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Es una rama de las matemáticas que estudia los números y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Dentro de las operaciones que podemos realizar con los números encontramos cuatro operaciones básicas:
- Suma: representada por el signo + esta operación se encarga de adicionar datos entre sí.
- Resta: representada por el signo - esta operación se encarga de substraer un número de otro. Esta operación es la operación inversa de la suma.
- Multiplicación: representada por los signos x, * y .. Esta operación se puede ver como una suma repetida.
- División: representada por los signos /, - y ÷. Esta operación consiste en formar grupos de elementos.
Operadores básicos
Cada una de las operaciones se puede deshacer con su inversa
En la multiplicación teníamos un numero que se sumaba el numero de veces que indica el operando. Mientras que en la potenciación tenemos un numero que va a ser multiplicado la cantidad de veces que indique su exponente.
Potencias
Podemos encontrar varias propiedades en las potencias, por ejemplo:
- En la multiplicación de dos potencias con misma base los exponentes se suman.
- En la división de dos potencias con misma base los exponentes se restan.
- Una potencia elevada a la cero da uno.
- Una potencia cuya base es cero siempre va a dar cero, no importa el exponente.
Propiedades de los exponentes
La operación inversa de la potenciación es la radicación, lo que va a hacer esta operación es buscar el número raíz o base que se debe multiplicar la cantidad de veces que indique el índice para obtener el radicando.
Si estamos buscando la raíz de una multiplicación podemos separar los términos en varias operaciones raíz y multiplicarlas.
Propiedades de la radicación
Las operaciones se deben resolver siguiendo un orden:
- Las que se encuentren dentro de paréntesis y corchetes.
- Las operaciones de potencias y raíz.
- Las operaciones de multiplicación y división.
- Por último, las operaciones de suma y resta.
La factorización consiste en el proceso de encontrar factores. Para un numero X, los factores serán los números que al multiplicarse su resultado sea igual al número X.
Factores
Para facilitar el proceso de factorización debemos utilizar los números primos.
Los números primos son aquellos números cuyos únicos factores son el mismo número y el número 1.
Los números primos, vienen de la palabra primero, y son la base para componer el resto de números que existen
Números primos
Podemos descomponer un número en números primos
Descomposición
Descomposición método 2
Los seres humanos somos muy visuales, por ello se tuvo la necesidad de graficar lo que se media, así nació la recta numérica.
En la recta numérica se encuentran tanto los números positivos como negativos y en su centro se encuentra el cero. Mientras más a la derecha se encuentre un número en la recta numérica, mayor va a ser su valor.
La recta númerica
Los signos + y - tienen propiedades muy importantes:
- Signos diferentes dan negativo, por ejemplo, sumar un signo negativo te va a dar negativo. Par de signos iguales dan positivo, por ejemplo, restar un signo negativo te va a dar positivo.
Cuando tenemos una operación cuyo resultado no sabemos, este resultado lo representaremos con la letra x y se llamara variable.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que contienen una o más variables.
Ecuaciones
Si tenemos dos ecuaciones distintas, sus valores de x van a ser distintos. Sin embargo, en un sistema de ecuaciones tendremos más de dos ecuaciones cuyo valor de x será igual.
En una ecuación donde tenemos una misma variable x, no puede tomar valores distintos, en cambio si tenemos una variable x y una variable y estas pueden tener mismos valores y también distintos.
Igualdades
En el álgebra seguiremos usando la simbología de la suma y resta, pero para la división y multiplicación habrá unos ligeros cambios. Para la división ya no se usará tanto el símbolo ÷, en su lugar usaremos una línea -. La multiplicación seguirá teniendo los símbolos x, . y *, pero se le va a añadir el poder representar una multiplicación encerrando sus factores en paréntesis: (2)(5) = 10
Simbología
Si una ecuación A es igual a una ecuación B, y esta a su vez es igual a una ecuación C, entonces A es igual a C.
Para mantener la igualdad dentro de una ecuación si realizamos una operación de un lado, debemos realizar la misma operación del otro lado de la igualdad.
Propiedades de las ecuaciones
Así como en aritmética empezábamos resolviendo los paréntesis y terminabas con las sumas, pero en una ecuación vamos a realizar el proceso al revés, iniciando por las sumas y terminando en los paréntesis.
Orden de solución de ecuaciones
Cuando tenemos una raíz cuadrada de una variable en nuestra ecuación, solamente debemos elevar al cuadrado cada lado de la igualdad para obtener la solución.
Exponentes y raíces
En los casos que tenemos una variable elevada al cuadrado debemos aplicar raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad, pero el resultado de la variable se deberá mostrar tanto positivo como negativo.
Las raíces se pueden expresar como fracciones
Propiedad de las raíces
De raíz a exponente
La palabra poli significa múltiples o varios, mientras que nomio significa término, entonces polinomio son varios términos.
Un término es el conjunto de un coeficiente y una variable.
El grado de un polinomio estará determinado por el grado máximo de los exponentes. Mientras más grande sea el grado de un polinomio mayor será su complejidad.
Polinomios
Los términos semejantes son aquellos que tienen misma variable y exponente, por ello se pueden sumar o restar. Podemos simplificar los polinomios buscando unir sus términos semejantes.
Simplificar polinomios
Al momento de simplificar polinomios nos será de gran utilidad la propiedad distributiva. Esta propiedad en aritmética nos permite solucionar de dos maneras la siguiente expresión 3*(4+6) ya sea resolviendo primero la suma dentro del paréntesis y luego multiplicar, o multiplicando el número por cada componente de la suma y posteriormente sumar los resultados.
En álgebra en una expresión 3(x+6) no podemos sumar 6 a x, por ello hacemos uso de la propiedad distributiva para multiplicar 3 por cada uno de los componentes de la suma, dejando la siguiente expresión 3x+18.
Propiedad distributiva
De esta forma, las ecuaciones se pueden factorizar, etrayendo los números comúnes
Ejemplo de factorización
De esta forma si se pueden simplificar aún más las ecuaciones
Ejemplo de Desarrollo de polinomios
Este tipo de ejercicios ayudan a desarrollar nuestra lógica
Para una función tendremos un valor de entrada y esta nos regresara un valor de salida diferente o igual, de acuerdo con lo que la función indique. Por cada valor de entrada va a haber solamente un valor de salida. Los datos de entrada de una función son llamados dominio, mientras que los datos de salida son llamados rango.
Al momento de escribir funciones podemos usar la variable y, pero una forma más académica sería escribiendo f (x).
Función
Dentro de las funciones tenemos una variable dependiente e independiente.
La variable independiente por lo general es x pues es el valor que le damos de entrada, puede ser cualquier valor, mientras que en la variable dependiente su valor será igual al resultado de la función.
Tabulación de funciones
También podemos graficar las funciones, así como graficamos un número dentro de la recta numérica para graficar una función haremos uso de dos rectas numéricas. Una recta de forma horizontal representando los valores de x y una recta vertical representando los valores de y. Esto es el plano cartesiano.
El plano cartesiano se encuentra dividido en cuatro cuadrantes.
Ejemplo de plano cartesiano
Cuando nos enseñan a dibujar los números sobre la recta, solo dibujamos la recta en horizontal. Pero cuando se empieza con las coordenadas, tenemos que dibujar el otro eje en perpendicular, cortando a la recta. Ahí tenemos el significado de "abscisa", pues la palabra abscissa significa "línea cortada".
Para el eje de ordenadas parece ser que hay dos versiones:
- Ordinatae, que significa paralela, y hace referencia a que para dibujar un punto hay que trazar una paralela a este eje por el lugar adecuado
- Orthia, que significa recto y hacia arriba.
Y por último... ¿qué ocurre en tres dimensiones? Aparece un nuevo eje, llamado eje Z. Tengo que reconocer que nunca me había planteado si este eje tenía nombre o no, y resulta que se llama eje de COTAS.
Recuerda que en una función por cada valor de x hay un valor de y. Para saber si tenemos una función o no solamente debemos realizar la prueba de línea vertical donde si un valor de x se cruza dos veces con un valor de y, entonces no es una función.
Comprobar si es función o no
Las funciones lineales las vamos a utilizar y ver de forma frecuente en nuestra vida cotidiana, estas funciones tienen la forma y = mx donde m se llama pendiente. La pendiente nos sirve para ver qué tan rápido crece o decrece nuestros valores de la función.
Mientras más grande sea el valor de la pendiente más se va a acercar a la línea vertical, pero nunca la va a tocar. Por otro lado, si nuestra pendiente tiene un valor menor a 1 y mayor a 0, se irá acercando a la línea horizontal del plano cartesiano.
Funciones lineales
Si los valores de nuestra pendiente son negativos, entonces nuestra función tendrá valores en los cuadrantes II y IV.
Hasta el momento todas nuestras funciones han pasado por el punto (0, 0),si queremos que no pasen por este punto solamente necesitamos que a nuestra función se le sume una constante. y = mx +b
Funciones lineales en todos los cuadrantes
Identificar si una función no es lineal a partir de su ecuación es bastante fácil, si la ecuación tiene algún exponente entonces ya no es una función lineal.