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# Exemplos não convencionais
## Modelo autoregressivo de ordem 1
Nos exemplos do Capítulo 3 consideramos observações independentes e a verossimilhança é
portanto dada pelo produto das densidades. Vamos considerar agora um modelo simples, porém
com observações não independentes. Tomamos o caso de um modelo AR1 (autoregressivo de ordem 1) para dados gaussianos que é um modelo básico em séries temporais. Um texto de
referência na área é @Toloi:2004. Vamos considerar uma versão simplificada deste modelo
assumindo que o processo possui média zero e variância unitária. Desta forma, o modelo é
definido por:
\begin{align}
y_{t+1} &= \rho y_t + e_{t+1} \\
\nonumber e_t &\sim N(0, \sigma^2=1) \\
\nonumber \mbox{com } & |\rho| < 1
\end{align}
Decorre deste modelo que
\begin{align*}
[Y_i|Y_{i-1}] &\sim N(\rho \, y[i-1], 1) \;\; ; \;\; i = 2, \ldots, n \;, \\
[Y_1] &\sim N(0, 1/(1-\rho^2)) \;\; ; \;\; i = 2, \ldots , n.
\end{align*}
Uma simulação da série fixando os valores necessários é feita com os comandos a seguir.
Definimos o valor do parâmetro $\rho = 0,7$ e o número de observações $n = 100$.
A série simulada é mostrada na Figura \@ref(fig:simar1).
```{r simar1, echo = FALSE, fig.width = 8, fig.height = 2, fig.cap = 'Valores da série simulada - Modelo AR1.'}
set.seed(1242)
rho <- 0.7 ; n <- 100
y <- numeric(n) ## cria vetor com elementos nulos
y[1] <- rnorm(1, m=0, sd=sqrt(1/(1-rho^2)))
for(i in 2:n)
y[i] <- rho * y[i-1] + rnorm(1)
plot(y, type="l")
```
A expressão da função de verossimilhança é equivalente à distribuição conjunta para as $n$
observações, uma distribuição gaussiana multivariada neste caso. Vamos explorar aqui
algumas formas alternativas de escrever esta função.
Podemos escrever a distribuição conjunta com a expressão da distribuição multivariada
gaussiana de $[Y_1, Y_2, \ldots, Y_n]$ induzida pelo modelo ou pelo produto das
distribuições condicionais univariadas. No caso do modelo AR1 as distribuições univariadas
dependem apenas da observação anterior e temos então que a expressão da verossimilhança é:
\begin{align}
\mathrm{L}(\rho) &\equiv [Y_1, Y_2, \ldots, Y_n] = [Y_1] [Y_2|Y_1] \ldots [Y_n|Y_{n-1}] = [Y_1] \prod_{i=2}^n [Y_i|Y_{i-1}].
(\#eq:ar1)
\end{align}
Uma verosimilhança aproximada é obtida ignorando-se a contribuição da primeira observação,
ou seja pela distribuição condicional à primeira observação,
\begin{equation}
\mathrm{L_A}(\rho) = \prod_{i=2}^n [Y_i|Y_{i-1}].
(\#eq:ar1A)
\end{equation}
Neste caso é possível encontrar o estimador do parâmetro em forma fechada com $\mathrm{L_A}(\rho)$ mas métodos numéricos são necessários para maximizar $\mathrm{L}(\rho)$.
Entretanto, no que se segue vamos sempre utilizar métodos numéricos uma vez que o foco
aqui não é discutir este modelo em particular mas sim ilustrar implementações que possam
ser adaptadas para modelos que possuam estrutura similar.
Começamos definindo no código \@ref(lem:veroAR1a) a função de verossimilhança aproximada.
Por conveniência definimos também uma versão vetorizada da função o que pode ser feito facilmente usando a função `Vectorize()`. Vetorizar a função é é útil para processar diversos valores do parâmetro de uma só vez como, por exemplo, quando fazemos gráficos da função.
```{lemma, veroAR1a}
**Função de log-verossimilhança (aproximada) para o modelo AR1 com média 0 e variância 1.**
```
```{r}
llAR1.a <- function(par, sigma=1, dados) {
n <- length(dados)
ll <- sum(dnorm(dados[2:n], mean=par*dados[1:(n-1)],
sd=sigma, log=TRUE))
return(ll)
}
llAR1.a.V <- Vectorize(llAR1.a, "par")
```
Com o comando a seguir obtém-se, por algorítimos numéricos, a estimativa do parâmetro $\rho$ que maximiza a função de verossimilhança aproximada.
```{r}
unlist(rho.est.a <- optimize(llAR1.a, int=c(0, 1), dados=y, maximum=TRUE))
(rho.a <- rho.est.a$maximum)
```
No código \@ref(lem:veroAR1} a seguir definimos a verossimilhança completa que inclui a distribuição da primeira observação que neste caso é convenientemente especificada como,
\[
[Y_1] \sim N(0, 1/(1-\rho^2)) .
\]
```{lemma, veroAR1}
**Função de log-verossimilhança (completa) para o modelo AR1 com média 0 e variância 1.**
```
```{r}
llAR1 <- function(par, sigma = 1, dados){
n <- length(dados)
ll <- dnorm(dados[1], mean=0, sd=sigma*sqrt(1/(1-par^2)), log=TRUE) +
sum(dnorm(dados[2:n],mean=par*dados[1:(n-1)],sd=sigma,log=TRUE))
}
llAR1.V <- Vectorize(llAR1, "par")
```
Com esta função obtemos uma estimativa que, neste caso, é bem próxima à obtida com a verossimilhança aproximada.
```{r}
unlist(rho.est <- optimize(llAR1, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE))
(rho.emv <- rho.est$maximum)
```
A seguir vamos traçar os gráficos das funções de verossimilhança. Inicialmente vamos definir uma função deviance genérica no sentido de que pode ser calculada dada uma verossimilhança.
```{lemma, devgen}
**Função _deviance_ genérica.**
```
```{r}
devfun <- function(par, llfun, est, ...)
2*(llfun(est, ...) - llfun(par, ...))
```
Os gráficos das funções de verossimilhança e deviance aproximadas e completas para os
dados simulados são mostrados na Figura \@ref(fig:veroar1). Para a primeira consideramos valores em todo o espaço paramétrico enquanto que para segunda tomamos apenas valores ao
redor da estimativa de máxima verossimilhança (completa). O intervalo de confiança foi definido aqui pela faixa de valores para $\rho$ cuja verossimilhança seja de ao menos
10\% da verosimilhança maximizada ($r=0,10$). Para isto encontramos o valor de corte correspondente na função deviance $cD = -2 \log(r) = 4,605$ e usamos a função ``uniroot.all()`` do pacote ``rootSolve`` para encontrar os limites do intervalo.
```{r}
require(rootSolve)
ICdev <- function(par, devfun, cD, ...) devfun(par, ...) - cD
(IC.rel10 <- uniroot.all(ICdev, c(0,1), devfun=devfun, cD=-2*log(0.1),
llfun=llAR1.V, est=rho.emv, dados=y))
```
```{r veroar1, echo = FALSE, fig.width = 8, fig.height = 5, fig.cap = 'Função de verossimilhança (esquerda) e _deviance_ (direita) aproximada (vermelha) e completa (preta) com estimativas pontual e intervalar do parâmetro rho para os dados simulados do modelo AR1.'}
par(mfrow=c(1,2))
curve(llAR1.a.V(x, dados=y), 0, 1, xlab=expression(rho), ylab=expression(l(rho)), col=2)
curve(llAR1.V(x, dados=y), 0, 1, add=T)
segments(rho.a, llAR1.a(0, dados=y), rho.a, rho.est.a$objective, lty=3, col=2)
segments(rho.emv, llAR1(0, dados=y), rho.emv, rho.est$objective, lty=3)
curve(devfun(x, est=rho.a, llfun=llAR1.a.V, dados=y), 0.56, 0.88, xlab=expression(rho), ylab=expression(D(rho)), col=2)
curve(devfun(x, est=rho.emv, llfun=llAR1.V, dados=y), 0.56, 0.88, add=T)
arrows(rho.emv, 1, rho.emv,0, length=0.12)
text(rho.emv, 1, substitute(hat(rho) == a, list(a=round(rho.emv, dig=3))), pos=3)
segments(IC.rel10, c(0,0), IC.rel10, devfun(IC.rel10, llfun=llAR1.V, est=rho.emv, dados=y), lty=2)
IC.rel10r <- round(IC.rel10, dig=3)
text(IC.rel10[1], 4.5, substitute(group("(", list(a, b), ")")["10%"], list(a=IC.rel10r[1], b=IC.rel10r[2])), pos=4)
```
Em implementações que visam eficiência a função `llAR1()` pode ser reescrita evitando o uso de `dnorm()` e utilizando as expressões das densidades escritas em função de estatísticas suficientes. Isto reduz o tempo computacional em procedimentos interativos e/ou que avaliam a função muitas vezes.
Passamos agora a outra forma de escrever a verossimilhança utilizando a expressão da densidade conjunta (multivariada).
\begin{equation}
[Y_1, \ldots, Y_N] \sim N(0, \Sigma),
(\#eq:ar1mv)
\end{equation}
em que os elementos de $\Sigma$ são $\Sigma_{ij} = \rho^{|i-j|}(1/(1-\rho^2))$.
Os elementos da matriz são portanto função da distância $|i-j|$ entre as observações.
No comando a seguir ilustramos como montar esta matriz calculando as distâncias entre pares de pontos e depois calculando os valores para $\rho=0,70$.
```{r}
n <- length(y)
{S <- diag(n) ; S <- abs(row(S)-col(S))}
S <- 0.7^S * (1/(1-0.7^2))
```
A expressão da log-verossimilhança é obtida pela densidade da distribuição gaussiana multivariada, sendo então:
\begin{equation}
\mathrm{l}(\boldsymbol{\theta}) = \mathrm{l}(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log(|\Sigma|) - \exp\{\frac{1}{2}y\prime \Sigma^{-1}y\}.
(\#eq:ar1mv2)
\end{equation}
Os três comandos a seguir mostram diferentes formas de avaliar esta densidade que produzem os mesmos resultados porém com tempos de execução distintos. Para ilustrar comparamos os tempos de execução de 100 avaliações destas funções. Os valores dos tempos não são relevantes e podem variar de um computador para outro. O relevante aqui é a comparação dos tempos, por exemplo tomando suas razões.
```{r}
system.time(replicate(100, mvtnorm::dmvnorm(y,rep(0,n),S,log=T)))
system.time(replicate(100, (-n/2) * log(2*pi) -
determinant(S,log=T)$mod/2 - 0.5*mahalanobis(y,center=0,cov=S)))
system.time(replicate(100, {Schol <- chol(S);
(-n/2) * log(2*pi) - sum(log(diag(Schol))) -
0.5*crossprod(backsolve(Schol, y, transpose=T))}))
```
O custo computacional é determinado pelas operações que envolvem a matriz de covariância. A primeira estratégia utiliza a implementação do pacote `mvtnorm`. A segunda estratégia é a mais lenta pois acaba fazendo contas redundantes no cálculo do determinante e da forma quadrática $y^{\prime}\Sigma^{-1} y$. A terceira estratégia é a mais eficiente pois tem o custo associado ao cálculo da decomposição de Choleski de $\Sigma$ que, uma vez calculado, é usado para calcular de forma computacionalmente barata tanto o determinante quanto a forma quadrática. Estas diferenças podem ser muito relevantes em modelos que possuem alguma estrutura de covariância quando avalia-se a função de log-verossimilhança muitas vezes, como algoritmos de maximização ou de inferência por simulação. As diferenças serão maiores com o aumento do número de observações.
Para o caso considerado aqui, ganhos adicionais de tempo computacional ainda podem ser obtidos. Em certos casos, resultados analíticos podem ser usados ao escrever as funções. No modelo AR1 considerado aqui a matriz $\Sigma$ tem inversa de forma conhecida e o código pode ser escrito de forma mais eficiente evitando a inversão da matriz ou a solução de sistemas lineares. Os elementos de $\Sigma^{-1}$ são:
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
\Sigma^{-1}_{i,i} = 1 & \mbox{ para } i=1 \mbox{ e } i=n \\
\Sigma^{-1}_{i,i} = 1+\rho^2 & \mbox{ para } 1 < i < n \\
\Sigma^{-1}_{i,j} = -\rho & \mbox{ para } |i-j| = 1 \\
\Sigma^{-1}_{i,j} = 0 & \mbox{ para } |i-j| > 1
\end{array} \right.
\]
A matriz para os dados simulados poderia ser montada da forma como mostrado a seguir onde exibimos as cinco primeiras linhas e colunas.
```{r}
iS <- diag(1+0.7^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -0.7
iS[1:5, 1:5]
```
Desta forma o código pode ser escrito de forma ainda mais eficiente evitando inversão de matriz (ou a solução de sistemas lineares) no cálculo da forma quadrática. Além disto, o determinante de $\Sigma$ possui expressão conhecida ${\rm det}(\Sigma) = 1/(1-\rho^2)$.
Com estes resultados o cálculo da verossimilhança pode ser substancialmente acelerado em comparação com os códigos anteriores, conforme mostra o código a seguir.
```{r, echo = FALSE}
#conferindo: comparando varias formas!!
llAR1(0.7, dados=y)
mvtnorm::dmvnorm(y, rep(0,n), S, log=T)
-(n/2) * log(2*pi) - 0.5*c(determinant(S, log=T)$mod) -
0.5*mahalanobis(y, center=0, cov=S)
Schol <- chol(S)
(-n/2) * log(2*pi) - sum(log(diag(Schol))) -
0.5*drop(crossprod(backsolve(Schol, y, transpose=T)))
-(n/2) * log(2*pi) +
0.5*c(determinant(iS, log=T)$mod) -
0.5*mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE)
iSchol <- chol(iS)
(-n/2) * log(2*pi) + sum(log(diag(iSchol))) -
0.5*drop(crossprod(iSchol %*% y))
0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
drop(crossprod(y, iS %*% y)))
0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE))
```
```{r}
system.time(replicate(100, {iSchol <- chol(iS)
(-n/2) * log(2*pi) + sum(log(diag(iSchol))) -
0.5*drop(crossprod(iSchol %*% y))}))
system.time(replicate(100, 0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
mahalanobis(y, center=0, cov=iS, inverted=TRUE))))
system.time(replicate(100, 0.5*(-n*log(2*pi) + log(1-0.7^2) -
drop(crossprod(y, iS %*% y)))))
```
Finalmente vamos comparar com o tempo para o cálculo utilizando a forma fatorada da verossimilhança, ou seja, com o produto de distribuições univariadas.
```{r}
system.time(replicate(100, llAR1(0.7, dados=y)))
```
E ainda há outras melhorias possíveis! A matriz inversa $\Sigma^{-1}$ é esparsa (muitos elementos iguais a zero) e algorítmos e funções específicas como os do pacote ``Matrix`` podem ser utilizados não só para eficiência mas também para reduzir o uso de memória para armazenar tais matrizes. Deixamos tal implementação como sugestão ao leitor.
No código \@ref(lem:veroAR1mv) implementamos a função de verossimilhança que é depois maximizada para obter a estimativa do parâmetro $\rho$.
```{lemma, veroAR1mv}
**Função de verossimilhança escrita como densidade multivariada para modelo AR1.**
```
```{r}
llAR1mv <- function(par, sigma = 1, dados){
n <- length(dados)
iS <- diag(1+par^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -par
return(0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-par^2) -
drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2))
}
```
```{r}
unlist(optimize(llAR1mv, c(0,1), dados=y, maximum=TRUE))
```
Vamos agora não mais fixar o valor para a variância $\sigma^2$ e considerá-la um parâmetro também a ser estimado. Neste caso os elementos da matrix de covariância em \@ref(lem:veroAR1mv) são $\Sigma_{ij} = \rho^{|i-j|}(\sigma^2/(1-\rho^2))$. A função de log-verossimilhança $l(\underline{\theta}) = l(\sigma, \rho)$ fica como a seguir.
A implementação supõe que o primeiro argumento da função é um vetor de comprimento dois com os valores para $\sigma$ e $\rho$ , nesta ordem.
```{lemma, veroAR1mv2}
**Função de log-verossimilhança l(sigma, rho) para o modelo AR1.**
```
```{r}
llAR1mv2 <- function(par, dados, repar=FALSE){
## par: vetor com valores de (sigma, rho), nesta ordem
n <- length(dados)
if(repar){
sigma <- exp(par[1])
rho <- (exp(2*par[2])-1)/(exp(2*par[2])+1)
}
else{ sigma <- par[1]; rho <- par[2]}
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
return(0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) -
drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma^2))
}
```
Nesta parametrização do modelo AR1 temos que o espaço paramétrico é restrito $\sigma > 0$ e $|\rho| < 1$. Uma possível reparametrização para qual o espaço paramétrico é o $\Re^2$ é adotar $\tau = \log(\sigma)$ e a transformação de Fisher $\varphi = \frac{1}{2} \log\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)$. Esta opção é implementada pelo argumento `repar` na função de verossimilhança definida em \@ref(lem:veroAR1mv2). Desta forma as três chamadas a seguir produzem o mesmo valor.
```{r, echo=F,results=hide,eval=F}
# Original
llAR1mv(0.7, dados=y)
# Com sigma = 1
## devem retornar os mesmos valores:
llAR1mv2(c(1, 0.7), dados=y)
# Reparametrizada
llAR1mv2(c(log(1), 0.5 * log((1+0.7)/(1-0.7))), dados=y, repar=TRUE)
```
O código para obter as estimativas dos parâmetros por maximização numérica para os casos sem e com reparametrização é dado a seguir. No primeiro caso é necessário utilizar o método `L-BFGS-B` para poder delimitar o espaço paramétrico com os argumentos `lower` e `upper`. No segundo caso isto não é necessário uma vez que o espaço paramétrico para o modelo reparametrizado é irrestrito. Pelo princípio da invariância tem-se que os valores maximizados das verossimilhanças são iguais. Eventuais diferenças, se houverem devem ser pequenas e devidas a erros numéricos. Mostramos ainda como os valores das estimativas no segundo caso, quando transformados de volta, produzem os mesmos valores.
```{r}
opar <- optim(c(1, 0.7), fn=llAR1mv2, dados=y, method="L-BFGS-B",
lower=c(0, -1), upper = c(Inf, 1),
control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE)
unlist(opar[1:2])
rpar <- optim(c(log(1), 0.5* log((1+0.7)/(1-0.7))), fn=llAR1mv2,
dados=y, repar=TRUE, control=list(fnscale=-1), hessian=TRUE)
unlist(rpar[1:2])
c(exp(rpar[[1]][1]), (exp(2*rpar[[1]][2])-1)/(exp(2*rpar[[1]][2])+1))
```
A Figura \@ref(fig:devAR1) mostra as superfícies de verossimilhança para ambas parametrizações. Neste caso, a parametrização original produziu contornos mais próximos de um comportamento quadrático. Outro fato relevante revelado na figura é a quase ortogonalidade entre os parâmetros que pode ser observada em ambos os casos.
Isto pode ser verificado numericamente na matriz de covariância dos estimadores obtida pela inversa da matriz de informação observada. Temos aqui que os elementos fora da diagonal possuem valores pequenos em comparação com os da diagonal, ou seja a matriz é proxima de uma matriz diagonal.
```{r, echo=F,results=hide}
Nseq <- 201
s.s <- seq(0.77, 1.22, len=Nseq)
r.s <- seq(0.5, 0.93, len=Nseq)
t.s <- expand.grid(s.s, r.s)
vero1 <- apply(as.matrix(t.s), 1, llAR1mv2, dados=y)
dev1 <- -2 * (vero1 - opar$value)
s.s2 <- seq(log(0.77), log(1.22), len=Nseq)
r.s2 <- seq(0.5*log((1+0.5)/(1-0.5)), 0.5*log((1+0.93)/(1-0.93)), len=Nseq)
t.s2 <- expand.grid(s.s2, r.s2)
vero2 <- apply(as.matrix(t.s2), 1, llAR1mv2, dados=y, repar=TRUE)
dev2 <- -2 * (vero2 - rpar$value)
```
```{r devAR1, echo = FALSE, fig.width = 8, fig.height = 5, fig.cap = 'Superfícies de deviance para o modelo AR1 para parâmetros originais (esquerda) e reparametrizado (direita).'}
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s, r.s, matrix(dev1,Nseq,Nseq),
levels=qchisq(LEVELS,df=2),
labels=LEVELS,
xlab=expression(sigma), ylab=expression(rho))
points(t(opar[[1]]), pch=20, col=2)
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s2, r.s2, matrix(dev2,Nseq,Nseq),
levels=qchisq(LEVELS,df=2),
labels=LEVELS,
xlab=expression(tau),ylab=expression(varphi))
points(t(rpar[[1]]), pch=20, col=2)
```
```{r}
-solve(opar$hessian)
-solve(rpar$hessian)
```
Vamos focar agora na inferência sobre o parâmetro $\rho$ neste modelo de dois parâmetros, ou seja, o parâmetro $\sigma^2$ é considerado _nuisance_. No modelo definido em \@ref(eq:AR1mv) a matriz de covariâncias pode ser reescrita como $\Sigma = \sigma^2 R_{\rho}$ destacando que a matriz de correlação $R_{\rho}$ tem seus termos dependendo apenas do parâmetro $\rho$. A função de verrosimilhança \@ref(eq:AR1mv) fica equivalente a
\begin{equation}\label{eq:veroAR1s}
\mathrm{l}(\boldsymbol{\theta}) = \mathrm{l}(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{n}{2}\log(\sigma^2) - \frac{1}{2}|R_{\rho}| - \exp\{\frac{1}{2\sigma^2}y^{\prime} R_{\rho}^{-1}y\} .
\end{equation}
Tomando-se a derivada em relação à $\sigma^2$ e igualando à zero obtém-se o estimador deste parâmetro em relação à $\rho$,
\[ \hat{\sigma}_{\rho}^2 = \frac{y^{\prime} R_{\rho}^{-1}y}{n} .\]
A verossimilhança concentrada ou _perfilhada_ de $\rho$ é então obtida substituindo-se $\sigma^2$ por $\hat{\sigma}_{\rho}^2$ em \@ref(eq:veroAR1s) e temos então:
\[\mathrm{pl}(\rho) = -\frac{n}{2}\left(\log(2\pi) + \log(\sigma^2) + 1\right) - \frac{1}{2} \log(|R_{\rho}|) . \]
Esta função é implementada em \@ref{lem:pveroAR1) e retorna dois valores: o da verossilhança $\mathrm{l}(\rho, \sigma^2_{\rho})$ e de $\sigma^2_{\rho}$, a estimativa de $\sigma^2_{\rho}$ ao valor de $\rho$.
A implementação da função de verossimilhança perfilhada é simples. Tomamos a verossilhança que tem apenas $\rho$ como parâmetro e adicionamos a opção para que se $\sigma$ não for fornecido seja calculado para o valor corrente de $\rho$. Se o valor de $\sigma$ for fornecido é tomado como constante e a verossimilhança condicional à este valor é calculada.
```{lemma, pveroAR1}
**Função para o cálculo da verossimilhança perfilhada e condicional para o modelo AR1.**
```
```{r}
llAR1.rho <- function(rho, sigma, dados){
n <- length(dados)
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
if(missing(sigma))
sigma2 <- drop(crossprod(dados, iS %*% dados)/n)
else sigma2 <- sigma^2
return(0.5*(-n*log(2*pi) - n*log(sigma2) + log(1-rho^2) -
drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/sigma2))
}
```
```{r, echo=F,eval=F}
## vero perfilhada (testes)
llAR1.rho(0.7, dados=y)
llAR1.rho(opar[[1]][2], dados=y)
unlist(opar[1:2])
llAR1.rho(0.7, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
llAR1.rho(opar[[1]][2], sigma=opar[[1]][1], dados=y)
unlist(opar[1:2])
```
O gráfico da _deviance_ perfilhada é visualizado à direita na Figura \@ref(fig:perfAR1). Também é traçada a verossimilhança condicional na qual o valor de $\sigma^2$ é fixado em sua estimativa de máxima verossimilhança
\[\hat{\sigma}^2 = \hat{\sigma}_{\hat{\rho}}^2 = \frac{y^{\prime} \hat{R}_{\hat{\rho}}^{-1}y}{n} .\]
As funções diferem considerando uma maior região do espaço paramétrico conforme mostrado no gráfico do centro. Entretanto, na região do espaço paramétrico relevante para inferências no entorno do ponto de máximo as funções são quase indistinguíveis. Isto é mais um reflexo da quase ortogonalidade entre os parâmetros ao redor do máximo da função. No gráfico da deviance mostrada à esquerda e linhas indicam os cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais.
```{r perfAR1, echo = FALSE, fig.width = 9, fig.height = 3, fig.cap = 'Superfície de deviance (esquerda) com indicações dos cortes para obtenção das perfilhadas e condicionais. Deviances perfilhadas e condicionais para o parâmetro $\rho$ do modelo AR1.'}
par(mfrow=c(1,3),mar=c(2.6, 2.6, 1.5, 0.8),mgp=c(1.5, 0.6, 0))
## verossimilhanças condicionais e perfilhadas
sigma.rho <- function(rho, dados){
n <- length(dados)
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
return(sqrt(drop(crossprod(dados, iS %*% dados))/n))
}
#sigma.rho(0.7, dados=y)
#sigma.rho(opar[[1]][2], dados=y)
vero.perf.s <- sapply(r.s, llAR1.rho, dados=y)
dev.perf.s <- -2 * (vero.perf.s - opar$value)
sigma.perf.s <- sapply(r.s, sigma.rho, dados=y)
vero.cond.s <- sapply(r.s, llAR1.rho, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
dev.cond.s <- -2 * (vero.cond.s - opar$value)
##
r.seq <- seq(0.01, 0.99, length=Nseq)
vero.perf.seq <- sapply(r.seq, llAR1.rho, dados=y)
dev.perf.seq <- -2 * (vero.perf.seq - opar$value)
sigma.perf.seq <- sapply(r.seq, sigma.rho, dados=y)
vero.cond.seq <- sapply(r.seq, llAR1.rho, sigma=opar[[1]][1], dados=y)
dev.cond.seq <- -2 * (vero.cond.seq - opar$value)
##
LEVELS <- c(0.99,0.95,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0.05)
contour(s.s, r.s, matrix(dev1,Nseq,Nseq),
levels=qchisq(LEVELS,df=2),
labels=LEVELS,
xlab=expression(sigma),ylab=expression(rho))
points(t(opar[[1]]), pch=20, col=2)
abline(v=opar[[1]][1], h=opar[[1]][2], lty=3, col=2, lwd=1.5)
lines(sigma.perf.s, r.s, lty=2, lwd=1.7)
plot(r.seq, dev.perf.seq, type="l", xlab=expression(rho),
ylab=expression(pl(rho, hat(sigma)[rho])))
lines(r.seq, dev.cond.seq, lty=2, col=2)
legend(0.4, 70, c("Perfilhada","Condicional"), col=1:2, lty=1:2, cex=0.8)
plot(r.s, dev.perf.s, type="l", xlab=expression(rho),
ylab=expression(pl(rho, hat(sigma)[rho])))
lines(r.s, dev.cond.s, lty=2, col=2)
legend(0.6, 10, c("Perfilhada","Condicional"), col=1:2, lty=1:2, cex=0.8)
```
Para finalizar consideramos o modelo AR1 mais geral, que inclui um termo para descrever a média do processo. Uma forma de escrever tal modelo é:
\begin{align}
y_{y+1} &= \alpha + \rho y_t + e_{t+1} \label{eq:ar1alpha} \\
\nonumber e_{t+1} & \sim {\rm N}(0, \sigma^2)
\end{align}
A média do processo é dada por:
\[ {\rm E}[y_t] = \mu = \frac{\alpha}{1-\rho}, \]
e o modelo acima pode ser então reescrito na forma:
\begin{equation}\label{eq:ar1mu}
y_{y+1} = (1-\rho) + \rho y_t + e_{t+1}. \end{equation}
Para a expressão da verossimilhança, simplesmente acrescenta-se o termo
de média a \@ref(eq:veroAR1mu) que fica:
\begin{equation}
l(\underline{\theta}) = l(\sigma, \rho) =
-\frac{n}{2}\log(2\pi) - \frac{1}{2}\log(|\Sigma|) - \exp\{\frac{1}{2}(y-\mu)^{\prime} \Sigma^{-1})y-\mu)\}.
(\#eq:veroAR1mu)
\end{equation}
O código retornando o negativo da função de verossimilhança é implementado em \@ref(lem:veroAR1mu) e a seguir são mostradas as estimativas para os dados aqui considerados.
```{lemma, veroAR1mu}
**Função de verossimilhança para o modelo AR1.**
```
```{r}
llAR1mv3 <- function(par, dados){
## par: vetor com valores de (mu, sigma, rho), nesta ordem
n <- length(dados)
mu <- par[1]; sigma <- par[2]; rho <- par[3]
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
ymu <- dados - (1-rho)*mu
return(-0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) -
drop(crossprod(ymu, iS %*% ymu))/sigma^2))
}
```
```{r}
llAR1mv3(c(0,1,0.5), dados=y)
par3 <- optim(c(0,1,0.5), llAR1mv3, hessian=TRUE, dados=y)
unlist(par3[1:2])
round(solve(par3$hessian), dig=4)
```
Existem pacotes e funções específicas para ajustar modelos de séries temporais no `R`,
descritos na _Time Series Task View_[http://cran.r-project.org/web/views/TimeSeries.html]
As funções `ar()` e `arima()` estão entre as disponíveis e produzem resultados como mostrado a seguir, que diferem dos anteriores pois incluem a média na estimação o modelo com três parâmetros $(\mu, \sigma, \rho)$.
```{r}
(fit.ar <- ar(y, order.max=1, method="mle"))
with(fit.ar, x.mean)
(fit.arima <- arima(y, order=c(1,0,0), method="ML"))
```
Note que enquanto nosso código retorna as estimativas de $(\mu, \sigma, \rho)$ na parametrização definida em \@ref(eq:ar1mu) as funções `ar()` e `arima()` retornam estimativas de $(\alpha, \sigma^2, \rho)$ definida em \@ref(eq:ar1alpha).
##\begin{align*}
## \Sexpr{round(coef(fit.arima)[2], dig=4)} &= \hat{\alpha} = (1-\hat{\rho}) \hat{\mu} =
## (1 - \Sexpr{round(par3[[1]][3], dig=4)}) \cdot \Sexpr{round(par3[[1]][1], dig=4)} = ##\Sexpr{round((1-par3[[1]][3])*par3[[1]][1], dig=4)}\\
## \Sexpr{round(with(fit.arima, sigma2), dig=4)} &= \hat{\sigma}^2 = ##\Sexpr{round(par3[[1]][2], dig=4)}^2 = \Sexpr{round(par3[[1]][2]^2, dig=4)}
##\end{align*}
Aproveitamos esta última função para ilustrar e funcionalidade do pacote `bbmle` e da função genérica de ajuste de modelos `mle2()`. A função recebe o negativo da log-verossimilhança do modelo desejado, tal como em \@ref(lem:veroAR1mu) neste exemplo.
Internamente a função `optim()` é utilizada por `default` na otimização e outras podem ser selecionadas. Entretando a função _envoltório_ `mle2()` prepara os resultados de forma que várias explorações do ajuste tais como intervalos de confiança e verossimilhnaças perfilhadas podem ser facilmente obtidas, sem a necessidade de programações adicionais.
```{lemma, veroAR1a}
**Função de verossimilhança para o modelo AR1 modeficada para uso com bbmle::mle2().**
```
```{r}
llAR1.bb <- function(mu, sigma, rho, dados){
n <- length(dados)
iS <- diag(1+rho^2, n)
diag(iS)[1] <- diag(iS)[n] <- 1
iS[abs(row(iS)-col(iS))==1] <- -rho
ymu <- dados - (1-rho)*mu
return(-0.5*(-n*log(2*pi) - 2*n*log(sigma) + log(1-rho^2) -
drop(crossprod(ymu, iS %*% ymu))/sigma^2))
}
```
O ajuste produz os mesmos resultados obtidos anteriormente por outros métodos.
```{r}
require(bbmle)
ar1bb <- mle2(llAR1.bb, start=list(mu=0, sigma=1, rho=0.5),
data=list(dados=y))
coef(ar1bb)
logLik(ar1bb)
```