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\chapter{Convergenza dei polinomi di interpolazione}

\section{Bernstein}
Se $f(x) \in C^1([a, b])$, il $p_n(x)$ della funzione relativo agli zeri di chebichev di grado $(n+1)$
converge uniformemente a $f(x)$ in $[a, b]$ per $n \rightarrow \infty$.


Se $f(x) \in C^2([a, b])$, l'errore è limitato da:
\begin{align}
  E = O(\frac{1}{\sqrt{n}})
\end{align}

Il polinomio di Bernstein è:
\begin{align}
  B_{n, k}(x) = \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k}
\end{align}

Dove la binomiale è:
\begin{align}
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}
\end{align}





\section{Hermite-Fejér}
Sia $f(x) \in C^0([a, b])$, con $[a, b]$ chiuso e limitato e sia:
\begin{itemize}
  \item $p_{2n+1}(x_i) = f(x_i)$
  \item $p'_{2n+1}(x) = 0$
\end{itemize}

Se $x_i$ sono gli zeri di chebichev, allora:
\begin{align}
  \lim_{n \rightarrow \infty} err = 0
\end{align}