seminar24.tex.qq

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{needspace}

% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 24}
\date{2 декабря 2020}
\begin{document}

\noindent {\footnotesize Некоторые задачи основаны на учебнике \emph{Stewart J. Calculus, Early
Transcedentals}.}

\begin{definition}
    Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. Её \emph{первообразной}
    называется такая функция $F$, непрерывная на $[a, b]$ и дифференцируемая на
    $(a, b)$, что $F'(x)=f(x)$ для всех $x \in (a, b)$.
\end{definition}
\begin{theorem}(Формула Ньютона — Лейбница)
Пусть функция $f$ непрерывна на отрезке $[a, b]$. Тогда
\begin{enumerate}
    \\item[1.] Пусть $G(x)=\int_a^x f(\xi)d\xi$. Тогда $G$ — первообразная $f$.
    \\item[2.] $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$, где $F$ — какая-нибудь первообразная
        $f$.
\end{enumerate}
\end{theorem}
\needspace{5cm}
\problem
    С помощью формулы Ньютона — Лейбница найти следующие интегралы, если они
    существуют.
    \items \multicols 3
        \item 
            \eq 
                \int_{0}^1 (2x+4x^3)\, dx;
        \item
            \eq
                \int_1^t \frac{2\,dx}{x};
        \hidden
            #TODO
            \item
                \eq
                    \int_{-1}^t \frac{2,dx}{x};
        \item \homework
            \eq
                \int_0^4 \sqrt{x}\, dx;
            \comment{$\frac{16}{23}$}
        \item
            \eq
                \int_{-1}^2 \frac{1}{x^2}\, dx;
        \item
            \eq
                \int_0^\pi (\sin x+\cos x)\, dx;
        \item \homework
            \eq
                \int_{\ln 2}^{\ln 3}(e^x+e^{-x})\, dx.
            \comment{$\frac{7}{6}$}
\problem
    Пусть 
    \eq
        G(x)=\int_0^{\sqrt{x}} e^{-t^2}dt. 
    Найти $G'(x)$.
\problem
    Докажите, что
    \items \multicols 3
        \item
            \eq
                \int_1^{100} e^{-x^2}dx < \frac{99}{e};
        \item
            \eq
                \int_0^1 e^x \sin x\, dx < 2;
        \item \homework
            \eq
                \int_1^{100} e^{-x^2}dx < \frac{1}{e}.

\problem
    Найти все возможные функции $F(x)$, определённые на $\mathbb R \setminus
    \\{0\\}$, для которых справедливо утверждение 
    \items \multicols 2
        \item $F'(x)=\frac{1}{x}$ 
        \item \homework $F'(x)=\frac{1}{x^2}$
            \comment{Ответ:
                $\displaystyle
                    \begin{cases}
                        -\frac{1}{x}+C_1,& x<0\\\\
                        \frac{1}{x}+C_2,& x>0
                    \end{cases}$}
    \noindent для всех $x\ne 0$.

\needspace{4cm}

\problem
    Найти площадь области, ограниченной кривыми.
    \items
        \item $y=x$ и $y=x^2$;
        \item $y=x^2$ и $y^2=x$;
        \item \homework $4x+y^2=12$ и $y=x$;
            \comment{$\frac{64}{3}$}
        \item \homework $y=|x|$ и $y=x^2-2$;
            \comment{$\frac{20}{3}$}
        \item $y=1/x$, $y=x$ и $y=x/4$ в области $x>0$;
        \item \homework $y=3x^2$, $y=8x^2$ и $4x+y=4$ в области $x \ge 0$.
            \comment{$\frac{17}{54}$}
\problem
    С помощью формулы замены переменных найти следующие интегралы. (Не забудьте
    вернуться к исходной переменной; и константу не забудьте.)
    \items \multicols 2
        \item \eq \int \sin (\pi x)\, dx;
        \item \eq \int x \sin x^2\, dx;
        \item \homework \eq \int x^2(x^3 + 2)^{12}\, dx;
            \comment{$\frac{(x^3+2)^{13}}{39}+C$}
        \item \eq \int e^x \sin e^x\, dx;
        \item \eq \int \frac{\ln x}{x}\, dx;
        \item \homework \eq \int \frac{x}{x^2+1}\, dx;
            \comment{$\\frac{\\ln{\\left(x^{2} + 1 \\right)}}{2}+C$}
        \item \homework \eq \int (x+1) \sqrt{2x+x^2}\, x;
            \comment{$\\frac{\\left(x \\left(x + 
                            2\\right)\\right)^{\\frac{3}{2}}}{3}+C$}
        \item \eq \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx;
        \item \eq \int \frac{\arctg x}{1+x^2} dx.
        
\problem
    Найти интегралы с помощью интегрирования по частям.
    \items \multicols 2
        \item \eq \int x \sin 3x\, dx;
        \item \eq \int xe^{-x}\, dx;
        \item \homework \eq \int e^x \sin 2x\, dx;
            \comment{$\\frac{e^{x} \\sin{\\left(2 x \\right)}}{5} - \\frac{2
                    e^{x} \\cos{\\left(2 x \\right)}}{5}+C$}
        \item \eq \int \ln x\, dx;
        \item \homework \eq \int (\ln x)^2\, dx;
            \comment{$x \\ln{\\left(x \\right)}^{2} - 2 x \\ln{\\left(x
                        \\right)} + 2 x+C$}
        \item \homework \eq \int x^5 \ln x \, dx.
            \comment{$\\frac{x^{6} \\log{\\left(x \\right)}}{6} -
                \\frac{x^{6}}{36}+C$}

        
\end{document}