proof-lemma.md

補題 1

$p \equiv 3 \pmod 4$ なる素数 p に対して $A \equiv -1 \pmod {p}$ が成立する場合、 $A$ は平方数ではない。

補題 1 の証明

$A$ が平方数であったとする。 $A = x^2$ と置くと、 $A^{(p-1)/2} = x^{p-1} \equiv 0 \text{ or } 1 \pmod{p}$ が成立する。しかし $A^{(p-1)/2} \equiv (-1)^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}$ であるため矛盾。

系 2

$m \equiv 3 \pmod 4$ なる正の有理整数 m 、および m と互いに素な有理整数 B に対して $A \equiv -B^2 \pmod {m}$ が成立する場合、 $A$ は平方数ではない。

系 2 の証明

$m$ は必ず $p \equiv 3 \pmod 4$ なる素因数 p を持つ。(そうでないと仮定すると、素因数はすべて奇数で 1+4k 型であるため、それらの積も mod 4 で 1 に合同なはず。) その p に対して $A \equiv -B^2 \pmod {p}$ なので、 $A(B^{-1} \bmod p)^2 \equiv -1 \pmod {p}$ に対して補題 1 を使えば良い。