From 433f150b3fd00afdba99d060f5025cabb1f63b54 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Fri, 2 Jan 2026 23:30:49 +0000 Subject: [PATCH 1/3] Initial plan From 34c08db9efe08886a3f134cd1de19d83d5de93e3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Fri, 2 Jan 2026 23:37:49 +0000 Subject: [PATCH 2/3] Translate Chapter 2 (Electronic states in crystals) from Polish to English Co-authored-by: jochym <5993422+jochym@users.noreply.github.com> --- book/main.tex | 333 +++++++++++++++++++++++++------------------------- 1 file changed, 168 insertions(+), 165 deletions(-) diff --git a/book/main.tex b/book/main.tex index 7db662a..dc46d16 100644 --- a/book/main.tex +++ b/book/main.tex @@ -675,92 +675,94 @@ \section{Electron gas} by the quantum Monte Carlo (QMC) method \cite{CeperleyAlder80}. -\chapter{Stany elektronowe w krysztale} +\chapter{Electronic states in crystals} -\section{Sieć krystaliczna} +\section{Crystal lattice} -Kryształy zbudowane są z atomów lub molekuł ułożonych w periodyczną sieć. -Trójwymiarową sieć krystaliczną definiujemy jako zbiór punktów, których -położenia określone są wektorem translacji +Crystals are built from atoms or molecules arranged in a periodic lattice. +A three-dimensional crystal lattice is defined as a set of points whose +positions are given by the translation vector % \begin{equation} \bm{R}_n=n_1\bm{a}_1+n_2\bm{a}_2+n_3\bm{a}_3, \label{trans} \end{equation} % -gdzie wektory $\bm{a}_i$ nazywamy podstawowymi lub prymitywnymi wektorami translacji, a $n_i$ są liczbami całkowitymi. -Zbiór punktów zdefiniowanych tym wzorem nazywamy siecią Bravais. Podobnie można zdefiniować sieć Bravais -dla dowolnego wymiaru $d$ wybierając odpowiednią ilość wektorów bazowych: $\bm{a}_1,\bm{a}_2,...,\bm{a}_d$. -Z każdym punktem sieci Bravais można związać zbiór atomów zwanych bazą. Najmniejsza przestrzeń kryształu, -która po przesunieciu o wszystkie translacje sieciowe wypełni całą przestrzeń nazywamy komórką prymitywną. -Komórka prymitywna zawiera dokładnie jeden węzeł sieci Bravais i zwykle zbudowana jest na podstawowych wektorach translacji sieci. -Istnieje specjalny rodzaj komórki prymitywnej nazywany komórką Wignera-Seitza, która jest przestrzenią zawierającą punkty przestrzeni, -które znajdują się bliżej danego punktu sieci niż pozostałych. -Często zamiast komórki prymitywnej używa się komórki elementarnej, która zbudowana jest na innych wektorach bazowych -i jej symetria jest taka sama jak symetria całego kryształu. -Objętość komórki elementarnej jest całkowitą wielokrotnością objętości komórki prymitywnej. -W strukturach prostych (bez centrowania powierzchniowego lub przestrzennego), komórka elementarna pokrywa się -z komórką prymitywną. Różnice między poszczególnymi rodzajami komórek można przedstawić na przykładzie -sieci dwuwymiarowej. Na rysunku \ref{fig:bravais} pokazana jest struktura centrowana prostokątna z zaznaczonymi dwoma wektorami podstawowaymi $\bm{a}_p$ -i $\bm{b}_p$, które definiują komórkę prymitywną, pokazaną na rysunku w dwóch wariantach. Komórka Wignera-Seitza pokazana -jest po prawej stronie. Komórka elementarna wyznaczona jest przez dwa wektory bazowe $\bm{a}_e$ i $\bm{b}_e$. -W dwóch wymiarach mamy w sumie pięć rodzajów sieci Bravais: skośna, prostokątna, prostokatna centrowana, heksagonalna i kwadratowa. +where the vectors $\bm{a}_i$ are called the fundamental or primitive translation vectors, and $n_i$ are integers. +The set of points defined by this formula is called a Bravais lattice. Similarly, a Bravais lattice +can be defined for any dimension $d$ by choosing an appropriate number of basis vectors: $\bm{a}_1,\bm{a}_2,...,\bm{a}_d$. +With each Bravais lattice point, one can associate a set of atoms called the basis. The smallest region of the crystal +that, when translated by all lattice translations, fills the entire space is called the primitive cell. +% **[REVIEW NEEDED]**: "fills the entire space" - verify if "entire volume" is preferred per author's style preference +The primitive cell contains exactly one Bravais lattice point and is usually built on the primitive translation vectors of the lattice. +There exists a special type of primitive cell called the Wigner-Seitz cell, which is the region containing all points in space +that are closer to a given lattice point than to any other. +Often, instead of the primitive cell, the conventional cell is used, which is built on different basis vectors +and whose symmetry is the same as the symmetry of the entire crystal. +% **[REVIEW NEEDED]**: "conventional cell" vs. "unit cell" - verify preferred terminology for "komórka elementarna" +The volume of the conventional cell is an integer multiple of the volume of the primitive cell. +In simple structures (without face-centering or body-centering), the conventional cell coincides +with the primitive cell. The differences between various types of cells can be illustrated using the example +of a two-dimensional lattice. Figure \ref{fig:bravais} shows a centered rectangular structure with two primitive vectors $\bm{a}_p$ +and $\bm{b}_p$ marked, which define the primitive cell, shown in the figure in two variants. The Wigner-Seitz cell is shown +on the right side. The conventional cell is determined by two basis vectors $\bm{a}_e$ and $\bm{b}_e$. +In two dimensions, there are five types of Bravais lattices in total: oblique, rectangular, centered rectangular, hexagonal, and square. \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=0.4]{lattice.pdf} -\caption{Dwuwymiarowa sieć periodyczna.}\label{fig:bravais} +\caption{Two-dimensional periodic lattice.}\label{fig:bravais} \end{figure} -W przypadku sieci trójwymiarowych, wszystkie możliwe struktury można podzielić na siedem układów krystalograficznych: -regularny, tetragonalny, rombowy, heksagonalny, trygonalny, jednoskośny i trójskośny, którym odpowiada czternaście możliwych sieci Bravais, -które podzielone są na proste (P), centrowane powierzchniowo (F), centrowane na podstawach (C) i centrowane przestrzennie (I). -Wszystkie układy krystalograficzne z odpowiadającymi im sieciami Bravais przedstawione są w tabeli \ref{lattice}. -Dla każdego układu pokazana jest zalezność między stałymi sieci ($a$, $b$, $c$) oraz kątami między kierunkami ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$), -które definiują krawędzie komórek elementarnych. +In the case of three-dimensional lattices, all possible structures can be divided into seven crystal systems: +cubic, tetragonal, orthorhombic, hexagonal, trigonal, monoclinic, and triclinic, corresponding to fourteen possible Bravais lattices, +which are divided into simple (P), face-centered (F), base-centered (C), and body-centered (I). +All crystal systems with their corresponding Bravais lattices are presented in Table \ref{lattice}. +For each system, the relationship between the lattice constants ($a$, $b$, $c$) and the angles between directions ($\alpha$, $\beta$, $\gamma$) +that define the edges of the conventional cells is shown. \begin{table}[h!] -\caption{Układy krystalograficzne.}\label{lattice} +\caption{Crystal systems.}\label{lattice} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline -Układ & Stałe sieci & Kąty & Sieci Bravais\\ +System & Lattice constants & Angles & Bravais lattices\\ \hline -regularny & $a=b=c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, F, I \\ -tetragonaly & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, I \\ -rombowy & $a\ne b\ne c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, F, C, I \\ -heksagonalny & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=90^{\degree}$, $\gamma=120^{\degree}$ & P \\ -trygonalny & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=90^{\degree}$, $\gamma=120^{\degree}$ & P \\ -jednoskośny & $a=b\ne c$ & $\alpha=\gamma=90^{\degree}$, $\beta\ne 90^{\degree}$ & P, C \\ -trójskośny & $a\ne b\ne c$ & $\alpha\ne \beta\ne \gamma\ne 90^{\degree}$ & P \\ \hline +cubic & $a=b=c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, F, I \\ +tetragonal & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, I \\ +orthorhombic & $a\ne b\ne c$ & $\alpha=\beta=\gamma=90^{\degree}$ & P, F, C, I \\ +hexagonal & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=90^{\degree}$, $\gamma=120^{\degree}$ & P \\ +trigonal & $a=b\ne c$ & $\alpha=\beta=90^{\degree}$, $\gamma=120^{\degree}$ & P \\ +monoclinic & $a=b\ne c$ & $\alpha=\gamma=90^{\degree}$, $\beta\ne 90^{\degree}$ & P, C \\ +triclinic & $a\ne b\ne c$ & $\alpha\ne \beta\ne \gamma\ne 90^{\degree}$ & P \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{table} -Zbiór operacji, który pozostawia dany kryształ niezmienionym tworzy grupą przestrzenną. -Składa się ona z translacji sieci krystalicznej opisanych wzorem (\ref{trans}) oraz symetrii punktowych: inwersji, obrotów i odbić. -Dodatkowo występują operacje niesymorficzne, które są połączeniem operacji punktowych i ułamkowych translacji. -Wszystkich grup przestrzennych jest 230, z których 73 to symorficzne i 157 niesymorficzne. +The set of operations that leaves a given crystal unchanged forms a space group. +It consists of crystal lattice translations described by formula (\ref{trans}) and point symmetries: inversion, rotations, and reflections. +Additionally, there are nonsymmorphic operations, which are combinations of point operations and fractional translations. +There are 230 space groups in total, of which 73 are symmorphic and 157 are nonsymmorphic. -\section{Przestrzeń odwrotna} +\section{Reciprocal space} -Strukturę elektronową materiału analizuje się najczęściej wykorzystując przestrzeń wektorów falowych $\bm{k}$, -którą nazywamy przestrzenią odwrotną. Każdej sieci Bravais w przestrzeni rzeczywistej odpowiada sieć punktów -w przestrzeni odwrotnej zdefiniowana wektorami +The electronic structure of a material is most often analyzed using the space of wave vectors $\bm{k}$, +which is called reciprocal space. Each Bravais lattice in real space corresponds to a lattice of points +in reciprocal space defined by vectors % \begin{equation} \bm{G}_m=m_1\bm{b}_1+m_2\bm{b}_2+m_3\bm{b}_3, \end{equation} % -gdzie $m_j$ są liczbami całkowitymi, a $\bm{b}_j$ są wektorami odwrotnymi do wektorów bazowych $\bm{a}_i$, -czyli spełniają warunek +where $m_j$ are integers, and $\bm{b}_j$ are vectors reciprocal to the basis vectors $\bm{a}_i$, +that is, they satisfy the condition % \begin{equation} \bm{a}_i \cdot \bm{b}_j = 2\pi \delta_{ij}. \label{orto} \end{equation} % -Wektory sieci odwrotnej można wyznaczyć z następujących zależności +The reciprocal lattice vectors can be determined from the following relations % \begin{eqnarray} \bm{b}_1=\frac{2\pi}{\Omega}\bm{a}_2\times \bm{a}_3, \\ @@ -768,251 +770,252 @@ \section{Przestrzeń odwrotna} \bm{b}_3=\frac{2\pi}{\Omega}\bm{a}_1\times \bm{a}_2, \end{eqnarray} % -gdzie $\Omega=\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times \bm{a}_3)$ jest objętością komórki prymitywnej. +where $\Omega=\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times \bm{a}_3)$ is the volume of the primitive cell. -W przestrzeni odwrotnej również definiujemy komórkę prymitywną, która najczęściej ma kształt -komórki Wignera-Seitza i nosi nazwę strefy Brillouina ({ang. Brillouin zone} - BZ). -Komórka, która obejmuje punkt $\bm{K}=0$, nazywany punktem $\Gamma$, nosi nazwę pierwszej strefy Brillouina. -Na rysunku \ref{fig:lattice} pokazane są przykładowe strefy Brillouina dla trzech sieci regularnych. +In reciprocal space, we also define a primitive cell, which most often has the shape +of a Wigner-Seitz cell and is called the Brillouin zone (BZ). +The cell that includes the point $\bm{K}=0$, called the $\Gamma$ point, is called the first Brillouin zone. +Figure \ref{fig:lattice} shows example Brillouin zones for three cubic lattices. \begin{figure}[h] \centering \includegraphics[scale=1.2]{brillouin.pdf} -\caption{Strefy Brillouina dla sieci regularnych: prostej (P), centrowanej objetościowo (I) i centrowanej przestrzennie (F).} +\caption{Brillouin zones for cubic lattices: simple (P), body-centered (I), and face-centered (F).} \label{fig:lattice} \end{figure} -\section{Twierdzenie Blocha} +\section{Bloch's theorem} -W najprostszym opisie elektronów w periodycznym potencjale kryształu $V(\bm{r})$, stany elektronowe opisywane są przez niezależne jednocząstkowe funkcje falowe, bedące rozwiązaniami równania Schr\"{o}dingera w postaci +In the simplest description of electrons in the periodic potential of a crystal $V(\bm{r})$, electronic states are described by independent single-particle wave functions, which are solutions of the Schr\"{o}dinger equation in the form % \begin{equation} [-\frac{\hbar^2\nabla^2}{2m}+V(\bm{r})]\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k})\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}), \label{RS} \end{equation} % -gdzie $\bm{k}$ jest wektorem falowym, $\sigma$ określa spin elektronu i indeks $j$ numeruje stany własne hamiltonianu odpowiadajace energiom $\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k})$. -Zgodnie z twierdzeniem Blocha, funkcja falowa elektronów w periodycznym potencjale ma postać +where $\bm{k}$ is the wave vector, $\sigma$ specifies the electron spin, and the index $j$ numbers the eigenstates of the Hamiltonian corresponding to energies $\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k})$. +According to Bloch's theorem, the wave function of electrons in a periodic potential has the form % \begin{equation} \psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=e^{i\bm{k}\bm{r}}u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}), \end{equation} % -gdzie $u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})$ jest funkcją periodyczną spełniającą warunek $u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}+\bm{R}_n)$ dla -każdego wektora traslacji $\bm{R}_n$. Można pokazać, że funkcje Blocha są wektorami własnymi -operatora translacji +where $u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})$ is a periodic function satisfying the condition $u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}+\bm{R}_n)$ for +each translation vector $\bm{R}_n$. It can be shown that Bloch functions are eigenvectors +of the translation operator % \begin{equation} \hat{T}_n\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}+\bm{R}_n)=e^{i\bm{k}(\bm{r}+\bm{R}_n)}u^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}+\bm{R}_n)=e^{i\bm{k}\bm{R}_n}\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}). \end{equation} % -Hamiltonian jest niezmienniczy ze względu na działanie operatora translacji, -co oznacza, że obydwa operatory ze sobą komutują. Funkcje Blocha są zatem również stanami własnymi hamiltonianu, -co dowodzi prawdziwości twierdzenia Blocha. +The Hamiltonian is invariant under the action of the translation operator, +which means that both operators commute. Bloch functions are therefore also eigenstates of the Hamiltonian, +which proves the validity of Bloch's theorem. -Funkcja Blocha określona jest dla wektora falowego $\bm{k}$, który w układach periodycznych jest dobrze zdefiniowaną liczbą kwantową. -Wektor falowy związany jest z kwazipędem elektronu w stanie $\psi_{\bm{k}j}$ +A Bloch function is defined for the wave vector $\bm{k}$, which in periodic systems is a well-defined quantum number. +The wave vector is related to the quasimomentum of an electron in state $\psi_{\bm{k}j}$ % \begin{equation} \bm{p}=\hbar\bm{k}. \end{equation} % -Ponieważ wszystkie własności struktury elektronowej są translacyjnie niezmiennicze -ze względu na przesunięcie o dowolny wektor sieci odwrotnej, również kwazipęd nie zależy od takiego przesunięcia. +Since all properties of the electronic structure are translationally invariant +with respect to translation by any reciprocal lattice vector, the quasimomentum also does not depend on such translation. -\section{Fale płaskie} +\section{Plane waves} -Metody obliczeniowe struktury pasmowej różnią sie między sobą stosowanymi reprezentacjami funkcji falowej. -Ogólnie możemy zapisać funkcję falową w formie +Computational methods for band structure differ in the representations of the wave function they employ. +In general, we can write the wave function in the form % \begin{equation} \psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=\sum_mc^{\sigma}_{jm}(\bm{k})\phi_{\bm{k}m}(\bm{r}), \end{equation} % -gdzie $\phi_{\bm{k}m}(\bm{r})$ są funkcjami bazowymi, a $c^{\sigma}_{jm}(\bm{k})$ to współczynniki rozwinięcia. -W krysztale, ze względu na periodyczny potencjał, naturalną bazę stanowią fale płaskie. Jeżeli cześć periodyczną funkcji -Blocha rozwiniemy w tej bazie, funkcja falowa przyjmuje postać +where $\phi_{\bm{k}m}(\bm{r})$ are basis functions, and $c^{\sigma}_{jm}(\bm{k})$ are expansion coefficients. +In a crystal, due to the periodic potential, plane waves form a natural basis. If we expand the periodic part of the +Bloch function in this basis, the wave function takes the form % \begin{equation} \psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=e^{i\bm{k}\bm{r}}\sum_{m} c^{\sigma}_{jm}(\bm{k})e^{i\bm{G_m}\bm{r}}=\sum_{m} c^{\sigma}_{jm}(\bm{k})e^{i(\bm{k}+\bm{G_m})\bm{r}}, \end{equation} % -gdzie $\bm{G_m}$ są wektorami sieci odwrotnej. Równanie Schr\"{o}dingera (\ref{RS}) przetransponowane do przestrzeni odwrotnej w bazie -fal płaskich przyjmuje postać +where $\bm{G_m}$ are reciprocal lattice vectors. The Schr\"{o}dinger equation (\ref{RS}) transformed to reciprocal space in the plane wave basis +takes the form % \begin{equation} \sum_{n}H_{mn} c^{\sigma}_{jn}(\bm{k})=\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k}) c^{\sigma}_{jm}, \label{ham_rec} \end{equation} % -gdzie elementy macierzowe Hamiltonianu dane są wyrażeniem +where the matrix elements of the Hamiltonian are given by the expression % \begin{equation} H_{mn}=\frac{\hbar^2}{2m}|\bm{k}+\bm{G_m}|^2\delta_{mm'}+V(\bm{G_m}-\bm{G_n}). \end{equation} % -Drugi wyraz jest transformatą Fouriera potencjału elektronowego +The second term is the Fourier transform of the electronic potential % \begin{equation} V(\bm{G})=\frac{1}{\Omega}\int_{\Omega}\bm{dr}V(\bm{r})e^{-i\bm{Gr}}, \end{equation} % -gdzie całkowanie przebiega po komórce prymitywnej. +where the integration is performed over the primitive cell. -\section{Periodyczne warunki brzegowe} +\section{Periodic boundary conditions} -Podobnie jak dla gazu elektronowego zamkniętego w pojemniku, również dla skończonego kryształu -możemy wprowadzić periodyczne warunki brzegowe (warunki Borna-Karmana). Załóżmy, że rozmiary kryształu -określone są przez liczbę komórek prymitywnych w każdym kierunku kryształu $(N_1,N_2,N_3)$. -Zatem liczby całkowite, które definiują wektory translacyjne sieci (\ref{trans}) -zmieniają się w zakresie $n_i=0,1,2,...,N_i$, gdzie $i=1,2,3$. -Zakładając, że funkcja falowa na dwóch przeciwległych brzegach układu (w każdym z trzech kierunków) przyjmuje -takie same wartości i korzystając z twierdzenia Blocha otrzymujemy warunek +Similarly to the electron gas enclosed in a container, we can also introduce periodic boundary conditions (Born-Karman conditions) for a finite crystal. +Let us assume that the size of the crystal +is determined by the number of primitive cells in each direction of the crystal $(N_1,N_2,N_3)$. +Thus, the integers that define the lattice translation vectors (\ref{trans}) +vary in the range $n_i=0,1,2,...,N_i$, where $i=1,2,3$. +Assuming that the wave function on two opposite edges of the system (in each of the three directions) takes +the same values and using Bloch's theorem, we obtain the condition % \begin{equation} \psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r})=\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}+N_i\bm{a}_i)=e^{i\bm{k}N_i\bm{a}_i}\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}), \label{pwb} \end{equation} % -który spełniony jest gdy +which is satisfied when % \begin{equation} \bm{k}N_i\bm{a}_i=2\pi n_i. \end{equation} % -Wykorzystując bazę wektorów prymitywnych sieci odwrotnej ($\bm{b}_1,\bm{b}_2,\bm{b}_3$) oraz biorąc pod uwagę zależność (\ref{orto}), dostajemy zbiór dozwolonych wektorów falowych +Using the basis of primitive vectors of the reciprocal lattice ($\bm{b}_1,\bm{b}_2,\bm{b}_3$) and taking into account relation (\ref{orto}), we obtain the set of allowed wave vectors % \begin{equation} \bm{k}=\frac{n_1}{N_1}\bm{b}_1+\frac{n_2}{N_2}\bm{b}_2+\frac{n_3}{N_3}\bm{b}_3. \label{vectk} \end{equation} % -Wektory te określają funkcje falowe Blocha $\psi_{i,\bm{k}}$ i energie stanów $\varepsilon_i(\bm{k})$. -Skończona ilość dostępnych stanów wynika zatem z ograniczonych rozmiarów kryształu i jest równa ilości komórek prymitywnych w układzie: $N=N_1N_2N_3$. -Ze wzoru (\ref{vectk}) wynika również, że dozwolone wektory falowe stanów elektronowych należą do pojedynczej komórki prymitywnej w przestrzeni odwrotnej. -Najczęściej do analizy stanów elektronowych wybiera się wektory należące do pierwszej strefy Brillouina. +These vectors determine the Bloch wave functions $\psi_{i,\bm{k}}$ and state energies $\varepsilon_i(\bm{k})$. +The finite number of available states therefore results from the limited size of the crystal and equals the number of primitive cells in the system: $N=N_1N_2N_3$. +From formula (\ref{vectk}) it also follows that the allowed wave vectors of electronic states belong to a single primitive cell in reciprocal space. +Most often, vectors belonging to the first Brillouin zone are chosen for the analysis of electronic states. -\section{Sumowanie w przestrzeni odwrotnej} +\section{Summation in reciprocal space} -Wiele wielkości fizycznych wyznaczanych jest jako sumy po punktach w przestrzeni odwrotnej. -Przedstawiona powyżej analiza pokazuje, że wystarczy ograniczyć -sie do wektorów falowych należących do pierwszej strefy Brillouina. -Dodatkowo, można wykorzystać symetrię kryształu do zmniejszenia ilości punktów, które konieczne -są do wyznaczenia danej wielkości fizycznej. -Oznaczmy operacje punktowe (symorficzne) przez $O_i$, a wektory translacji ułamkowej związane z daną symetrią $O_i$ -przez $\bm{t}_i$. W przestrzeni odwrotnej rozpatrujemy jedynie symorficzne operacje symetrii ponieważ translacje -ułamkowe nie mają wpływu na przestrzeń odwrotną. Hamiltoniana opisujący kryształ jest niezmienniczy -względem operacji punktowych: $\bm{r}\rightarrow O_i\bm{r}+\bm{t}_i$ oraz $\bm{k}\rightarrow O_i\bm{k}$. -Oznacza to, że funkcje falowe otrzymane po tych transformacjach +Many physical quantities are determined as sums over points in reciprocal space. +The analysis presented above shows that it is sufficient to restrict +oneself to wave vectors belonging to the first Brillouin zone. +Additionally, one can use the symmetry of the crystal to reduce the number of points necessary +to determine a given physical quantity. +Let us denote point operations (symmorphic) by $O_i$, and the fractional translation vectors associated with a given symmetry $O_i$ +by $\bm{t}_i$. In reciprocal space, we consider only symmorphic symmetry operations because fractional translations +have no effect on reciprocal space. The Hamiltonian describing the crystal is invariant +with respect to point operations: $\bm{r}\rightarrow O_i\bm{r}+\bm{t}_i$ and $\bm{k}\rightarrow O_i\bm{k}$. +This means that the wave functions obtained after these transformations % \begin{equation} \psi^{\sigma}_{O_i\bm{k}j}(O_i\bm{r}+\bm{t}_i)=\psi^{\sigma}_{\bm{k}j}(\bm{r}), \end{equation} % -są również funkcjami własnymi hamiltonianu z tą samą energią własną $\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k})$. -Oznacza to, że można ograniczyć sumowanie danej wielkości fizycznej $f(\bm{k})$ do wektorów $\bm{k}$ należących do mniejszego obszaru, -który nazywany jest nieredukowalną częścią strefy Brillouina ({\it ang. irreducible Brillouin zone} - IBZ). -Obszar ten tworzą wektory $\bm{k}$, które są nierównoważne, czyli nie można ich wzajemnie połączyć operacją symetrii punktowej. -Wartości w pozostałych punktach dostajemy przez zastosowanie odpowiednich operacji symetrii $f(O_i\bm{k})=f(\bm{k})$. -Do sumowania wykorzystujemy wagi $w_{\bm{k}}$, które zdefiniowane są jako ilości wektorów $\bm{k}$, powiązanych symetrią punktową -z wektorem należącym do IBZ (z uwzglednieniem tego wektora), podzielone przez całkowitą ilość wektorów $N_{\bm{k}}$. -Przykładowo, wartość średnią wielkości $f$, możemy wyliczyć sumując po punktach należących do IBZ +are also eigenfunctions of the Hamiltonian with the same eigenvalue $\varepsilon_{j\sigma}(\bm{k})$. +This means that one can restrict the summation of a given physical quantity $f(\bm{k})$ to vectors $\bm{k}$ belonging to a smaller region, +which is called the irreducible part of the Brillouin zone (IBZ). +This region is formed by vectors $\bm{k}$ that are inequivalent, that is, they cannot be mutually connected by a point symmetry operation. +Values at the remaining points are obtained by applying the appropriate symmetry operations $f(O_i\bm{k})=f(\bm{k})$. +For summation, we use weights $w_{\bm{k}}$, which are defined as the number of vectors $\bm{k}$ related by point symmetry +to a vector belonging to the IBZ (including this vector), divided by the total number of vectors $N_{\bm{k}}$. +For example, the average value of quantity $f$ can be calculated by summing over points belonging to the IBZ % \begin{equation} \bar{f}=\frac{1}{N_{\bm{k}}}\sum_{\bm{k}}^{BZ}f(\bm{k})=\sum_{\bm{k}}^{IBZ}w_{\bm{k}}f(\bm{k}). \end{equation} % -Przy sumowaniu po przestrzeni odwrotnej można w zasadzie wybrać dowolne punkty należące do IBZ. -Jednak wykorzystując własności funkcji periodycznych, można tak wybrać wektory $\bm{k}$, -aby zminimalizować błędy przy obliczaniu sum lub całek. -Dowolną funkcję periodyczną można rozwinąć przy pomocy transformaty Fouriera +When summing over reciprocal space, one can in principle choose any points belonging to the IBZ. +However, using the properties of periodic functions, one can choose vectors $\bm{k}$ in such a way +as to minimize errors when calculating sums or integrals. +Any periodic function can be expanded using the Fourier transform % \begin{equation} f(\bm{k})=\sum_n f(\bm{R}_n)e^{i\bm{k}\bm{R}_n}, \end{equation} % -gdzie $\bm{R}_n$ są wektorami translacji sieci krystalicznej. -Zbiór punktów, który jest optymalny do wyliczania sum w przestrzeni odwrotnej, -nazywany jest siecią Monkhorsta-Packa \cite{MP}. Wyznacza się go ze wzoru +where $\bm{R}_n$ are crystal lattice translation vectors. +The set of points that is optimal for calculating sums in reciprocal space +is called the Monkhorst-Pack mesh \cite{MP}. It is determined from the formula % \begin{equation} \bm{k}(n_1,n_2,n_3)=\sum_i^3 \frac{2n_i-N_i-1}{2N_i}\bm{b}_i, \end{equation} % -gdzie liczby $N_1$, $N_2$ i $N_3$ określają ilość punktów $\bm{k}$ w każdym kierunku: $n_i=1,2,...,N_i$. -Tak zdefiniowane punkty tworzą jednorodną sieć w przestrzeni odwrotnej i charakteryzują się -tym, że suma wartości periodycznej funkcji, która posiada komponenty Fouriera ograniczone w każdym kierunku do $\bm{R}_n=N_i\bm{a}_i$, -równa jest dokładnej całce z tej funkcji. +where the numbers $N_1$, $N_2$, and $N_3$ specify the number of $\bm{k}$ points in each direction: $n_i=1,2,...,N_i$. +Points defined in this way form a uniform mesh in reciprocal space and are characterized by +the fact that the sum of values of a periodic function, which has Fourier components limited in each direction to $\bm{R}_n=N_i\bm{a}_i$, +equals the exact integral of this function. -\section{Energia Fermiego} +\section{Fermi energy} -Wielkości fizyczne, które dotyczą stanu podstawowego, wyliczane są zwykle dla obsadzonych stanów elektronowych. -Czyli sumowanie w przestrzeni odwrotnej uwzglednia tylko zajęte stany. -Energia najwyższego obsadzonego stanu określa energię Fermiego ($E_F$). -W metalach pasma elektronowe przecinają $E_F$ i przy sumowaniu po dyskretnych punktach $\bm{k}$ pojawiają się nieciągłości -w obsadzeniach stanów. Powoduje to wolniejszą zbieżność ze względu na ilość punktów $\bm{k}$. -Można łatwo rozwiązać ten problem przez wprowadznie ciagłej funkcji obsadzania stanów w pobliżu $E_F$. -Naturalnym wyborem jest zastosowanie funkcji rozkładu Fermiego-Diraca dla skończonej temperatury +Physical quantities related to the ground state are usually calculated for occupied electronic states. +That is, the summation in reciprocal space includes only occupied states. +The energy of the highest occupied state determines the Fermi energy ($E_F$). +In metals, electronic bands cross $E_F$, and when summing over discrete $\bm{k}$ points, discontinuities appear +in state occupations. This causes slower convergence with respect to the number of $\bm{k}$ points. +This problem can be easily solved by introducing a continuous occupation function for states near $E_F$. +A natural choice is to use the Fermi-Dirac distribution function for finite temperature % \begin{equation} F(\varepsilon,E_F,T)=[\exp(\frac{\varepsilon-E_F}{kT})+1]^{-1}. \end{equation} % -Dla $T=0$, dostajemy funkcję schodkową, która odpowiada rozkładowi w stanie podstawowym. -Aby wyznaczyć $E_F$ dla dowolnej temperatury, korzystamy z warunku +For $T=0$, we obtain a step function that corresponds to the distribution in the ground state. +To determine $E_F$ for any temperature, we use the condition % \begin{equation} \sum_{\bm{k},j} w_{\bm{k}}F(\varepsilon,E_F,T)=n_{el}, \end{equation} % -gdzie $n_{el}$ jest liczbą elektronów, a sumowanie wykonywane jest po wszystkich obsadzonych stanach -uwzględniając polaryzację spinową. +where $n_{el}$ is the number of electrons, and the summation is performed over all occupied states +taking into account spin polarization. -\section{Struktura pasmowa} +\section{Band structure} -Zbiór wszystkich stanów elektronowych $\varepsilon_{\bm{k}j}^{\sigma}$ otrzymanych w wyniku diagonalizacji hamiltonianiu -dla wektorów falowych $\bm{k}$ tworzy strukturę pasmową danego materiału. -Dostępne energie stanów elektronowych, które odpowiadają funkcji własnej z indeksem $j$, grupują się w przedziały nazywane pasmami energetycznymi. -Rozwiązania równania (\ref{ham_rec}) w funkcji wektora falowego $\bm{k}$ są periodyczne ze względu na przesunięcie o -wektor sieci odwrotnej +The set of all electronic states $\varepsilon_{\bm{k}j}^{\sigma}$ obtained by diagonalization of the Hamiltonian +for wave vectors $\bm{k}$ forms the band structure of a given material. +The available energies of electronic states corresponding to the eigenfunction with index $j$ are grouped into intervals called energy bands. +Solutions of equation (\ref{ham_rec}) as a function of the wave vector $\bm{k}$ are periodic with respect to translation by +a reciprocal lattice vector % \begin{equation} \varepsilon_{\bm{k}j}^{\sigma}=\varepsilon_{\bm{k}+\bm{G_m}j}^{\sigma}. \end{equation} % -Zatem przy prezentacji struktury pasmowej można ograniczyć się do pierwszej strefy Brillouina. Zwykle prezentuje się tylko stany elektronowe dla wektorów $\bm{k}$ należących do wybranych kierunków i punktów wysokiej symetrii w przestrzeni odwrotnej. Jeżeli energie pasm przyjmują różne wartości dla dwóch kierunków spinu, -$\varepsilon_{\bm{k}j}^{\uparrow}\ne \varepsilon_{\bm{k}j}^{\downarrow}$, mamy doczynienia z rozszczepieniem spinowym (wymiennym), które związane jest z uporządkowaniem magnetycznym. +Therefore, when presenting the band structure, one can restrict oneself to the first Brillouin zone. Usually, only electronic states for wave vectors $\bm{k}$ belonging to selected directions and high-symmetry points in reciprocal space are presented. If the band energies take different values for the two spin directions, +$\varepsilon_{\bm{k}j}^{\uparrow}\ne \varepsilon_{\bm{k}j}^{\downarrow}$, we are dealing with spin (exchange) splitting, which is associated with magnetic ordering. -Ważną wielkością, która charakteryzuje strukturą pasmową jest gęstość stanów elektronowych dla danego kierunku spinu $\rho_{\sigma}(E)$, -która wyliczana jest jako suma po pierwszej strefie Brillouina +An important quantity that characterizes the band structure is the density of electronic states for a given spin direction $\rho_{\sigma}(E)$, +which is calculated as a sum over the first Brillouin zone % \begin{equation} \rho_{\sigma}(E)=\frac{1}{N_k}\sum_{j,\bm{k}}\delta[\varepsilon_{\bm{k}j}^{\sigma}-E], \end{equation} % -gdzie $N_k$ jest ilością wektorów $\bm{k}$ w pierwszej strefie Brillouina. -Całkowita gęstość stanów równa jest sumie obydwóch składowych spinowych, $\rho(E)=\rho_{\uparrow}(E)+\rho_{\downarrow}(E)$. -Przy wyliczaniu gestości stanów często zamiast sieci Monkhorsta-Packa stosuje się metodę tetraedrów. -Polega ona na podzieleniu całej strefy Brillouina na tetraedry i wyliczeniu energii stanów w punktach $\bm{k}$, które -odpowiadają wierzchołkom tetraedrów. Energie pomiędzy tymi punktami wyznacza się stosując interpolację liniową. - -Struktura pasmowa decyduje o podstawowych własnościach danego materiału i jest jego wyróżnikiem, pozwalającym zakwalifikować go do określonej grupy materiałów. -Trzy podstawowe typy materiałów krystalicznych to metale, półprzewodniki i izolatory. -Struktura pasmowa metali charakteryzuję się występowaniem powierzchni Fermiego, która odgranicza zajęte stany elektronowe od stanów pustych. -Zatem w typowych metalach gęstość stanów na poziomie Fermiego jest niezerowa, $\rho(E_F)>0$. -Tuż powyżej energii Fermiego ($E_F$) znajdują się stany, do których przechodzą elektrony wzbudzone termicznie lub w wyniku oddziaływania z innymi -elektronami. W półprzewodnikach i izolatorach, powyżej ostatniego zajętego stanu elektronowego, znajduje się przerwa obejmująca -zakres zabronionych energetycznie stanów. -Pasmo, które znajduje się tuż poniżej przerwy energetycznej nazywa się pasmem walencyjnym, a to które jest powyżej -pasmem przewodnictwa. -Półprzewodniki zwykle charakteryzują się mniejszą przerwa energetyczną ($\sim$1-2 eV) niż izolatory. -Występują też materiały nazywane półmetalami, w których przerwa energetyczna i $\rho(E_F)$ są równe zeru (np. grafen). -Odrębną grupę materiałów stanowią izolatory Motta, w których przerwa energetyczna jest wynikiem silnych oddziaływań -elektronowych. +where $N_k$ is the number of $\bm{k}$ vectors in the first Brillouin zone. +The total density of states equals the sum of both spin components, $\rho(E)=\rho_{\uparrow}(E)+\rho_{\downarrow}(E)$. +% **[REVIEW NEEDED]**: "equals" vs. "is the same as" - verify author's preference for consistency +When calculating the density of states, instead of the Monkhorst-Pack mesh, the tetrahedron method is often used. +It consists of dividing the entire Brillouin zone into tetrahedra and calculating the energies of states at points $\bm{k}$ that +correspond to the vertices of the tetrahedra. Energies between these points are determined using linear interpolation. + +The band structure determines the basic properties of a given material and is its distinguishing feature, allowing it to be classified into a specific group of materials. +The three basic types of crystalline materials are metals, semiconductors, and insulators. +The band structure of metals is characterized by the presence of a Fermi surface, which separates occupied electronic states from empty states. +Thus, in typical metals, the density of states at the Fermi level is nonzero, $\rho(E_F)>0$. +Just above the Fermi energy ($E_F$), there are states to which electrons excited thermally or as a result of interaction with other +electrons transition. In semiconductors and insulators, above the last occupied electronic state, there is a gap covering +a range of energetically forbidden states. +The band that is located just below the energy gap is called the valence band, and the one above it +is the conduction band. +Semiconductors are usually characterized by a smaller energy gap ($\sim$1-2 eV) than insulators. +There are also materials called semimetals, in which the energy gap and $\rho(E_F)$ are both zero (e.g., graphene). +A separate group of materials are Mott insulators, in which the energy gap results from strong electronic +interactions. From d22c8035902ce70b1ec25a92c0a8699c774bf269 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "copilot-swe-agent[bot]" <198982749+Copilot@users.noreply.github.com> Date: Sat, 3 Jan 2026 05:23:11 +0000 Subject: [PATCH 3/3] Address review comments: remove review markers and simplify phrasing Co-authored-by: jochym <5993422+jochym@users.noreply.github.com> --- book/main.tex | 5 +---- 1 file changed, 1 insertion(+), 4 deletions(-) diff --git a/book/main.tex b/book/main.tex index dc46d16..73ee131 100644 --- a/book/main.tex +++ b/book/main.tex @@ -693,13 +693,11 @@ \section{Crystal lattice} can be defined for any dimension $d$ by choosing an appropriate number of basis vectors: $\bm{a}_1,\bm{a}_2,...,\bm{a}_d$. With each Bravais lattice point, one can associate a set of atoms called the basis. The smallest region of the crystal that, when translated by all lattice translations, fills the entire space is called the primitive cell. -% **[REVIEW NEEDED]**: "fills the entire space" - verify if "entire volume" is preferred per author's style preference The primitive cell contains exactly one Bravais lattice point and is usually built on the primitive translation vectors of the lattice. There exists a special type of primitive cell called the Wigner-Seitz cell, which is the region containing all points in space that are closer to a given lattice point than to any other. Often, instead of the primitive cell, the conventional cell is used, which is built on different basis vectors and whose symmetry is the same as the symmetry of the entire crystal. -% **[REVIEW NEEDED]**: "conventional cell" vs. "unit cell" - verify preferred terminology for "komórka elementarna" The volume of the conventional cell is an integer multiple of the volume of the primitive cell. In simple structures (without face-centering or body-centering), the conventional cell coincides with the primitive cell. The differences between various types of cells can be illustrated using the example @@ -997,8 +995,7 @@ \section{Band structure} \end{equation} % where $N_k$ is the number of $\bm{k}$ vectors in the first Brillouin zone. -The total density of states equals the sum of both spin components, $\rho(E)=\rho_{\uparrow}(E)+\rho_{\downarrow}(E)$. -% **[REVIEW NEEDED]**: "equals" vs. "is the same as" - verify author's preference for consistency +The total density of states is the sum of both spin components, $\rho(E)=\rho_{\uparrow}(E)+\rho_{\downarrow}(E)$. When calculating the density of states, instead of the Monkhorst-Pack mesh, the tetrahedron method is often used. It consists of dividing the entire Brillouin zone into tetrahedra and calculating the energies of states at points $\bm{k}$ that correspond to the vertices of the tetrahedra. Energies between these points are determined using linear interpolation.