开篇一张图
《数据结构与算法》在我学生时代就是一门让我望而止步的课程。听着名字就感觉很晦涩难懂、需要大量的数学知识做铺垫。相信很多人也都和我一样，上学的时候学的一知半解，到了工作以后也很少用到就不了了之了。但是它却成为了你面试、寻找好的平台的障碍。很多大厂都很看中程序员的基本功，所以在面试中算法就编程了常考题目，为什么呢？因为基础知识就像是一座大楼的地基，它能够决定你技术的高度与深度。所以一般大厂都是看中你有没有这个技术发展的潜力。("所以大家要夯实基本功了。")
在我们系统的学习数据结构与算法之前，我们先简单的复习几个数学知识，相信大家也都忘的差不多了，是不是都学完了又还给老师了呢？嫑急，跟我一起来复习一下。
指数是幂运算aⁿ(a≠0)中的一个参数，a为底数，n为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘。当n是一个正整数，aⁿ表示n个a连乘。当n=0时，aⁿ=1。《百度百科》
指数：就是aⁿ中的n。底数：就是aⁿ的a幂运算：指数个底数相乘。
幂运算公式:
$ a^{x}=n$ 如果a的x次方等于N（a>0，且a不等于1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作$x=log_{a}N$。其中，a叫做对数的底数，N叫做真数。《百度百科》
在计算机科学中，除非有特别的声明，否则所有的对数都是以2为底的。
公式：
简单列了两个公式，大家看看就行了，知道一下啥是对数。
对于算法时间复杂度，可能有的朋友可能想了，不就是估算一段代码的执行时间嘛，我们可以搞个监控啊，看看一下每个接口的耗时不就好了，何必那么麻烦，还要分析下时间复杂度。但是这个监控属于事后操作，只有代码在运行时，才能知道你写的代码效率高不高，那么如何在写代码的时候就评估一段代码的执行效率呢，这个时候就需要时间复杂度来分析了。大家平常写代码可以结合时间复杂度和监控做好事前、事后的分析，更好的优化代码。
因为渐进时间复杂度使用大写O来表示，所以也称大O表示法。例如: O(f(n))。
常见时间复杂度：
常见时间复杂度所耗费时间从小到大依次是：
推导大O的方法：
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O(1)int i = 5; /*执行一次*/ int j = 6; /*执行一次*/ int sum = j + i; /*执行一次*/
这段代码的运行函数应该是f(n)=3 ,用来大O来表示的话应该是O(f(n))=O(3) ,但是根据我们的推导大O表示法中的第一条，要用1代替函数中的常数，所以O(3)=>O(1),那么这段代码的时间复杂度就是O(1)而不是O(3)。
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O(logn)int count = 1; /*执行一次*/ int n = 100; /*执行一次*/ while (count < n) { count = count * 2; /*执行多次*/ }
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O(n)for (int k = 0; k < n; k++) { System.out.println(k); /*执行n次*/ }
这段代码的执行次数会随着n的增大而增大，也就是说会执行n次，所以他的时间复杂度就是O(n)。
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$O(n^{2})$ for (int k = 0; k < n; k++) { for (int l = 0; l < n; l++) { System.out.println(l); /*执行了n*n次/ } }
读到这里不知道大家学会了没有？其实分析一段代码的时间复杂度，就找到你代码中执行次数最多的地方，分析一下它的时间复杂度是什么，那么你整段代码的时间复杂度就是什么。以最大为准。
public int find(int[] arrays, int findValue) {
int result = -1; /*执行一次*/
int n = arrays.length;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (arrays[i] == findValue) { /*执行arrays.length次*/
result = arrays[i];
break;
}
}
return result; /*执行一次*/
}我们来分析一下上边这个方法，这个方法的作用是从一个数组中查找到它想要的值。其实一个算法的复杂度还会根据实际的执行情况有一定的变化，就比如上边这段代码，假如数组的长度是100，里面存的是1-100的数。
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最好情况时间复杂度
如果我在这个数组里面查找数字1，那么在它第一次遍历的时候就找到了这个值，然后就执行
break结束当前循环，此时所有的代码只执行了一次，属于常数阶O(1)，这就是最好情况下这段代码的时间复杂度。 -
最坏情况时间复杂度
如果我在这个数组里面查找数字100，那么这个数组就要被遍历一边才能找到并返回，这样的话这个方法就要受到数组大小的影响了，如果数组的大小为n，那么就是n越大，执行次数越多。属于
线性阶O(n)，这就是最坏情况下的时间复杂度。 -
平均情况时间复杂度
我们都知道最好、最坏时间复杂度都是在两种极端情况下的代码复杂度，发生的概率并不高，因次我们引入另一个概念
“平均时间复杂度”。我们还看上边的这个方法，要查找个一个数有n+1中情况：在数组0 ~ n-1的的位置中和不再数组中，所以我们将所有代码的执行次数累加起来((1+2+3+...+n)+n),然后再除以所有情况n(n+1),就得到需要执行次数的平均值了。
推导过程：
大O表示法，会省略系数、低阶、常量，所以平均情况时间复杂度是O(n)。
但是这个平均复杂度没有考虑各自情况的发生概率，这里的n+1个情况，它们的发生概率是不一样的，所以还需要引入各自情况发生的概率再具体分析。findValue要么在1n中，要么不在1n中，所以他们的概率都是$\frac{1}{2}$,同时数据在1n中的各个位置的概率一样为$\frac{1}{n}$ ,根据概率乘法法则，findValue在1n中的任意位置的概率是$\frac{1}{2n}$ ,因此在上边推导的基础上需要在加入概率的的发生情况。
考虑概率的平均情况复杂度为：
推导过程：
这就是概率论中的加权平均值，也叫做期望值，所以平均时间复杂度全称叫：加权平均时间复杂度或者期望时间复杂度。平均复杂度变为$O(\frac{3n+1}{4})$，忽略系数及常量后，最终得到加权平均时间复杂度为O(n)。
算法的空间复杂度是对运行过程中临时占用存储空间大小的度量，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n) = O(f(n)),n为问题规模，f(n)为语句关于n所占存储空间函数。由于空间复杂度和时间复杂度的大O表示法相同，所以我们就简单介绍下。
常见的空间复杂度从低到高是：
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O(1)public static void intFun(int n) { var intValue = n; //... }
当算发的存储空间大小固定，和输入的规模没有直接的关系时，空间复杂度就记作O(1),就像上边这个方法，不管你是输入10，还是100，它占用的内存都是4字节。
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O(n)public static void arrayFun(int n) { var array = new int[n]; //... }
当算法分配的空间是一个集合或者数组时，并且它的大小和输入规模n成正比时，此时空间复杂度记为$O(n)$。
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$O(n^{2})$ public static void matrixFun(int n) { var matrix = new int[n][n]; //... }
当算法分配的空间是一个二维数组，并且它的第一维度和第二维度的大小都和输入规模n成正比时，此时空间复杂度记为$O(n^{2})$ 。
对于时间和空间的取舍，我们就要根据具体的业务实际情况而定，有的时候就需要牺牲时间来换空间，有的时候就需要牺牲空间来换时间，在现在这个计算机硬件性能飙升的时代，当然我们还是喜欢选择牺牲空间来换时间，毕竟内存还是有的，也不贵。并且可以提高效率给用户更好的体验。
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什么是时间复杂度？
时间复杂度就是对算法运行时间长短的度量，用大O表示为
T(n) = O(f(n))。常见的时间复杂度从低到高的顺序是： -
什么是空间复杂度？
空间复杂度是对算法运行时所占用的临时存储空间的度量，用大O标识为
S(n)= O(f(n))。常见的空间复杂度从低到高的顺序是：
- 《数据结构与算法分析》
- 《大话数据结构》
- 《漫画算法》