-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
seminar15.tex.qq
161 lines (157 loc) · 6.58 KB
/
seminar15.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 15}
\date{28 октября 2020}
\begin{document}
\problem
Найти производную функции, пользуясь определением:
\items \multicols 3
\item $c$, $c \in \mathbb R$.
\item $cx$, $c \in \mathbb R$;
\item $x^n$, $n\in \mathbb N$;
\item \homework $x^{-1}$;
\comment{$-x^{-2}$}
\item \homework $x^{-n}$, $n\in \mathbb N$;
\comment{$-nx^{-n-1}$}
\item \homework $\sqrt{x}$;
\comment{$\frac{1}{2\sqrt{x}}$}
\item $e^{x}$;
\item $\sin x$;
\item \homework $\cos x$.
\comment{$-\sin x$}
\problem
Для данного графика функции построить эскиз графика производной этой
функции.\footnote{Картинки нарисованы Ю.~Г.~Кудряшовым}
\items \multicols 2
\item
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1.2) -- (0, 1.2);
\draw[graph] plot[domain=-3.5:3.5,smooth,samples=200] (\x,
{-sin(180*\x+45)});
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1.2) -- (0, 1.2);
\draw[graph] (-3, 1) cos (-2.5, 0) sin (-2, -1) cos (-1.5, 0)
sin (-1, 1) -- (1, 1) cos (1.5, 0) sin (2, -1) cos (2.5, 0) sin
(3, 1);
\end{tikzpicture}
\item \homework
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1.2) -- (0, 1.2);
\draw[graph] (-3, -1) parabola bend (-2.5, 1) (-2, -1) -- (-1,
-1) -- (1, 1) parabola bend (2, -1) (3, 1);
\end{tikzpicture}
\item \homework
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1) -- (0, 1.2);
\draw[graph] plot[domain=-3.3:3.3,smooth,samples=200] (\x,
{(\x-3)*(\x+1.7)*(\x-1)*(\x+2.7)/30});
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1.2) -- (0, 2);
\draw[graph] plot[domain=0:3.3,smooth,samples=200] (\x, {sqrt(\x)});
\end{tikzpicture}
\item \homework
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -1.7) -- (0, 1.7);
\draw[graph] plot[domain=-3.3:3.3,smooth,samples=200] (\x,
{-rad(atan(\x))});
\end{tikzpicture}
\item \homework
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline=(current bounding box.center)]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 3);
\draw[graph] plot[domain=-3.3:3.3,smooth,samples=200] (\x, {exp(\x/2)/2});
\end{tikzpicture}
\item
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline=(current bounding box.center)]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -2) -- (0, 1.5);
\draw[graph] plot[domain=0.1:3.3,smooth,samples=200] (\x, {ln(\x)});
\end{tikzpicture}
\item \homework
\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,baseline={(0,0)}]
\draw[->] (-3.5, 0) -- (3.5, 0);
\draw[->] (0, -0.5) -- (0, 1.5);
\draw[graph] plot[domain=-3.3:3.3,smooth,samples=200] (\x,
{exp(-\x*\x/2)});
\end{tikzpicture}
\problem
Существует ли $f'(0)$? Если да, найти её.
\items \multicols 2
\item
$f(x)=|x^3|$;
\item \homework
$f(x)=|x|+x$;
\comment{Не существует}
\item \homework
$f(x)=\sqrt{|x|}$;
\comment{Не существует}
\item
\eq
f(x)=
\begin{cases}
\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\\\
0,& x = 0
\end{cases}
\item
\eq
f(x)=
\begin{cases}
x \sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\\\
0,& x = 0
\end{cases}
\item
\eq
f(x)=
\begin{cases}
x^2 \sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\\\
0,& x = 0
\end{cases}
\item $f(x)$ — функция Дирихле.
\item \homework $f(x)=x \mathcal D(x)$, где $\mathcal D(x)$ — функция Дирихле.
\comment{Не существует}
\item \homework $f(x)=x^2 \mathcal D(x)$.
\comment{Существует, равна 0}
\problem
Найти уравнение касательной к графику функции в данной точке. Построить
график функции и касательную.
\items \multicols 2
\item
\eq f(x)=x^2\quad (2, 4);
\item \homework
\eq f(x)=\sqrt{x}\quad (4, 2);
\item
\eq f(x)=\sin x\quad (0, 0);
\item
\eq f(x)=\sin 3x\quad (0, 0);
\item \homework
\eq f(x)=2\sin x\quad (0, 0);
\item
\eq f(x)=e^x \quad (0, 1);
\begin{definition}
Функция $f$ называется \emph{чётной}, если $f(x)=f(-x)$ для всех $x$ из области
определения. Функция $f$ называется \emph{нечётной}, если $f(-x)=-f(x)$ для всех
$x$ из области определения.
\end{definition}
\problem
Пользуясь определением, докажите, что
\items
\item
производная чётной функции является нечётной функцией;
\item \homework
производная нечётной функции является чётной функцией.
Проиллюстрируйте доказанный факт с помощью графика.
\end{document}