-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
seminar28.tex.qq
107 lines (102 loc) · 3.87 KB
/
seminar28.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{needspace}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\title{Семинар 28}
\date{16 декабря 2020}
\begin{document}
{\footnotesize
\noindent Некоторые задачи основаны на учебнике \emph{Stewart J. Calculus, Early
Transcedentals}.}
\problem
Докажите, что если ряд сходится абсолютно, то он сходится, то есть если
\eq
\sum_{n=1}^\infty |a_n| < \infty,
то
\eq
\sum_{n=1}^\infty a_n < \infty.
\begin{hint}
Рассмотрите последовательность $b_n = a_n + |a_n|$. Сходится ли ряд
$\sum_{n=1}^\infty b_n$?
\end{hint}
\problem
Рассмотрим ряд $\sum_{k=1}^\infty a_k$. Пусть существует предел
\eq
\lim_{k\to \infty} \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| = c.
Докажите, что если $c > 1$, то ряд расходится, а если $c < 1$, то сходится
абсолютно. Что может быть при $c=1$?
\problem
Рассмотрим ряд $\sum_{k=1}^\infty a_k$. Пусть существует предел
\eq
\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = c.
Докажите, что если $c > 1$, то ряд расходится, а если $c < 1$, то сходится
абсолютно. Что может быть при $c=1$?
\problem
\needspace{5cm}
Сходится ли ряд? Если да, найти его сумму.
\items \multicols 2
\item \eq \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e^n}+\frac{1}{n(n+1)}\right)
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \frac{k^2}{k^2-1}
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \frac{1+2^n}{3^n}
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \frac{n(n+2)}{(n+3)^2}
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \exp(-2n+3)
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2-1}
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \ln \frac{n}{n+1}
\item \eq \sum_{n=1}^\infty \frac{2^n}{3^{n-1}}
\problem
При каких значениях $\alpha \in \mathbb R$ сходится ряд
\items \multicols 2
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha};
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^\alpha}?
\problem
Найти значение $p$, при котором ряд сходится
\items \multicols 2
\item \eq \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n (\ln n)^p}
\item \eq \sum_{n=2}^\infty \frac{\ln n}{n^p}
\problem
Сходится ли ряд? Сходится ли он абсолютно?
\items \multicols 2
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin 4n}{2^n};
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{n!}{100^n};
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{n}{\sqrt{n^3+1}};
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{\ln n};
\problem
Сходится ли ряд?
\items
\multicols 2
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin (1/n)}{\sqrt{n}};
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{2}-1)^n;
\item
\eq
\sum_{n=1}^\infty (\sqrt[n]{2}-1);
\item (*)
\eq
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}.
\problem
Найти сумму ряда
\eq
\sum_{k=1}^\infty \frac{k}{a^k}
при всех значениях $a>0$, при которых ряд сходится.
\begin{hint}
Этот ряд можно представить как бесконечную сумму геометрических прогрессий.
\end{hint}
\end{document}