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\chapter{Polinomio interpolatore di Lagrange}
Il polinomio Lagrangiano si presenta nella forma:
\begin{align}
L_i = \prod_{k=0, k\neq i}^n \frac{x - x_k}{x_i - x_k}
\end{align}
Invece il polinomio interpolatore costruito grazie al polinomio Lagrangiano è:
\begin{align}
p_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i L_i(x)
\end{align}
La caratteristica del polinomio di Lagrange è che:
\begin{align}
L_i(x_j) = \begin{cases}
1 & \text{se } i = j \\
0 & \text{se } i \neq j
\end{cases}
\end{align}
Il polinomio interpolatore di Lagrange si può riscrivere come:
\begin{align}
p_n(x) &= \sum_{i=0}^n y_i L_i(x) \\
&= \omega_n(x) \sum_{i = 0}^n \frac{\beta_i}{x-x_i}
\end{align}
Dove $\omega_n(x)$ è:
\begin{align}
\omega_n(x) = \prod_{i=0}^n (x-x_i)
\end{align}
mentre $\beta_i$ è:
\begin{align}
\beta_i = \frac{y_i}{\prod_{i=0, i\neq j}^n (x_j - x_i)}
\end{align}
Le operazioni necesarie per il calcolo del polinomio interpolatore di Lagrange sono:
\begin{itemize}
\item $n^2/2$ addizioni
\item $n^2$ moltiplicazioni
\end{itemize}
Per il calcolo del resto si ricorre alal formula:
\begin{align}
r(x) &= f(x) - p_n(x) \\
&= \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!} \omega_n(x)
\end{align}