chapter02.qq

\chapter Автономные дифференциальные уравнения на прямой
    \label chap:2:auto

Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для
начала — очень простые.

В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида

\equation \label eq:2:general
    \dot x = f(t, x),
где $x\colon D \to \mathbb R$ — неизвестная функция, $D$ — связное подмножество
прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), $f\colon D\times
\mathbb R\to \mathbb R$ — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы
гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.

Напомним, что решением уравнения \ref{eq:2:general} называется дифференцируемая
функция $\ph$, такая, что выполнено тождество
\eq
    \dot \ph(t)=f(t,\ph(t))\quad \forall t \in D

Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции $\ph$, не
пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера
это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым.
Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических
построений.

\section Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера 
    \label sec:2:euler

Пусть поставлена \snref[задача Коши][snip:Cauchy_problem]:
\equation \label eq:2:Cauchy
    \dot x=f(t, x),\quad x(t_0)=x_0.
Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку
$(t_0, x_0)$ расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая
через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом $f(t_0, x_0)$.
Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на
секундочку представим, что \snref[интегральная кривая][snip:integral_curve] в
точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени —
начиная с момента $t_0$ и заканчивая $t_0+\Delta t$, где $\Delta t$ — некоторое
маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с
постоянной скоростью — той, которая была в момент времени $t_0$, то есть $f(t_0,
x_0)$. В этом случае к моменту времени $t_0+\Delta t$ мы пройдём расстояние,
равное $f(t_0, x_0)\cdot \Delta t$ и попадём в точку $(t_1, x_1)$, задаваемую
следующим образом:
\align \nonumber
    \item x_1&=x_0+f(t_0, x_0)\cdot \Delta t
    \item t_1&=t_0+\Delta t
Точка $(t_1, x_1)$ лежит на касательной, проходящей через точку $(t_0, x_0)$.
Если $\Delta t$ мало, эта точка должна лежать близко к графику настоящего
решения. Теперь мы можем взять точку $(t_1, x_1)$ за стартовую, построить в ней
уже новую касательную и пройти по этой касательной ещё на $\Delta t$ вправо.
Действуя таким образом, получим набор точек, связанных соотношением:
\align \nonumber
    \item x_{n+1}&=x_n+f(t_n, x_n)\cdot \Delta t 
    \item t_{n+1}&=t_{n}+\Delta t=t_0+(n+1)\Delta t
Если соединить эти точки отрезками прямых, они будут проходить близко к
касательным к графику решения, и сама получающаяся ломаная будет приближаться к
настоящему решению. Естественно, с уменьшением шага точность приближения
увеличивается.

Этот метод приближённого нахождения решений называется \em{методом
Эйлера}. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для
исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются
более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.

На рис. \ref{fig:2:euler} синим изображено истинное решение уравнения $\dot x =
t$ с начальным условием $x(-3)=4$, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым
изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами
соответственно.  Заметим, что уже сто шагов дает достаточно хорошее приближение
решения.

\figure \label fig:2:euler \showcode \collapsed
    \pythonfigure
        ob.axes4x4()
        ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 5, color='red')
        ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 10, color='pink')
        ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 20, color='purple')
        ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 100, color='green')
        ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda x: x**2 / 2 - 0.5, 
            color='steelblue')
    \caption Приближённые решения


\exercise
    Используя метод Эйлера (но не используя компьютер), найти решение
    дифференциального уравнения $\dot x = x$, удовлетворяюее начальному
    условию $x(0) = 1$. Отсюда найти одну из известных формул для числа $e$.

\section Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой 

Вернёмся к аналитическому поиску решений. В отличие от численных методов, даже
для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а
чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений,
то у нас всё получится.

\definition \label def:2:auto
    \snippet \label snip:auto \flabel Автономное
        \em{Автономным} называется дифференциальное уравнение, правая
        часть которого не зависит от времени явно. Такое уравнение
        имеет вид
        \equation \label{eq:2:auto}
            \dot x=f(x)
\hide
    \snippet \hidden \label snip:nonauto \flabel Неавтономное
        \backref def:2:auto
        \emph{Неавтономным} называется дифференциальное уравнение, правая часть
        которого явно зависит от времени: $\dot x = f(t, x)$.

Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения
\ref{eq:2:auto} с
начальным условием $x(t_0)=x_0$. Пусть $f(x_0)\ne 0$. В этом случае решение
задаётся явной формулой (она называется \em{формулой Барроу}). Мы обсудим
несколько способов её вывода и интерпретации.

\subsection Геометрические соображения 
В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных
уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида $\dot x = f(t)$,
мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. \ref[параграф][par:1:onlytime]). Мы
будем называть такие уравнения \em{простейшими}, хотя это не общепринятый термин.

Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе
автономным, см. рис. \ref{fig:2:xt}.
\figure \label fig:2:xt \showcode \collapsed
    \pythonfigure
        plt.figure(figsize=(8, 4))
        plt.subplot(121)
        ob.axes4x4()
        ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
                        np.arange(-4, 4, 0.5),
                        lambda t, x: t,
                        color='red',
                        linewidth=1,
                        length=0.6)
        plt.subplot(122)
        ob.axes4x4()
        ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
                        np.arange(-4, 4, 0.5),
                        lambda t, x: x,
                        color='red',
                        linewidth=1,
                        length=0.6)

    \caption Поля направлений для уравнения $\dot x = t$ (слева) и $\dot x = x$ (справа)

Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством:
они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не
меняется при \em{вертикальных} сдвигах, а второе — при \em{горизонтальных}.
Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух
классов.

Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую
геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей
точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений
это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений,
сводящий их к некоторым простейшим.

Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и
считать независимой переменной $x$, а неизвестной функцией — время. Ниже мы
обсудим два способа реализации этого замысла.

\subsection Механический подход \label{par:2:mech}

Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о
том, где окажется решение в произвольный момент времени $t$, если в момент
времени $t_0$ оно находилось в точке $x_0$. В соответствии с
выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос:
сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки $x_0$ до некоторой другой точки
$x$? 

Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода
Эйлера (см. \ref[раздел][sec:2:euler]).  Предположим для определённости, что
$x>x_0$ и $f(x_0)>0$ (вблизи $x_0$ движение происходит вправо; обратный случай
рассматривается полностью аналогично). Предположим также, что на всём отрезке
$[x_0, x]$ функция $f$ принимает только положительные значения (чуть ниже мы
обсудим, что это вполне разумное предположение). Разобьем отрезок $[x_0, x]$ на
$n$ равных маленьких отрезочков длины $\Delta x$. Пусть $x_k = x_0 + k\cdot
\Delta x$ — концы наших отрезочков. Сколько времени нужно, чтобы попасть из
точки $x_k$ в точку $x_{k+1}$? Для этого нам придётся пройти расстояние, равное
$\Delta x$. Мгновенная скорость движения в точке $x_k$ равна $f(x_k)$. Поскольку
$\Delta x$ мало, а функция $f$ непрерывна, можно ожидать, что её значение не
слишком сильно изменится, по крайней мере, пока мы находимся на том же
отрезочке. Значит, можно считать (совершая некоторую ошибку, малую при малых
$\Delta x$), что движение на всём отрезочке происходит с постоянной скоростью,
равной $f(x_k)$. Тогда время движения вычисляется по школьной формуле: нужно
расстояние $\Delta x$ поделить на скорость $f(x_k)$. Обозначим вычисленное таким
образом время прохождения $k$-го отрезочка через $\Delta t_k$. Имеем:

\equation \label{eq:2:Delta_t}
    \Delta t_k = \frac{\Delta x}{f(x_k)}
Пусть мы оказались в точке $x$ в момент времени $t$. Тогда время прохождения
всего отрезка от $x_0$ до $x$ равна $t-t_0$ и получается сложением всех
$\Delta t_k$ для $k=0, \ldots, n-1$:

\equation \label{eq:2:T}
    t-t_0 \approx \sum_{k=0}^{n-1} \Delta t_k = \sum_{k=0}^{n-1}
    \frac{1}{f(x_k)}\Delta x
Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции
$\frac{1}{f(x)}$! Равенство \ref{eq:2:T} является приближённым, но когда мы
перейдём к
пределу при $\Delta x \to 0$ (или, что то же самое, при $n\to \infty$), оно
превратится в точное:

\equation \label{eq:2:Barrow}
    t-t_0 = \int_{x_0}^x \frac{dy}{f(y)}.
Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное
выражение $x$ через $t$. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию
$x(t)$ явно.

\subsection Аналитический подход 
Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический
анализ.  Пусть функция $x=\ph(t)$ является решением уравнения \ref{eq:2:auto} и
удовлетворяет начальному условию $\ph(t_0)=x_0$. Рассмотрим функцию $t=\psi(x)$,
обратную к функции $x=\ph(t)$.  Рассмотрим произвольную точку $(t_1, x_1)$,
лежащую на графике решения: для неё выполняются соотношения $x_1 = \ph(t_1)$,
$t_1 = \psi(x_1)$ и $\dot \ph(t_1)=f(x_1)$ (поскольку $\ph$ является решением
уравнения). Тогда по теореме о производной сложной функции

\eq
    \psi'(x_1)=\frac{1}{\dot \ph(t_1)}=\frac{1}{f(x_1)}
Это равенство выполняется в любой точке $x_1$. Значит, функция $\psi$ является
решением дифференциального уравнения
\eq
    \psi'(x)=\frac{1}{f(x)},
где $x$ выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит
от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:
\eq
    \psi(x)=\int_{x_0}^x \frac{dy}{f(y)}+t_0
Вспоминая, что $t=\psi(x)$ — обратная функция к решению $x=\ph(t)$, имеем:
\eq
    t-t_0=\int_{x_0}^{\ph(t)} \frac{dy}{f(y)}
Мы снова получили формулу Барроу.

\subsection Магия
Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись:

\align
    \item \dot x&=f(x)
    \item \frac{dx}{dt}&=f(x) 
    \item dt & =\frac{dx}{f(x)} \label{eq:2:magic}
    \item \int_{t_0}^t dt&= \int_{x_0}^x \frac{dx}{f(x)} \label{eq:2:int}
Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение \ref{eq:2:magic}. Чуть позже мы дадим определение \em{дифференциальной 1-формы}, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение \ref{eq:2:magic} очень похоже на уравнение \ref{eq:2:Delta_t}. В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе \ref{par:2:mech}.

\example
    Решим уравнение $\dot x=x$ с начальным условием $x(t_0)=x_0$. Пусть $x=\ph(t)$ —
    решение и $t=\ph^{-1}(x)$ — обратная функция к решению. Имеем:

    \align \nonumber
        \item 
            (\ph^{-1}(x))'&=\frac{1}{x}
        \item 
            \ph^{-1}(x) &= \psi (x)
        \item 
            \psi' (x)  &= \frac 1 x
        \item 
            \psi (x) &= \int \frac{dx} x = \ln |x| + C
        \item 
            t&=\ln|x|+C
        \item 
            x &= \pm e^{-C}e^t = C_1 e^t
    Заметим, что если бы мы забыли модуль под логарифмом при интегрировании, то
    константа $C_1=e^{-C}$ принимала бы только положительные значения. Но из-за
    модуля она может принимать и отрицательные значения.

    Заметим также, что в ходе преобразований (деления на $x$) мы «потеряли»
    решение $x=0$. Если в ответ подставить значение $C_1=0$, получим как раз
    его. Таким образом, формула $x(t)=Ce^t$, $C\in \mathbb R$ даёт все известные
    нам решения. Мы пока не доказали, что других нет — на следующей лекции мы
    обсудим этот вопрос.