-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
seminar16.tex.qq
220 lines (204 loc) · 7.49 KB
/
seminar16.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 16}
\date{30 октября 2020}
\begin{document}
\noindent {\footnotesize Некоторые задачи основаны на книге Stewart, Calculus,
Early transcedentals}
\begin{theorem}
Пусть функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$. Тогда
\begin{enumerate}
\item $(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)$.
\item $(f(x)\cdot g(x))'=f'(x) g(x) + f(x) g'(x)$.
\end{enumerate}
\problem \homework
Пусть функции $f$ и $g$ дифференцируемы в точке $x$ и $g(x)\ne 0$.
Докажите, что тогда
\items \multicols 2
\item
\eq
\left(\frac{1}{g(x)}\right)'=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}
\item
\eq
\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
\end{theorem}
\begin{theorem}
Пусть $f$ дифференцируема в точке $x_0$ и $g$ дифференциурема в точке
$y_0=f(x_0)$. Тогда
$$
g(f(x))'=g'(f(x))f'(x).
$$
\end{theorem}
\problem
Графики функций $f$ и $g$ изображены на картинке. Пусть $u(x)=f(g(x))$,
$v(x)=g(f(x))$ и $w(x)=g(g(x))$. Найти следующие производные, если они
существуют. Если не существуют, объяснить, почему.
\begin{center}
\newcommand{\ppicsize}{7mm}
\begin{tikzpicture}
[x=\ppicsize,y=\ppicsize, xstep=\ppicsize,ystep=\ppicsize]
\draw[help lines] (-1, -1) grid (7, 6);
\draw[->,thick] (-1, 0) -- (7, 0) node[below left] {$x$};
\draw[->,thick] (0, -1) -- (0, 6)node[below left] {$y$} ;
\foreach \xx in {0,...,6}{
\node[fill=white,below] at (\xx, -1mm) {$\xx$};
}
\foreach \yy in {0,...,5}{
\node[fill=white,left] at (-1mm, \yy) {$\yy$};
}
\draw[red, very thick] (-1,1) -- (0,0) -- (2,4) node
[black, above left] {$f$} -- (7,2.75);
\draw[blue, very thick, dashed] (0,6) -- (2,0) node
[black, above left] {$g$} -- (7, 5*2./3);
\end{tikzpicture}
\end{center}
\items \multicols 3
\item \eq u'(1);
\item \homework \eq v'(1);
\comment{Не существует}
\item \homework \eq w'(1).
\comment{$-2$}
\problem
Может ли такое быть, что $f$ и $g$ не дифференцируемы в точке $x_0$, а
\items \multicols 2
\item $f+g$;
\item \homework $fg$
\comment{Да}
\noindent дифференцируема в этой точке?
\problem
Может ли такое быть, что $f$ не дифференцируема в точке $x_0$, $g$
дифференцируема в точке $f(x_0)$ и при этом композиция $g\circ f$
дифференцируема в $x_0$?
\problem
Представляя $a^x$ в виде $e^{x \ln a}$, найти $(a^x)'$.
\problem
Найти производные следующих функций и укажите область определения этих
производных:
\items \multicols 3
\item
\eq
\frac{\sin x}{2\cos x +3};
\item
\eq
x^2e^x;
\item \homework
\eq
x^2 e^x \sin x
\comment{$x^{2} e^{x} \\sin{\\left (x \\right )} + x^{2} e^{x}
\\cos{\\left (x \\right )} + 2 x e^{x} \\sin{\\left (x \\right)}$}
\item \homework
\eq
\frac{x^3+2x^2+x}{x^2-1};
\comment{$\\frac{x^{2} - 2 x - 1}{\\left(x - 1\\right)^{2}}$}
\item \homework
\eq
\sin\sqrt{1+x^2};
\comment{$\\frac{x}{\\sqrt{x^{2} + 1}} \\cos{\\left (\\sqrt{x^{2} +
1} \\right )}$}
\item
\eq
\sin^2 x + \cos^2 x;
\comment{$0$}
\item
\eq
e^{x^2};
\item
\eq
e^{2^x};
\item \homework
\eq
\sqrt{\frac{x-1}{x+1}};
\comment{$\\frac{\\sqrt{\\frac{x - 1}{x + 1}}}{x^{2} - 1}$}
\item \skiptest \homework
\eq
e^{2^{\sin x}}\cos^2 x^2;
\comment{$e^{2^{\sin{\left(x \right)}}} \left(2^{\sin{\left(x
\right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} \cos{\left(x^{2} \right)}
- 4 x \sin{\left(x^{2} \right)}\right) \cos{\left(x^{2}
\right)}$}
\item \skiptest \homework
\eq
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}};
\comment{$\frac{4 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} + 2 \sqrt{x} + 1}{8 \sqrt{x} \sqrt{\sqrt{x} + x} \sqrt{x + \sqrt{\sqrt{x} + x}}}$}
\item
\eq
\begin{cases}
\sin \frac {1}{x}, & x\neq 0 \\\\
0, & x= 0
\end{cases}
\item
\eq
\begin{cases}
x \sin \frac {1}{x}, & x\neq 0 \\\\
0, & x= 0
\end{cases}
\item
\eq
\begin{cases}
x^2 \sin \frac {1}{x}, & x\neq 0 \\\\
0, & x= 0
\end{cases}
\item
\eq
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x}}, & x > 0 \\\\
0, & x \le 0
\end{cases}
\item \homework
\eq
\begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}, & x \ne 0 \\\\
0, & x = 0
\end{cases}
\comment{$0$}
\problem
Найти такую функцию $f$, что при всех $x\in \mathbb R$
\items \multicols 3
\item
\eq
f'(x)=1
\item
\eq
f'(x)=x
\item \homework
\eq
f'(x)=x^2
\comment{$x^3/3+C$}
\item
\eq
f'(x)=\sin x
\item \homework
\eq
f'(x)=\cos x
\comment{$-\sin x$}
\item
\eq
f'(x)=e^x
\item
\eq
f'(x)=e^{2x}
\item
\eq
f'(x)=f(x)
\item \homework
\eq
f'(x)=2f(x)
\comment{$Ce^{2x}$}
\problem
Дана парабола~— график функции $y=x^2$. Выясните, из каких точек плоскости
к ней можно провести:
\begin{enumerate}
\item Одну касательную?
\item Две касательных?
\item Ни одной касательной?
\end{enumerate}
\problem (*) \skiptest
Рассмотрим зеркало в форме параболы $y=x^2$.
Докажите, что пучок лучей, параллельных оси $0y$, отразившись от зеркала,
собирается в одной точке (фокусе параболы). Найдите эту точку.
\comment{$(0,1/4)$}
\end{document}