-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
seminar29.tex.qq
70 lines (63 loc) · 2.68 KB
/
seminar29.tex.qq
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage{needspace}
% autocompile publish
\usepackage{math-hse}
\usepackage{multicol}
\usepackage{tikz,pgf,pgfplots}
\tikzset{>=latex,graph/.style={thick}}
\newcommand{\ph}{\varphi}
\title{Семинар 29}
\date{18 декабря 2019}
\begin{document}
{\footnotesize
\noindent Знаком \homework отмечены задачи или пункты для самостоятельного решения. Их не
планируется обсуждать на семинаре, но они могут быть включены в самостоятельную
работу наравне с остальными задачами. (На самом деле, нет, это последний
семинар.)
\vskip 0.5mm
\problem
Найти значение выражения
\items \multicols 4
\item $(2+3i)(3-2i)$;
\item $(1+2i)^3$;
\item $1/i$;
\item $1/(1+i)$.
\problem
Записать в виде $z=re^{i\ph}$ комплексное число
\items \multicols 4
\item $1$
\item $-1$
\item $2i$;
\item $i+1$;
\problem
Корнем степени $n$ из комплексного числа $z$ называется такое комплексное
число $w$, что $w^n=z$. Найти все корни пятой степени из\
\items
\item единицы.
\item минус единицы.
Нарисовать их на комплексной плоскости.
\problem
Найти сумму всех корней пятой степени из единицы.
\problem
Найти все решения уравнения (в комплексных числах):
\eq
z^3=\bar z.
\problem
Докажите, что
\items \multicols 2
\item
\eq \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}
\item \homework
\eq \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}
\problem
Существует ли такое комплексное число $z$, что $\sin z = 3$?
\problem
Логарифмом комплексного числа $z$ называется такое число $w$, что $e^w=z$.
Докажите, что логарифм может быть записан формулой
\eq
\log z = \log |z| + i \mathop{\mathrm{Arg}} z,
где $\mathop{\mathrm{Arg}} z$ — аргумент комплексного числа (то есть число
$\ph$ в разложении $z=|z|e^{i\ph}$).
Сколько разных значений логарифма существует у ненулевого комплексного
числа?
\end{document}