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Pascal's Triangle II

Given an index k, return the kth row of the Pascal's triangle.

For example, given k = 3, Return [1,3,3,1].

Note: Could you optimize your algorithm to use only O(k) extra space?

Solution

根据Pascal's Triangle分析，很容易求出第k行.

注意题目k从0开始计算，因此第k行有k + 1个数。

使用迭代的方式求：后面的一个数等于前面的数乘以一个分数,这个分数从左到右分别为n/1, (n-1)/2, ..., 2/(n-1), 1/n

比如求第5行:

• 初始化第一项为1
• 分数从左到右为5/1, 4/2， 3/3, 2/4, 1/5， 因此从左到右的数字为1 * 5/1 == 5, 5 * 4/2 == 10, 10 * 3/3 = 10, 10 * 2/4 == 5, 5 * 1/5 == 1, 最后结果为1,5,10,10,5,1

因此代码很容易为:

vector<int> getRow(int n) {
	vector<int> result(n + 1, 0);
	result[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		result[i] = result[i - 1] * (n - i + 1) / i;
	}
	return result;
}

但注意当前一个数乘以分子时可能会溢出，因此先需要约分。。

约分需要求最大公约数。如何求两个数的最大公约数？

最简单的方法是使用辗转相除法，即

int gcd(int x, int y)
{
	return (!y) ? x : gcd(y, x % y);
}

但我们使用了模运算，开销大。

我们使用类似辗转相除法分析，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除x-y和y，而能够同时整除x-y和y也能够整除x和y，即x和y的公约数与x-y和y的公约数相同。即gcd(x, y) = gcd(x - y, y).

int gcd(int x, int y)
{
	if (x < y)
		return gcd(y, x);
	if (y == 0)
		return x;
	return gcd(x - y, y);
}

但是虽然使用减法代替了除法运算，但是减法的迭代次数太多了。

从分析公约数的特定入手:

• 对于Y和X，若Y = k * x, X = k * x, 则gcd(Y, X) = k * gcd(y, x)
• 若X = p * x, 假设p是素数， 并且Y % p != 0(y不能整除p), 则gcd(X, Y) = gcd(p * x, Y) = gcd(x, Y)
• 同理当Y = p * y的情况

注意到以上三点后，就可以大幅度对算法改进。

最简单的方法是，2是素数，同时除以2可以使用移位操作，因此我们可以取p = 2

• 若x,y均是偶数, gcd(x, y) = gcd(x >> 1, y >> 1) << 1
• 若x为偶数，y为奇数, gcd(x, y) = gcd(x >> 1, y)
• 若y为偶数，x为奇数, gcd(x, y) = gcd(x, y >> 1)
• 若x，y都是奇数, gcd(x, y) = gcd(y, x - y)

最坏情况下时间复杂度O(log(max(x, y)))

int gcd(int a, int b)
{
	if (a < b)
		return gcd(b, a);
	if (b == 0)
		return a;
	if ((a & 0x1) == 0) {
		if ((b & 0x1) == 0)
			return gcd(a >> 1, b >> 1) << 1;
		else
			return gcd(a >> 1, b);
	} else {
		if ((b & 0x1) == 0)
			return gcd(a, b >> 1);
		else
			return gcd(b, a - b);
	}
}

最后代码为:

vector<int> getRow(int n) {
	vector<int> result(n + 1, 0);
	result[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 必须约分， 否则溢出
		int molecular = (n - i + 1), denominator = i;
		int g = gcd(molecular, denominator);
		molecular /= g;
		denominator /= g;
		int multiplier = result[i - 1];
		g = gcd(multiplier, denominator);
		multiplier /= g;
		denominator /= g;
		int value = multiplier * molecular / denominator;
		result[i] = value;
	}
	return result;
}

扩展

关于杨辉三角性质Pascal's Triangle