [2, 7]])
+
+
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+
+
[[-0.04088048553760174,
+  0.2302101421317011,
+  -0.36593832588575514,
+  0.04375315220456059,
+  -0.4067215863301765,
+  -0.6579569555419957,
+  0.4128859153189823,
+  -0.3309260745023202,
+  0.2686318892762309],
+ [-0.30908961700389415,
+  -0.34738710447673715,
+  0.47978580505021445,
+  0.1775863236538034,
+  0.5667995079770183,
+  0.7238988637529822,
+  -0.5781752114842607,
+  0.7767845581132305,
+  -0.31613003363303516]]
+
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+
+

On initialisera l’algorithme des k-moyennes avec des centres aléatoires en utilisant la fonction suivante :

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def centres_aléatoires(k):
+    np.random.seed(1)
+    return np.random.rand(k, len(X[0])).tolist()
+
+centres_aléatoires(2) # exemple de 2 centres aléatoires
+
+
+
+
+
[[0.417022004702574,
+  0.7203244934421581,
+  0.00011437481734488664,
+  0.30233257263183977,
+  0.14675589081711304,
+  0.0923385947687978,
+  0.1862602113776709,
+  0.34556072704304774,
+  0.39676747423066994],
+ [0.538816734003357,
+  0.4191945144032948,
+  0.6852195003967595,
+  0.20445224973151743,
+  0.8781174363909454,
+  0.027387593197926163,
+  0.6704675101784022,
+  0.41730480236712697,
+  0.5586898284457517]]
+
+
+
+
+
+

Question

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Écrire une fonction plus_proche(i, centres) qui renvoie l’indice du centre le plus proche de la voiture X[i]. Il faut donc renvoyer j tel que d(X[i], centres[j]) est minimum.

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+
plus_proche(0, centres_aléatoires(4))
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+
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+
0
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+
+

Question

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Écrire une fonction calculer_classes(centres) qui renvoie une liste classes de même taille que centres et contenant les classes obtenues en associant chaque X[j] au centre le plus proche.
+Ainsi, classes[i] doit contenir les indices j tel que le centre le plus proche de X[j] est centres[i].

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+
+
+
calculer_classes(centres_aléatoires(3))
+
+
+
+
+
[[0, 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10, 11], [4], [7, 12]]
+
+
+
+
+
+

Question

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Écrire une fonction k_moyennes(k) qui renvoie les classes obtenues par l’algorithme des k-moyennes appliqué aux données X.

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+
classes, centres = k_moyennes(3)
+centres
+
+
+
+
+
[[2.010739827506566,
+  2.2652677985759393,
+  1.1845559141635222,
+  1.683209502457785,
+  -1.8178806037662938,
+  -0.15425435291040127,
+  2.1845173101353987,
+  -1.7220045433683606,
+  2.198755159298423],
+ [-0.39288770686855584,
+  -0.42594631547918027,
+  -0.6566559958949947,
+  -0.7006938639818525,
+  0.13139443139467197,
+  -0.4840370002937282,
+  -0.41153661494212246,
+  0.36461315993070004,
+  -0.5216145554945079],
+ [-0.29279266668822856,
+  -0.3743216911061462,
+  0.9613787129443082,
+  0.7463773023130854,
+  0.861535252125068,
+  1.393601569390209,
+  -0.3589139002446052,
+  0.1757012690970402,
+  -0.07486462488026106]]
+
+
+
+
+
+

Question

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Écrire une fonction inertie(classes, centres) qui renvoie la somme des carrés des distances des voitures aux centres de leurs classes.

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+

Question

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Exécuter le code suivant pour afficher l’inertie en fonction du nombre de classes \(k\). Quel \(k\) vous semble optimal ?

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kmax = 6
+I = []
+for k in range(1, kmax+1):
+    classes,centres = k_moyennes(k)
+    I.append(inertie(classes, centres))
+plt.plot(range(1, kmax+1), I)
+plt.xlabel("k")
+plt.ylabel("inertie")
+plt.show()
+
+
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+../../../../_images/tp_voitures_35_0.png +
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Question

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On prend la valeur de \(k\) obtenue à la question précédente. Pour chaque classe, afficher les voitures de cette classe ainsi que le centre (en appliquant inverse_standardisation dessus).

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Question

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Pour savoir ce qui différencie deux classes, on peut regarder les coordonnées du vecteur dont les extrémités sont les centres des deux classes. Quelles sont les caractéristiques qui différencient les voitures familiale des voitures citadines ? Les voitures sportives des voitures citadines ?

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