-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
seminar18.tex.qq
138 lines (134 loc) · 7.57 KB
/
seminar18.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 18}
\date{12 ноября 2020}
\begin{document}
\begin{theorem}
Пусть функция $f$ определена на отрезке $[a, b]$, непрерывна на этом отрезке и
обратима. Пусть она дифференцируема в точке $x_0 \in (a, b)$ и $f'(x_0)\ne 0$.
Тогда обратная функция $f^{-1}$ дифференцируема в точке $y_0=f(x_0)$ и её
производная равна
\eq
(f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}
\end{theorem}
\problem
С помощью теоремы о производной обратной функции найдите производные
следующих функций
\items \multicols 3
\item $\sqrt{x}$;
\item \homework $\sqrt[3]{x}$;
\comment{$\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$}
\item $\ln x$;
\item $\arcsin x$;
\item \homework $\arccos x$;
\comment{$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$}
\item \homework $\arctg x$.
\comment{$\frac{1}{x^{2} + 1}$}
\problem
Пользуясь равенством $a^x=e^{x \ln a}$ найти производную функции
\items \multicols 3
\item $a^x$;
\item $x^x$;
\item \homework $x^{(x^x)}$.
\comment{$x^{x^{x} - 1} \left(x^{x} + x^{x + 1}
\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(x
\right)}\right)$}
\problem
Найдите производные
\items
\item $\log_5 x$;
\item \homework
$\arctg \sqrt{|2x|}$;
\comment{$\frac{\sqrt{2} \operatorname{sign}{\left(x \right)}}{2
\left(2 \left|{x}\right| + 1\right)
\sqrt{\left|{x}\right|}}$}
\item $e^{4 \ln x}$;
\item \homework $e^{f(x)}$, если производная $f(x)$ известна;
\comment{$f'(x)e^{f(x)}$}
\item $\ln f(x)$, если производная $f(x)$ известна;
\item \homework \skiptest
$(\log_3 x)^{x^2+3}$.
\comment{$\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3
\right)}}\right)^{x^{2} + 3} \left(2 x
\log{\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3
\right)}} \right)} + \frac{x^{2} + 3}{x
\log{\left(x \right)}}\right)$}
\problem
Часто при графическом изображении зависимостей используют
\emph{логарифмические шкалы}, то есть по осям откладывают не сами значения
величин, а их логарифмы. Логарифмическая шкала удобна, если интересующая нас
величина меняется «на порядки» — например, зарплата конкретного человека
может составлять 10 тыс. рублей в месяц, может 100 тыс. рублей, а может и
десятки миллионов руб. При этом мы хотели бы на графике отразить разницу как
между 10 тыс. и 100 тыс., так и между 100 тыс. и десятком миллионов. Если
взять обычную линейную шкалу и отмасштабировать её таким образом, чтобы на
графике уместились точки, соответствующуие ста миллионам, то разница между
10 и 100 тысячами станет невидимой глазу. Логарифмическая шкала позволяет
справиться с этой проблемой.
Рассмотрим графики
\begin{center}
\begin{tikzpicture} [x=1cm,y=1cm]
\draw[help lines] (-2, -2) grid (2, 2);
\draw[thick] plot[domain=-1.8:1.8,smooth,samples=200] (\x, {\x});
\draw[->,thin] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->,thin] (0,-2) -- (0,2);
\node[below left,black] at (0,0) {$0$};
\node[below left,black] at (0,1) {$1$};
\node[below left,black] at (1,0) {$1$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture} [x=1cm,y=1cm]
\draw[help lines] (-2, -2) grid (2, 2);
\draw[thick] plot[domain=-1:1,smooth,samples=200] (\x, {2*\x});
\draw[->,thin] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->,thin] (0,-2) -- (0,2);
\node[below left,black] at (0,0) {$0$};
\node[below left,black] at (0,1) {$1$};
\node[below left,black] at (1,0) {$1$};
\end{tikzpicture}
\begin{tikzpicture} [x=1cm,y=1cm]
\draw[help lines] (-2, -2) grid (2, 2);
\draw[thick] plot[domain=-1.8:1.8,smooth,samples=200] (\x, {-\x});
\draw[->,thin] (-2,0) -- (2,0);
\draw[->,thin] (0,-2) -- (0,2);
\node[below left,black] at (0,0) {$0$};
\node[below left,black] at (0,1) {$1$};
\node[below left,black] at (1,0) {$1$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
Записать зависимость формулой и нарисовать график в обычных осях $(x, y)$,
если
\items
\item вертикальная ось является логарифмической (то есть по вертикали
откладывается $\ln y$), а горизонтальная — обычной;
\item вертикальная ось является обычной, а горизонтальная —
логарфимической;
\item обе оси являются логарифмическими.
\problem
Укажите и классифицируйте точки разрыва. Найдите локальные и глобальные
максимумы и минимумы, промежутки монотонности, асимптоты для следующих
функций. Нарисуйте эскизы графиков.
\items \multicols 3
\item
$f(x)=\ln x + \frac{x^2}{2}-6x$;
\item \skiptest
\eq f(x)=(1+x)^{\frac{1}{x}};
\item \homework
\eq f(x)=\ln(1+e^{-x}).
\comment{всюду непрерывна, всюду убывает, имеет наклонную асимптоту
$y=-x$ и горизонтальную асимптоту $y=0$}
\problem
Рассмотрим функцию
$$f(x)=x^{2} \ln(2x).$$
Найти односторонний предел функции в точке $x=0$,
доопределить функцию в этой точке по непрерывности, то есть рассмотреть
функцию $\tilde f$, которая совпадает с $f$ во всех точках, кроме $x=0$, а в
$x=0$ принимает такое значение, что $\tilde f$ односторонне непрерывна в
этой точке. Имеет ли функция $\tilde f$ односторонюю производную в точке
$x=0$? Если да, найти её. Найти односторонний предел производной $\tilde f$
при $x \to 0^+$. Провести полное исследование $\tilde f$, построить её
график.
\end{document}