From 81fb0951a1067d0b88fb1652eaff5ed496d1874e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: kanition <68691995+kanition@users.noreply.github.com> Date: Mon, 18 Mar 2024 01:21:33 +0800 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=E7=BB=A7=E7=BB=AD=E8=A1=A5=E5=85=85=E6=8E=A8?= =?UTF-8?q?=E5=AF=BC=E6=96=9C=E7=8E=87=E7=A7=AF=E5=88=86#145=20#156?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- content/chap08ex01.tex | 99 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 96 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/content/chap08ex01.tex b/content/chap08ex01.tex index 6b23e13..ee1ad4a 100644 --- a/content/chap08ex01.tex +++ b/content/chap08ex01.tex @@ -568,7 +568,7 @@ \subsubsection*{Smith微面} D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, . \end{align} 于是 -\begin{align} +\begin{align}\label{eq:08-ex01-g1_distance} G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}}) =\frac{\cos\theta_{\mathrm{o}}} {\displaystyle\int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) @@ -591,7 +591,9 @@ \subsubsection*{Smith微面} {\bm\omega}_{\mathrm{h}}=(x_{\mathrm{h}},y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}}) =(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)\, , \end{align} -则该处附近的面元可以近似为以下平面 +其中$\theta$为天顶角（即${\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}=\cos\theta$）， +$\varphi$为方位角 +\sidenote{参见\reffig{5.ex01}。}；则该处附近的面元可以近似为以下平面 \begin{align} x_{\mathrm{h}}x+y_{\mathrm{h}}y+z_{\mathrm{h}}z=C\, . \end{align} @@ -611,7 +613,9 @@ \subsubsection*{Smith微面} \sidenote{原文slope，这里作者想表达的是$z$对$x$和$y$的偏导数， 它和二维直角坐标系下直线斜率的形式很像，所以借用这个称呼。}。 反之，也可以根据斜率求出相应法线为 -\begin{align} +\sidenote{注意到${\bm s}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})={\bm s}(-{\bm\omega}_{\mathrm{h}})$， +所以这里也可以是反向的结果，我们只是取其中一个。} +\begin{align}\label{eq:08-ex01-normals-by-slope} {\bm\omega}_{\mathrm{h}}=\frac{1}{\sqrt{x_s^2+y_s^2+1}}(-x_s,-y_s,1)\, . \end{align} @@ -673,6 +677,95 @@ \subsubsection*{Smith微面} =D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos^4\theta\, . \end{align} +利用前面的结果，我们尝试将积分域从法线分布空间转化到斜率分布空间。 +首先注意到，因为${\bm\omega}_{\mathrm{g}}=(0,0,1)$， +所以结合\refeq{08-ex01-normals-by-slope}有 +\begin{align} + {\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}} + =\frac{1}{\sqrt{x_s^2+y_s^2+1}}\, . +\end{align} +类似地，对于出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}=(x_{\mathrm{o}},y_{\mathrm{o}},z_{\mathrm{o}})$，则有 +\begin{align} + \max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) + =\frac{(-x_{\mathrm{o}}x_s-y_{\mathrm{o}}y_s+z_{\mathrm{o}}) + \chi(-x_{\mathrm{o}}x_s-y_{\mathrm{o}}y_s+z_{\mathrm{o}})}{\sqrt{x_s^2+y_s^2+1}}\, . +\end{align} +将上述两式与\refeq{08-ex01-P2D}结合可知 +\begin{align}\label{eq:08-ex01-trans-normal-slope} + & \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ + = & \int\limits_{\varOmega}\frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)} + {\cos\theta}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\cos\theta\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ + = & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} + \frac{\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0)} + {{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{g}}} + P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s\nonumber \\ + = & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} + (-x_sx_{\mathrm{o}}-y_sy_{\mathrm{o}}+z_{\mathrm{o}}) + \chi(-x_sx_{\mathrm{o}}-y_sy_{\mathrm{o}}+z_{\mathrm{o}}) + P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s\, . +\end{align} +为了简化后续推导，这里我们不妨设出射方向${\bm\omega}_{\mathrm{o}}$的方位角$\varphi=0$，于是 +\begin{align} + {\bm\omega}_{\mathrm{o}}=(\sin\theta_{\mathrm{o}},0,\cos\theta_{\mathrm{o}})\, . +\end{align} +将其代入\refeq{08-ex01-trans-normal-slope}得 +\begin{align}\label{eq:08-ex01-trans-1d-slope} + & \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ + = & \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} + (-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}) + \chi(-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}) + P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s\nonumber \\ + = & \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} + (-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}) + \chi(-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}) + \left(\int_{-\infty}^{+\infty}P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}y_s\right)\mathrm{d}x_s\nonumber \\ + = & \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} + (-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}) + \chi(-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, , +\end{align} +其中 +\begin{align} + P_x(x_s)=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}y_s +\end{align} +是斜率沿着出射方向（这里假设方位角为零）的条件分布。 +注意到\refeq{08-ex01-trans-1d-slope}中的示性函数把积分域限定在 +\begin{align} + -x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}}>0\, , +\end{align} +也即 +\begin{align} + x_s<\cot\theta_{\mathrm{o}}\, . +\end{align} +于是\refeq{08-ex01-trans-1d-slope}可进一步化简为 +\begin{align} + \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}} + =\int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}} + (-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, . +\end{align} +将上式代入\refeq{08-ex01-g1_distance}，可得 +\begin{align} + \cos\theta_{\mathrm{o}} + = & G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}}) + \int\limits_{\varOmega}\max({\bm\omega}_{\mathrm{h}}\cdot{\bm\omega}_{\mathrm{o}},0) + D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\nonumber \\ + = & G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}}) + \int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}} + (-x_s\sin\theta_{\mathrm{o}}+\cos\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, . +\end{align} +将上式两边同除以$\sin\theta_{\mathrm{o}}$，得到 +\begin{align} + \cot\theta_{\mathrm{o}}=G_1^{\mathrm{d}}({\bm\omega}_{\mathrm{o}}) + \int_{-\infty}^{\cot\theta_{\mathrm{o}}} + (-x_s+\cot\theta_{\mathrm{o}})P_x(x_s)\mathrm{d}x_s\, . +\end{align} +此外，我们假设微面法线的分布是中心对称的，即任意出射方向上的斜率均值都为零： +\begin{align} + \int_{-\infty}^{+\infty}x_sP_{x}(x_s)\mathrm{d}x_s=0\, , +\end{align} + \subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明} 本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的 微面分布函数$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$满足规范性要求的证明，即证明