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1081 합

랭크 상태
Gold III, 1081 합 성공

문제 분석

이 문제는 n~m 범위의 자릿수합(Digit Sum)을 빠르게 구하는 방법을 요구한다.

풀이

D(n)을 n의 자릿수합이라고 하고, S(n)을 0부터 n까지의 자릿수합이라고 하자.

보조정리: S(m) - S(n - 1)은 n ~ m 범위의 자릿수합이다

임의의 자연수 m에 대해 S(m + k) = S(m - 1) + D(m) + D(m + 1) + \cdots + D(m + k - 1) + D(m + k)이므로 S(m) - S(n - 1)은 n과 m을 포함하는 범위의 자릿수합이라고 할 수 있다.

S(n)

자릿수로 나눠서 생각하기

n = a_0 + a_1 10 + a_2 10^2 + \cdots라고 하자.

한 자리수에선 자릿수합이나 합이나 다름이 없으므로, S(a_0) = \frac{a_0 (a_0 - 1)}{2}이다.

십의 자리 뒤에 붙을 수 있는 숫자들을 생각해보자. 일의 자리 수 0~9가 붙을 거니까 십의 자리 수는 10번 나오고, 10의 자리로 오기 전의 자릿수합을 생각하면 되니까 S(10 - 1)을 넣으면 될 것이다. 그렇다면 (0 \times 10 + S(10 - 1)) + (1 \times 10 + S(10 - 1)) + \cdots + a_1이다.

백의 자리는 어떨까? 0~99가 붙을 거니까 백의 자리는 100번 나오고, 백의 자리로 오기 전까지의 자릿수합을 생각하면 되니까 S(100 - 1)을 넣으면 될 것이다. 그렇다면 (0 \times 10 + S(100 - 1)) + (1 \times 10 + S(100 - 1)) + \cdots + (a_2)이다.

그렇다면 그 다음 자리도, 다음 다음 자리도, 그 뒤로도 쭉 비슷하게 생각할 수 있지 않을까? 10, 100, 1000, 10000, ...으로 계속될 것이다.

따라서, 이 식의 일반화된 꼴은 다음과 같다:

\frac{a_n(a_n - 1)}{2} \times 10^n + a_n + a_n \times S(10^n - 1)

S(9), S(99), S(999), …

위의 성질로 인해 우리는 10^k - 1꼴을 자주 구해야 한다는 걸 알 수 있다. 더 빠르게 구할 방법은 없을까? 한 번 직접 전개해보자.

  • S(0) = 0
  • S(9) = (0 \times 1 + S(0)) + (1 \times 1 + S(0)) + \cdots + (8 \times 1 + S(0)) + (9 \times 1 + S(0)) + S(0)
  • S(99) = (0 \times 10 + S(9)) + (1 \times 10 + S(9)) + \cdots + (8 \times 10 + S(9)) + (9 \times 10 + S(9)) + S(9)
  • S(999) = (0 \times 10 + S(99)) + (1 \times 10 + S(99)) + \cdots + (8 \times 10 + S(99)) + (9 \times 10 + S(99)) + S(99)
  • ...

반복되는 꼴을 찾을 수 있다. 괄호를 풀고 좀 정리를 하면 다음과 같이 정리가 된다.

S(10^k - 1) = 45 \times 10^{k - 1} + 10 \times S(10^{k - 1} - 1) (단, 0 < k)

조금 복잡해보이지만 직접 대입해서 풀어보면 45 × 1, 45 × 20, 45 × 300, ... 임을 알 수 있다. 따라서 식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

S(10^k - 1) = 45 \times k \times 10^{k - 1}

나누어둔 걸 합치기

슬프게도 S(a_0) + S(a_1 10) + S(a_2 10^2) + \cdots = S(a_0 + a_1 10 + a_2 10^2 + \cdots)가 아니다. a_n은 a_{n - 1} + a_{n - 2} + a_{n - 3} + \cdots번 더 등장하기 때문이다. 이걸 고려해서 더해줘야 제대로 된 결과가 나온다.

사실

지금에서야 저렇게 멋지게 정리할 수 있었지만 나는 이 문제를 다음과 같은 방법으로 풀었다.

PSing_PirimPS하는 피림이
@PSing_Pirim

새로운 증명법을 알게 된 피림이

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