diff --git a/.github/assets/Overview.png b/.github/assets/Overview.png new file mode 100644 index 0000000..615fa3e Binary files /dev/null and b/.github/assets/Overview.png differ diff --git a/.github/assets/body.webp b/.github/assets/body.webp deleted file mode 100644 index ad1c8e4..0000000 Binary files a/.github/assets/body.webp and /dev/null differ diff --git a/.github/assets/header.webp b/.github/assets/header.webp deleted file mode 100644 index 60f55db..0000000 Binary files a/.github/assets/header.webp and /dev/null differ diff --git a/.github/assets/lighthouse-score.png b/.github/assets/lighthouse-score.png deleted file mode 100644 index dba165d..0000000 Binary files a/.github/assets/lighthouse-score.png and /dev/null differ diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 17107af..22639ce 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -73,8 +73,8 @@ node_modules/ # others .DS_Store -old_blog ignore.* bunfig.toml /src/content/blog/test.* /test/ +temp/ \ No newline at end of file diff --git a/.vscode/settings.json b/.vscode/settings.json new file mode 100644 index 0000000..1f00dc8 --- /dev/null +++ b/.vscode/settings.json @@ -0,0 +1,8 @@ +{ + "github.copilot.enable": { + "*": true, + "plaintext": false, + "markdown": true, + "scminput": false + } +} diff --git a/README-zh-CN.md b/README-zh-CN.md index 79ee597..6cf759e 100644 --- a/README-zh-CN.md +++ b/README-zh-CN.md @@ -2,104 +2,19 @@ [English](./README.md) | [简体中文](./README-zh-CN.md) -一个由 Astro 构建的轻便简洁、快速强大的博客主题。 +一个简洁的个人博客网站,使用 Astro 构建。 -[![GitHub deployments](https://img.shields.io/github/deployments/cworld1/astro-theme-pure/production?style=flat&logo=vercel&label=vercel)](https://astro-pure.js.org/) -[![NPM Version](https://img.shields.io/npm/v/astro-pure?logo=npm&style=flat)](https://www.npmjs.com/package/astro-pure) -[![GitHub Release](https://img.shields.io/github/v/release/cworld1/astro-theme-pure?include_prereleases&style=flat&label=template)](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/releases) -[![GitHub License](https://img.shields.io/github/license/cworld1/astro-theme-pure?style=flat)](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/blob/main/LICENSE) +[Link](https://linlucath.github.io/) -![image](./.github/assets/header.webp) -![image](./.github/assets/body.webp) +![image](./.github/assets/Overview.png) -> [!WARNING] -> 主题模板 v4.x 是基于Astro v5 以及独立主题 NPM 包方法。更稳定的版本是 [v3.1.4](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/tree/v3.1.4)。已知问题: -> -> 1. 无法在 Vercel 上打包站点地图和 pagefind 资源([需要上游修复](https://github.com/withastro/astro/issues/12663) & 临时修复) -> 2. Head 标签和自定义选项仍在开发中(已经暴露模板直接改) -> 3. Rehype 标题链接在 NPM 模块链接方法中无法按预期工作(用户无影响) - -## 简介 - -查看 [预览 →](https://astro-pure.js.org/) - -## :fire: 特性 - -- [x] :rocket: 快速高性能 -- [x] :star: 简单干净的设计 -- [x] :iphone: 响应式设计 -- [x] :mag: 使用 [pagefind](https://pagefind.app/) 构建的全站搜索 -- [x] :world_map: 站点地图和 RSS 订阅 -- [x] :spider_web: 友好的 SEO -- [x] :book: 目录(table of contents) -- [x] :framed_picture: 动态为文章生成可供三方媒体预览的分享图像 -- [x] :framed_picture: Mediumzoom 图像灯箱 - -## :package: 组件 - -主题包含了许多组件,不仅可以在主题中使用,还可以在其他 Astro 项目中使用。 - -> 对于其他 Astro 项目,需要 Tailwind CSS。 - -- 基础组件:`Aside`、`Tabs`、`Timeline`、`Steps`、`Spoiler`... -- 高级组件:`GithubCard`、`LinkPreview`、`Quote`、`QRCode`... - -## :white_check_mark: Lighthouse 分数 - -[![lighthouse-score](./.github/assets/lighthouse-score.png)](https://pagespeed.web.dev/analysis/https-cworld-top/o229zrt5o4?form_factor=mobile&hl=en) - -## 文档 - -[文档](https://astro-pure.js.org/docs) | [展示台](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/issues/10) - -## NPM 包 - -在 NPM 上查看:[astro-theme-pure](https://www.npmjs.com/package/astro-pure) - -## 本地开发 - -环境要求: - -- [Nodejs](https://nodejs.org/): 18.0.0+ - -克隆存储库: - -```shell -git clone https://github.com/cworld1/astro-theme-pure.git -cd astro-theme-pure -``` - -有用的命令: - -```shell -# install dependencies -bun install - -# start the dev server -bun dev - -# build the project -bun run build - -# preview (after the build) -bun preview - -# create a new post -bun new-post -``` - -## 贡献 - -为了花更多时间编写代码,减少在空白上纠结的时间,本项目使用代码约定和样式来鼓励一致性。风格一致的代码更容易(且更不容易出错)进行审查、维护和理解。 - -## 鸣谢 +## 致谢 +- [Astro Themes](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure) - [Astro Cactus](https://github.com/chrismwilliams/astro-theme-cactus) - [Astro Resume](https://github.com/srleom/astro-theme-resume) - [Starlight](https://github.com/withastro/starlight) -## 许可证 - -本项目基于 Apache 2.0 许可证。 +## 许可 -[![Star History Chart](https://api.star-history.com/svg?repos=cworld1/astro-theme-pure&type=Date)](https://star-history.com/#cworld1/astro-theme-pure&Date) +This project is licensed under the Apache 2.0 License. diff --git a/README.md b/README.md index fc2653a..6f906b5 100644 --- a/README.md +++ b/README.md @@ -2,98 +2,15 @@ [English](./README.md) | [简体中文](./README-zh-CN.md) -A simple, fast and powerful blog theme built by Astro. +A simple, fast and powerful blog website built by Astro. -[![GitHub deployments](https://img.shields.io/github/deployments/cworld1/astro-theme-pure/production?style=flat&logo=vercel&label=vercel)](https://astro-pure.js.org/) -[![NPM Version](https://img.shields.io/npm/v/astro-pure?logo=npm&style=flat)](https://www.npmjs.com/package/astro-pure) -[![GitHub Release](https://img.shields.io/github/v/release/cworld1/astro-theme-pure?include_prereleases&style=flat&label=template)](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/releases) -[![GitHub License](https://img.shields.io/github/license/cworld1/astro-theme-pure?style=flat)](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/blob/main/LICENSE) +[Link](https://linlucath.github.io/) -![image](./.github/assets/header.webp) -![image](./.github/assets/body.webp) - -> [!WARNING] -> Theme template v4.0.2^ is changing CSS engine to UnoCSS. Stabler experience is currently on [v4.0.1-beta](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/tree/v4.0.1-beta). Known issues: -> -> 1. UnoCSS adaption (serious) -> 2. Cannot pack sitemap and pagefind resources on Vercel ([need upstream fix](https://github.com/withastro/astro/issues/12663) & temp fixed) -> 3. Header & customize options is still under development (template exposed still) - -## Introduction - -Checkout [Demo Site →](https://astro-pure.js.org/) - -### :fire: Features - -- [x] :rocket: Fast & high performance -- [x] :star: Simple & clean design -- [x] :iphone: Responsive design -- [x] :mag: Full-site search built with [pagefind](https://pagefind.app/) -- [x] :world_map: Sitemap & RSS feed -- [x] :spider_web: SEO-friendly -- [x] :book: TOC (table of contents) -- [x] :framed_picture: Dynamic open graph generation for posts -- [x] :framed_picture: Mediumzoom lightbox for images - -### :package: Components - -Theme includes a lot of components, which can not only be used in the theme, but also in other astro projects. - -> For other astro projects, Tailwind CSS is required. - -- Basic components: `Aside`, `Tabs`, `Timeline`, `Steps`, `Spoiler`... -- Advanced components: `GithubCard`, `LinkPreview`, `Quote`, `QRCode`... - -### :white_check_mark: Lighthouse score - -[![lighthouse-score](./.github/assets/lighthouse-score.png)](https://pagespeed.web.dev/analysis/https-cworld-top/o229zrt5o4?form_factor=mobile&hl=en) - -## Documentation - -[Docs](https://astro-pure.js.org/docs) | [Showcase](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure/issues/10) - -## Package - -See [astro-theme-pure](https://www.npmjs.com/package/astro-pure) on npm. - -## Local development - -Environment requirements: - -- [Nodejs](https://nodejs.org/): 18.0.0+ - -Clone the repository: - -```shell -git clone https://github.com/cworld1/astro-theme-pure.git -cd astro-theme-pure -``` - -Useful commands: - -```shell -# install dependencies -bun install - -# start the dev server -bun dev - -# build the project -bun run build - -# preview (after the build) -bun preview - -# create a new post -bun new-post -``` - -## Contributions - -To spend more time coding and less time fiddling with whitespace, this project uses code conventions and styles to encourage consistency. Code with a consistent style is easier (and less error-prone!) to review, maintain, and understand. +![image](./.github/assets/Overview.png) ## Thanks +- [Astro Themes](https://github.com/cworld1/astro-theme-pure) - [Astro Cactus](https://github.com/chrismwilliams/astro-theme-cactus) - [Astro Resume](https://github.com/srleom/astro-theme-resume) - [Starlight](https://github.com/withastro/starlight) @@ -101,5 +18,3 @@ To spend more time coding and less time fiddling with whitespace, this project u ## License This project is licensed under the Apache 2.0 License. - -[![Star History Chart](https://api.star-history.com/svg?repos=cworld1/astro-theme-pure&type=Date)](https://star-history.com/#cworld1/astro-theme-pure&Date) diff --git a/astro.config.mjs b/astro.config.mjs index 58f6b02..6420134 100644 --- a/astro.config.mjs +++ b/astro.config.mjs @@ -1,7 +1,7 @@ // @ts-check import { rehypeHeadingIds } from '@astrojs/markdown-remark' -import vercel from '@astrojs/vercel' +// import vercel from '@astrojs/vercel' import vercelStatic from '@astrojs/vercel/static' import AstroPureIntegration from 'astro-pure' import { defineConfig } from 'astro/config' diff --git a/src/.vscode/settings.json b/src/.vscode/settings.json new file mode 100644 index 0000000..1f00dc8 --- /dev/null +++ b/src/.vscode/settings.json @@ -0,0 +1,8 @@ +{ + "github.copilot.enable": { + "*": true, + "plaintext": false, + "markdown": true, + "scminput": false + } +} diff --git a/src/assets/tools/ArcticonsGeogebra.svg b/src/assets/tools/ArcticonsGeogebra.svg new file mode 100644 index 0000000..662087e --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/ArcticonsGeogebra.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/Copilot.svg b/src/assets/tools/Copilot.svg new file mode 100644 index 0000000..8d4cc73 --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/Copilot.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/HarmonyOS.svg b/src/assets/tools/HarmonyOS.svg new file mode 100644 index 0000000..224d7e7 --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/HarmonyOS.svg @@ -0,0 +1 @@ + diff --git a/src/assets/tools/IntelliJ.svg b/src/assets/tools/IntelliJ.svg new file mode 100644 index 0000000..661e964 --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/IntelliJ.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/MaterialIconThemeMathematica.svg b/src/assets/tools/MaterialIconThemeMathematica.svg new file mode 100644 index 0000000..4557757 --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/MaterialIconThemeMathematica.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/ODF.svg b/src/assets/tools/ODF.svg new file mode 100644 index 0000000..35b593b --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/ODF.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/Obsidian.svg b/src/assets/tools/Obsidian.svg new file mode 100644 index 0000000..dcd727a --- /dev/null +++ b/src/assets/tools/Obsidian.svg @@ -0,0 +1 @@ + \ No newline at end of file diff --git a/src/assets/tools/thumbnail.png b/src/assets/tools/thumbnail.png new file mode 100644 index 0000000..dd94043 Binary files /dev/null and b/src/assets/tools/thumbnail.png differ diff --git a/src/content/blog/SAG/index.md b/src/content/blog/SAG/index.md new file mode 100644 index 0000000..000fd18 --- /dev/null +++ b/src/content/blog/SAG/index.md @@ -0,0 +1,170 @@ +--- +title: 空间解析几何速成 +publishDate: 2025-06-02 +description: '以数值计算解决空间问题' +tags: + - Math +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 将空间问题抽象为代数问题 + +--- + +## 向量与坐标 + +### 向量的混合积 + +定义: + +$$ +[\bar a \bar b \bar c] = ( + \bar a \times \bar b) \cdot \bar c +$$ + +几何意义: + +$$ +[\bar a \bar b \bar c] = \text{平行六面体的体积} +$$ + +### 向量的双重向量积 + +重要恒等式: + +$$ +\bar a \times (\bar b \times \bar c) = (\bar a \cdot \bar c) \bar b - (\bar a \cdot \bar b) \bar c +$$ + +## 平面与空间直线 + +### 平面方程 + +- 平面的点位式方程 (点 位移) +- 平面的点法式方程 (点 法向量) +- 平面的一般式方程 (系数) + +### 直线方程不同形式的转化 + +- 交线式 $\rightarrow$ 点向式 + 两个平面的法向量叉乘作为方向向量 + +### 公垂线方程求解 + +$\pi_1 : 过 M_1, 由 \bar v_1, \bar v_1 \times \bar v_2 张成的平面$ +$\pi_2 : 过 M_2, 由 \bar v_2, \bar v_1 \times \bar v_2 张成的平面$ +公垂线即为两平面的交线 + +### 公垂线长度求解 + +记$\bar {s_1 s_2} 为公垂线的方向向量$ + +$$ +h = M_1 M_2 \cdot \frac{\bar {s_1 s_2}}{|\bar {s_1 s_2}|} +$$ + +## 二次曲面 + +### 旋转曲面 + +- 设母线上任意一点 $M = (x_0, y_0, z_0)$ +- 转一圈 (纬圆) + - 垂直于轴: $(x, y, z)$在过 $M$ 且垂直于轴的平面上 + - 在圆上: $(x,y,z)到轴上一点 N 的距离与 (x_0, y_0, z_0)相同$ +- 消元: 通过母线方程只留下一个变元 + +### 直母线族 + +将二次曲面方程分解为 + +$$ +f_1(x,y) \times f_2(x,y) = g_1(z) \times g_2(z) +$$ + +则二次曲面的两个直母线族分别为 + +$$ +\begin{cases} +f_1(x,y) = u \cdot g_1(z) \\ +u \cdot f_2(x,y) = g_2(z) +\end{cases} +和 +\begin{cases} +f_1(x,y) = u \cdot g_2(z) \\ +u \cdot f_2(x,y) = g_1(z) +\end{cases} +$$ + +## 二次曲线的一般理论 + +### 二次曲线的标准方程 + +$$ +F(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 + 2a_{13}x + 2a_{23}y + a_{33} = 0 +$$ + +$$ +F_1(x, y) = a_{11}x + a_{12}y + a_{13} +$$ + +$$ +F_2(x, y) = a_{12}x + a_{22}y + a_{23} +$$ + +$$ +F_3(x, y) = a_{13}x + a_{23}y + a_{33} +$$ + +$$ +\phi(x, y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2 +$$ + +### 直线与二次曲线的交点 + +设直线方程为 + +$$ +x = x_0 + Xt, \quad y = y_0 + Yt +$$ + +代入二次曲线方程,得到关于 $t$ 的二次方程 + +$$ +(a_{11}X^2 + 2a_{12}XY + a_{22}Y^2)t^2 + 2[F_1(x_0, y_0)X + F_2(x_0, y_0)Y]t + F(x_0, y_0) = 0 +$$ + +### 二次曲线的渐进方向, 渐近线, 中心 + +- 渐进方向: $\phi(x, y) = 0$ 的解 +- 中心: $F_1(x, y) = 0$ 和 $F_2(x, y) = 0$ 的交点 +- 渐近线: 过中心且与渐进方向平行的直线 + +### 二次曲线的切线 + +- 奇异点: $F_1(x_0, y_0) = 0$ 且 $F_2(x_0, y_0) = 0$, 在曲线上 +- 正常点: 非奇异点, 在曲线上 +- 正常点的切线方程: $(x - x_0)F_1(x_0, y_0) + (y - y_0)F_2(x_0, y_0) = 0$ / 替换法则 + +### 二次曲线的直径 + +- 直径: 二次曲线一族平行弦的中点轨迹 +- 共轭弦: 直径对应的平行弦 +- 直径方程: 若二次曲线的一族平行弦的斜率为 $k$,则直径方程为 + $$ + F_1(x, y) + kF_2(x, y) = 0 \quad 或写作 \quad XF_1(x, y) + YF_2(x, y) = 0 + $$ + +### 二次曲线的主方向与主直径 + +- 主方向: 即 + $ +\left( +\begin{matrix} +a_{11} & a_{12} \\ +a_{12} & a_{22} +\end{matrix} +\right) +$ + 的特征向量 +- 主直径: 二次曲线的主方向对应的直径 diff --git a/src/content/blog/SAG/thumbnail.jpg b/src/content/blog/SAG/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..1e3bc72 Binary files /dev/null and b/src/content/blog/SAG/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/blog/algebra_2/index.md b/src/content/blog/algebra_2/index.md new file mode 100644 index 0000000..3d1a554 --- /dev/null +++ b/src/content/blog/algebra_2/index.md @@ -0,0 +1,383 @@ +--- +title: 高等代数 二 速通 +publishDate: 2025-06-29 +description: ' 以研究线性变换, 矩阵为主' +tags: + - Math +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 线性变换五花八门的性质 + +--- + +## 线性映射 + +> 线性映射: 线性空间之间保持线性运算的映射 + +### 线性映射的矩阵表示 + +给定 $V_1$ 的基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 和 $V_2$ 的基 $\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$ + +$$ +(\mathcal{A}\alpha_1, \mathcal{A}\alpha_2, \ldots, \mathcal{A}\alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m) \cdot A +$$ + +即 $\mathcal{A}(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m) \cdot A$ +则将 $A$ 称为线性映射 $\mathcal{A}$ 在基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 和 $\{\beta_1, \ldots, \beta_m\}$ 下的表示矩阵 + +### 线性映射的核空间, 像空间 + +> $$ +> \begin{align} +> Im(\mathcal{A}) &= \{\mathcal{A}(\alpha) | \alpha \in V_1\} \\ +> Ker(\mathcal{A}) &= \{\alpha \in V_1 | \mathcal{A}(\alpha) = 0\} +> \end{align} +> $$ + +### 线性同构 + +> $$ +> \text{线性同构} \Leftrightarrow \text{线性映射既是单射又是满射} +> $$ + +### 线性变换 + +> 线性变换: 在同一线性空间上的线性映射 + +## 特征值与特征向量 + +### 特征值的求解 + +求解关于 $\lambda$ 方程 + +$$ +\det(\lambda I - A) = 0 +$$ + +### 特征向量的求解 + +求解关于 $\alpha$ 方程 + +$$ +(\lambda_0 I - A)\alpha = 0 +$$ + +### 特征多项式 + +> 特征多项式: $\det(\lambda I - A)$ + +### 相似对角化 + +记 $A$ 的特征值为 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$,对应的一组线性无关的特征向量为 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$,则令 $P = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ + +$$ +AP = P\begin{pmatrix} +\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ +0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ +0 & 0 & \cdots & \lambda_n +\end{pmatrix} +$$ + +## 不变子空间 + +> $$ +> V \text{是} \mathcal{A} \text{的不变子空间} \Leftrightarrow \forall v \in V, \mathcal{A}(v) \in V +> \Leftrightarrow V \text{是} \mathcal{A} -子空间 +> $$ + +## 对偶空间 + +- 对偶空间 + $$ + \{\phi | \phi: V \to \mathbb{F}, \phi \text{是线性映射}\} + $$ +- 对偶基 + $$ + \{\phi_1, \ldots, \phi_n\} \text{是} V \text{的对偶基} \Leftrightarrow \phi_i(\alpha_j) = \delta_{ij} + $$ +- 二重对偶 + 将 $V_*$ 的元素视作一个新了列向量空间, 再应用一次对偶空间的定义 + +## 最小多项式 + +- 零化多项式 + $$ + f(\lambda) \text{使得} f(A) = \mathcal{O} + $$ +- 最小多项式 + 次数最小的首一零化多项式, 与特征多项式有着相同的根(重数不一定相同) + - 重数的计算: 使对应的核空间维数不再增加的最小次数 + +## 欧式空间 + +- 内积: (1) 对称 (2) 线性 (3) 正定 (与自己的内积) + +- Gram 矩阵 + + $$ + G = \begin{pmatrix} + \langle \alpha_1, \alpha_1 \rangle & + \langle \alpha_1, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_1, \alpha_n \rangle \\ + \langle \alpha_2, \alpha_1 \rangle & \langle \alpha_2, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_2, \alpha_n \rangle \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ + \langle \alpha_n, \alpha_1 \rangle & \langle \alpha_n, \alpha_2 \rangle & \cdots & \langle \alpha_n, \alpha_n \rangle + \end{pmatrix} = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)^T \cdot (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) + $$ + +- 度量矩阵 + 取 $ V $ 的一组基, 其 Gram 矩阵为度量矩阵 + + - 度量矩阵正定 + +- 利用度量矩阵计算内积 + + $$ + \langle \alpha, \beta \rangle = \alpha^T G \beta + $$ + +- 欧式空间上的同构: 保持内积的线性同构 + +## 正交 + +- 正交矩阵: 由一组正交*标准*基构成的矩阵, $A A^T = I$ + +### 正交变换: 保持内积的线性变换 + +$\Leftrightarrow$ 保持长度 + $\Leftrightarrow$ 保持某组一组正交标准基 + $\Leftrightarrow$ 在某组一组正交标准基下, 其矩阵为正交矩阵 + +- 第一类正交变换: $det(A) = 1$ +- 第二类正交变换: $det(A) = -1$ + +### 正交补 + +$$ +V^\perp = \{\alpha \in V | \forall v \in V, \langle \alpha, v \rangle = 0\} +$$ + +- 求解正交补: 将 $V$ 的一组基 $\{\alpha_1, \ldots, \alpha_n\}$ 代入内积定义, 求解线性方程组, 可以得到 $V^\perp$ 的一组基, 将其单位化便是 $V^\perp$ 的标准正交基 + +## 实对称矩阵的标准形 + +若 $A$ 是实对称矩阵, $\mathcal{A}$为对应的线性变换, 则 + +1. A 的特征值都是实数 +2. 互异特征值的特征向量正交 +3. 存在正交矩阵 $C$, 使得 $C^{-1}AC = C^TAC$ 是对角矩阵 +4. 存在 $V$ 的一组正交标准基, 使得 $\mathcal{A}$ 在该基下的矩阵为对角矩阵 + +### 使用正交矩阵对实对称矩阵进行对角化 + +- 求解特征值 +- 求解特征向量 +- 将特征向量正交单位化 +- 令 $C = (\alpha_{11}, \alpha_{12}, \ldots, \alpha_{1r_1}, \ldots \alpha_{kr_k})$, 则 $C^{-1}AC = C^TAC$ 是对角矩阵 + +### 实对称矩阵的正交对角化方法 + +- 将待变换矩阵 \(A\) 写在一条横线上方,单位阵 \(I\) 写在横线下方。 +- 横线下方矩阵作列变换,上方矩阵作相同列变换,再作对应行变换(下方矩阵2,3列互换,则上方矩阵2,3列互换,再2,3行互换)。 +- 设横线上方矩阵 \(A\) 变成对角阵 \(B\) 时,横线下方的 \(I\) 变成矩阵 \(C\), +- 一定有 \(C^TAC = B\)。 + +## 二次型 + +- 二次型: 数域 $\mathbb{F}$ 上的二次齐次多项式函数 + +- 二次型的矩阵表示: + 将对应的对称表示矩阵记为 $A$, 则二次型 $f$ 表示为 + + $$ + f = x^T A x = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j + $$ + +- 可逆线性替换: 记可逆矩阵 $C$, 则称 $X = CY$ 为可逆线性变换 + +- 标准形: 只含平方项的二次型 + + - 将二次型化为标准型的方式: 若有平方项, 进行配方, 否则先进行一次中值换元, 再进行配方 + +### 二次型规范形: + +- 实二次型规范形: 平方项系数为 $1$ 的标准形 +- 复二次型规范形: 平方项系数为 $\pm 1$ 的标准形 + +### 合同 + +若存在可逆矩阵 $C$, 使得 $C^T A C = B$, 则称 $A$ 和 $B$ 合同 + +- 自反性: $A$ 合同于 $A$ +- 对称性: $A$ 合同于 $B$ 当且仅当 $B$ 合同于 $A$ +- 传递性: $A$ 合同于 $B$, $B$ 合同于 $C$ $\Rightarrow$ $A$ 合同于 $C$ +- 相似 $\Rightarrow$ 合同 $\Rightarrow$ 相抵 +- 欧式空间在不同基下的度量矩阵合同 +- 合同 $\Leftrightarrow$ 有相同的正特征值个数, 负特征值个数, 零特征值个数 + +- 正定二次型: 值恒大于 $0$ 的二次型 + +### 正定矩阵: 正定二次型的矩阵表示 + +- 对于正定矩阵 $A$, 存在唯一的实对称矩阵 $B$, 使得 $B^2 = A$ + +- 正定矩阵的乘积不一定是正定矩阵, 因为可能不再对称 + +- 正定 $\Leftrightarrow$ 与 $I$ 合同 $\Leftrightarrow$ 存在正交矩阵 $C$, 使得 $C^T A C = D$, 其中 $D$ 是对角矩阵, 且对角线上的元素均为正数 $\Leftrightarrow$ 顺序主子式均大于 $0$ + +- 可逆实对称矩阵 $\Leftrightarrow$ 存在实矩阵 $C$, 使得 $AC + C^TA $ 为正定矩阵 + +> 可逆, 秩相关条件考虑等价为方程的解 + +### 双线性函数: 固定任一个变量时都是另一个变量的线性函数 + +- 左线性映射: 固定右变量时是左变量的线性映射 +- 右线性映射: 固定左变量时是右变量的线性映射 +- 非退化 $\Leftrightarrow$ 其在某组基下的度量矩阵表示可逆 +- 对称双线性函数在某组基下的度量矩阵表示为对角阵 +- 令 $A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$,反对称双线性函数在某组基下的度量矩阵表示为 + $$ + \begin{pmatrix} + A & 0 & & \\ + 0 & A & & \\ + & & \ddots & \\ + & & & 0 + \end{pmatrix} + $$ + +## $\lambda$ 矩阵 + +- 半单: 可对角化的复方阵 + +- 幂零指数为 $m$ $\rightarrow$ $A$ 的最小多项式为 $\lambda^m$ + +### $\lambda$ 矩阵 + +- $\lambda$ 矩阵: 所有元素为关于 $\lambda$ 的多项式的矩阵 + +### $\lambda$ 矩阵的相抵标准形 + +> 任一 $A(\lambda)$ 必可经 $\lambda$-初等变换相抵于如下形状的矩阵: +> +> $$ +> D(\lambda)=\begin{pmatrix} +> d_1(\lambda) & & & & \\ +> & d_2(\lambda) & & & O \\ +> & & \ddots & & \\ +> & & & d_r(\lambda) & \\ +> & O & & & O +> \end{pmatrix} +> $$ +> +> 其中 $d_i(\lambda)$ 都是首 1 多项式,且 $d_i(\lambda) \mid d_j(\lambda)$ 对所有的 $1 \leq i \leq j \leq r, r = R(A(\lambda))$ > $D(\lambda)$ 称为 $\lambda$-矩阵 $A(\lambda)$ 的**相抵标准形**。 + +- 矩阵 $A$, $B$ 相似 $\Leftrightarrow$ $\lambda I - A$ 和 $\lambda I - B$ 相抵 + +### $Frobenius$ 块 + +设 $A$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换,$V$ 上非零向量 $\alpha$ 生成一个循环不变 $A$-子空间 $I(\alpha)$,设 $A|_{I(\alpha)}$ 的最小多项式为 $f(\lambda) = \lambda^r + a_{r-1}\lambda^{r-1} + \cdots + a_1\lambda + a_0$ + +则: + +1. $\alpha, A\alpha, \cdots, A^{r-1}\alpha$ 是 $I(\alpha)$ 的一组基; +2. $A|_{I(\alpha)}$ 在基 $\alpha, A\alpha, \cdots, A^{r-1}\alpha$ 下的矩阵为 + $$ + A = \begin{pmatrix} + 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ + 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_1 \\ + 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_2 \\ + \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ + 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{r-1} + \end{pmatrix} + $$ + +$A$ 的 $1, 2, \cdots, r-1$ 阶行列式因子为 1。 + +$A|_{I(\alpha)}$ 的最小多项式 = $A|_{I(\alpha)}$ 的特征多项式 = $A$ 的 $r$ 阶行列式因子 + +$A$ 的最小多项式 = $A$ 的特征多项式 = $A$ 的 $r$ 阶行列式因子 = $f(\lambda)$ + +### $Frobenius$ 标准形 / 有理标准形 + +**定理2.** 设 $A \in F^{n \times n}$ 的不变因子组为 $1, \cdots, 1, d_1(\lambda), \cdots, d_k(\lambda)$,其中 + +$$d_i(\lambda) = \lambda^{r_i} + c_{i,r_i-1}\lambda^{r_i-1} + \cdots + c_{i,1}\lambda + c_0 \text{ 是 } r_i \text{ 次多项式}$$ +则 + +$A$ 相似于分块对角阵 $F = \begin{pmatrix} +F_1 & & \\ +& \ddots & \\ +& & F_k +\end{pmatrix}$, 其中 $F_i = \begin{pmatrix} +0 & 0 & \cdots & 0 & -c_{i,0} \\ +1 & 0 & \cdots & 0 & -c_{i,1} \\ +0 & 1 & \cdots & 0 & -c_{i,2} \\ +\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ +0 & 0 & \cdots & 1 & -c_{i,r_i-1} +\end{pmatrix}$. +这样的 $F$ 称为 $A$ 的 $Frobenius$ 标准形 / 有理标准形。 + +### 初等因子 + +设 $A$ 的相抵标准形为 $\text{diag}(1, \cdots 1, d_1(\lambda), \cdots, d_r(\lambda))$ + +将 $A$ 的不变因子均分解为首 $1$ 不可约多项式之乘积: + +$$d_1(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{11}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{12}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{1t}}$$ + +$$d_2(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{21}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{22}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{2t}}$$ + +$$\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots$$ + +$$d_r(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{e_{r1}} (\lambda - \lambda_2)^{e_{r2}} \cdots (\lambda - \lambda_t)^{e_{rt}}$$ + +$(\lambda - \lambda_j)^{e_{ij}} (e_{ij} > 0)$ 称为 $A$ 的初等因子 + +- **$A$ 的初等因子组**:$A$ 的全体初等因子所成集合 + +- $A$ 与 $B$ 在 $F$ 上相似 $\Leftrightarrow$ $A$ 与 $B$ 有相同的初等因子组。 + +### $Jordan$ 标准形 + +- $r$ 阶 $Jordan$ 块 $J_{a,r}$ 的初等因子组为 $(\lambda - a)^r$。 + +### 已知不变因子组求解标准型 + +**例1.** 已知 $A$ 的不变因子组为 $1, 1, 1, 1, \lambda - 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2 (\lambda - 2)^2$, + +求 $A$ 的 $Jordan$ 标准形。 + +**解:** $A$ 的初等因子组为:$\lambda - 1, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 1)^2, (\lambda - 2)^2$ + +因此其 $Jordan$ 标准形为: + +$$ +\begin{pmatrix} +1 & & & & & & \\ + & 1 & 1 & & & & \\ + & & 1 & & & & \\ + & & & 1 & 1 & & \\ + & & & & 1 & & \\ + & & & & & 2 & 1 \\ + & & & & & & 2 +\end{pmatrix} +$$ + +### 使用可逆矩阵将矩阵化为 $Jordan$ 标准形 + +1. 求解特征值 +2. 求解最小多项式, 画出 $Jordan$ 标准形 +3. 对于每个特征值, 求解对应的特征向量 +4. 获得一个对应的特征向量链, 以下方三个式子为例 + $$ + (A - 4I)v_3 = v_2 + $$ + $$ + (A - 4I)v_2 = v_1 + $$ + $$ + (A - 4I)v_1 = 0 + $$ +5. 排列各个特征值对应的特征向量链, 得到所求可逆矩阵 diff --git a/src/content/blog/algebra_2/thumbnail.jpg b/src/content/blog/algebra_2/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..50b5b58 Binary files /dev/null and b/src/content/blog/algebra_2/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/blog/calculus_2/index.md b/src/content/blog/calculus_2/index.md new file mode 100644 index 0000000..19f796a --- /dev/null +++ b/src/content/blog/calculus_2/index.md @@ -0,0 +1,482 @@ +--- +title: 数学分析 二 速通 +publishDate: 2025-05-07 +description: '将分析对象扩展至 Euclid 空间' +tags: + - Math +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 在现实生活中, 只有单一变元的情况终究少数, 各个变量之间错综复杂才是常态 + +--- + +## 不定积分 + +### 需要背诵的不定积分表 + +$$ +\begin{align*} +(1) & \quad \int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C \quad (a \neq -1) \\ +(2) & \quad \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \\ +(3) & \quad \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \\ +(4) & \quad \int \sin x \, dx = -\cos x + C \\ +(5) & \quad \int \cos x \, dx = \sin x + C \\ +(6) & \quad \int \tan x \, dx = -\ln |\cos x| + C \\ +(7) & \quad \int \cot x \, dx = \ln |\sin x| + C \\ +*(8) & \quad \int \sec x \, dx = \ln |\sec x + \tan x| + C \\ +*(9) & \quad \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C \\ +(10) & \quad \int \sec^2 x \, dx = \tan x + C \\ +(11) & \quad \int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \\ +(12) & \quad \int \frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C \\ +(13) & \quad \int \frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a} + C \\ +*(14) & \quad \int \frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a-x}{a+x} \right| + C \\ +*(15) & \quad \int \frac{dx}{a^2 - x^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{a+x}{a-x} \right| + C \\ +(16) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C \\ +(17) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \frac{x}{a} + C \\ +*(18) & \quad \int \frac{dx}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln |x + \sqrt{x^2 \pm a^2}| + C \\ +\end{align*} +$$ + +### 不定积分的基本方式 + +- 第一类换元法 (凑微分法) + +$$ +\begin{align*} +(1) & \quad \int x^2 \cdot \sqrt{x^3 + 1} \, dx \\ +(2) & \quad \int \frac{1}{e^x + 1} \, dx \\ +(3) & \quad \int \tan^3 x \, dx \\ +(4) & \quad \int \frac{1}{\sin^2 x + 2 \cos^2 x} \, dx \\ +\end{align*} +$$ + +- 第二类换元法 (变量代换法) + +$$ +\begin{align*} +(1) & \quad \int \frac{1}{(1 - x) \cdot \sqrt{1 - x^2}} \, dx \\ +(2) & \quad \int \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2 + 1}} \, dx \\ +(3) & \quad \int \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt[3]{x}} \, dx +\end{align*} +$$ + +- 分部积分法 (两类不同函数相乘) + +> 基本公式: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ + +$$ +\begin{align*} +(1) & \quad \int x^2 e^x \, dx \\ +(2) & \quad \int x^2 \cos x \, dx \\ +(3) & \quad \int e^{2x} \cos x \, dx +\end{align*} +$$ + +> "反对幂三指", 越靠后的函数积分越容易凑到微分上, 越容易积分 + +- 分式的不定积分 + + 1. 分母可因式分解: 裂项法 + 2. 分母不可因式分解, 分子零次: 配方法 + 3. 分母不可因式分解, 分子一次: 将分子凑成分母的导数 + 4. 分式为三角函数: 万能公式代换 + +> 技巧: 对于分母为多项式的, 尝试将分母化为单项式 + +## 定积分 + +### 利用定积分求数列极限 + +> $$ +> \text{将和式转为}\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx +> $$ + +$$ +(1) \quad \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2+i^2} +$$ + +### 变上限的定积分求导 + +> $$ +> \frac{d}{dx}\int_{a}^{f(x)} g(t) \, dt = g(f(x)) \cdot f'(x) +> $$ +> +> 更一般的情况: +> +> $$ +> \frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)} g(t) \, dt = g(v(x)) \cdot v'(x) - g(u(x)) \cdot u'(x) +> $$ + +### 华里氏公式 + +> $$ +> \begin{align*} +> & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \quad (n \text{ 为偶数}) \\ +> & \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot 1 \quad (n \text{ 为奇数}) \\ +> \end{align*} +> $$ + +### 定积分换元 + +> $$ +> \int_{g(t_1)}^{g(t_2)} f(x) \, dx = \int_{t_1}^{t_2} f(g(t)) \, dg(t) +> $$ + +### 定积分的求解 + +1. 利用奇偶性简化式子 +2. 如果是两类不同积分相乘 or 存在变限积分, 尝试分部积分法 +3. 如果是分式, 尝试裂项法或配方法 + +### 定积分的应用 + +- 计算图形的面积 + + 1. 尝试以 $x$ 或 $y$ 为自变量, 计算图形的面积 + 2. 尝试以 $\theta$ 为自变量, 计算图形的面积 + > $$ + > S = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2} r^2 \, d\theta + > $$ + +- 计算弧长 + + 1. $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + y'^2} \, dx$,其中 $l$ 的方程为直角坐标方程 $y = y(x)$,$a \leq x \leq b$ + 2. $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{x'^2 + y'^2} \, dx$,其中 $L$ 为参数方程 + $ + \begin{cases} + x = x(t) \\ + y = y(t) + \end{cases} + $ + $\alpha \leq t \leq \beta$ + 3. $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2(\theta) + r'(\theta)^2} \, d\theta$,其中 $l$ 为极坐标方程:$r = r(\theta)$,$\alpha \leq \theta \leq \beta$ + +- 求旋转体的侧面积 + + 4. $S_{\text{侧}} = \int_{a}^{b} 2\pi y(x) \sqrt{1 + y'^2} \, dx$ + 5. $S_{\text{侧}} = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y(t) \sqrt{x'^2 + y'^2} \, dt$,其中曲线为参数方程 + $ + \begin{cases} + x = x(t) \\ + y = y(t) + \end{cases} + $ + $\alpha \leq t \leq \beta$ + 6. $S_{\text{侧}} = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi r(\theta) \cdot \cos(\theta) \sqrt{r^2(\theta) + r'(\theta)^2} \, d\theta$,其中曲线为极坐标方程 $r = r(\theta)$ + +## 多元函数的微分学 + +### 多元函数求极限 + +0. 判断极限是否存在 (从不同路径趋近一下) +1. 直接代入法 +2. 利用恒等变形 +3. 整体代换 + 洛必达 +4. 无穷小替换 +5. 使用极坐标进行代换 + +$$ +\begin{align*} +(1) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{2 - \sqrt{xy+4}}{xy} \\ +(2) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2y}{x^4 + y^2} \\ +(3) & \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^3y}{x^4 + y^4} \\ +\end{align*} +$$ + +### 多元隐函数求偏导数 + +> 左右同时对对应未定元求偏导数 + +### 多元函数求极值 + +1. 求驻点 +2. 利用二阶偏导数判别法 + +> 判别式: +> +> $$ +> D = \begin{vmatrix} +> f_{xx} & f_{xy} \\ +> f_{yx} & f_{yy} +> \end{vmatrix} = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2 +> $$ +> +> $D$ 为正且 $f_{xx} > 0$ 时为极小值点;$D$ 为正且 $f_{xx} < 0$ 时为极大值点;$D$ 为负时为鞍点;$D = 0$ 时无法判别。 + +### 多元函数在约束条件下求极值 + +令约束条件为 $\phi(x,y) = 0$,所求极值为 $f(x,y)$,则只需求函数 $g(x,y, \lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \phi(x,y)$ 的驻点 + +## 二重积分的计算 + +$$ +\iint_D f(x,y) \, dx \, dy +$$ + +0. 画出积分区域 $D$ 的草图 + +### 非圆周相关区域下二重积分的计算 + +1. 定 $x$ 穿 $y$ 或定 $y$ 穿 $x$ , 转换为分步 两次定积分 + +> $$ +> \begin{align*} +> (1) & \quad \iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx \\ +> (2) & \quad \iint_D f(x,y) \, dx \, dy = \int_{c}^{d} \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy +> \end{align*} +> $$ + +### 利用三角换元求解二重积分 + +> 令 +> $ +\begin{cases} +x = r \cos \theta \\ +y = r \sin \theta +\end{cases} +$从而 $dx \, dy = r \, dr \, d\theta$, 其中系数由几何意义求出 + +## 三重积分的计算 + +$$ +\iiint_{\Omega} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz +$$ + +0. 画出积分区域 $\Omega$ 的草图 + +### 利用投影法 ("先一后二") 求二重积分 + +> 定 $xy$ 穿 $z$,转为对二重积分进行积分 + +### 利用平面截割法 ("先二后一") 求三重积分 + +> 定 $z$ 穿 $xy$,转为对三重积分进行积分 + +### 利用三角换元求三重积分 + +- 令 + $ +\begin{cases} +x = r \sin \phi \cos \theta \\ +y = r \sin \phi \sin \theta \\ +z = r \cos \phi +\end{cases} +$, 则 $dx \, dy \, dz = r^2 \sin \phi \, dr \, d\phi \, d\theta$ + +## 曲线积分 + +0. 画出曲线的草图 + +### 对弧长曲线积分 (第一类曲线积分) 的计算 + +$$ +\int_L f(x,y) \, ds +$$ + +1. 转为常规积分 + + > $$ + > \begin{align*} + > ds &= \sqrt{1 + y'(x)^2} \, dx \\ + > ds &= \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2} \, dt + > \end{align*} + > $$ + +2. 代入, 转换为单变量积分 + +### 对坐标的曲线积分 (第二类曲线积分) 的计算 + +$$ +\int_L P \, dx + Q \, dy +$$ + +> 即在对应投影平面上的积分 + +1. 若 $L$ 为直角坐标方程 $y = y(x)$,则 + > $$ + > \int_L P \, dx + Q \, dy = \int_{a}^{b} P(x,y(x)) \, dx + Q(x,y(x)) \cdot y'(x) \, dx + > $$ +2. 若 $L$ 为参数方程 + > $$ + > \int_L P \, dx + Q \, dy = \int_{\alpha}^{\beta} P(x(t),y(t)) \cdot x'(t)\, dt + Q(x(t),y(t)) \cdot y'(t) \, dt + > $$ + +### 格林公式 + +> 使用场景: 曲线为简单闭合曲线 + +$$ +\oint_L P \, dx + Q \, dy = \pm \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx \, dy +$$ + +其中 $D$ 为 $L$ 所围成的区域 + +> 一般来说, 逆时针方向为正, 顺时针方向为负 + +## 曲面积分 + +### 对面积的曲面积分 (第一类曲面积分) 的计算 + +$$ +\iint_S f(x,y,z) \, dS +$$ + +1. 转为常规积分 + > $$ + > dS = \sqrt{1 + \left( \frac{\partial z}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial z}{\partial y} \right)^2} \, dx \, dy + > $$ +2. 代入, 转换为双变量积分 + +### 对坐标的曲面积分 (第二类曲面积分) 的计算 + +$$ +\iint_{\sum} P \, dx + Q \, dy + R \, dz +$$ + +> $$ +> \iint_{\sum}R(x,y,z) \, dx \, dy = \pm \iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y)) ,dx \, dy +> $$ +> +> 坐标轴正方向 (前, 上, 右) 为正方向, 负方向 (后, 下, 左) 为负方向 + +### 高斯公式 + +> 使用场景: 曲面为简单闭合曲面 + +$$ +\oiint_{\sum} P \, dx\, dy + Q \, dy \, dz + R \, dz \, dx = \pm \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial R}{\partial y} + \frac{\partial Q}{\partial x} + \frac{\partial P}{\partial z} \right) \, dx \, dy \, dz +$$ + +其中 $\Omega$ 为 $\sum$ 所围成的区域 + +> 外侧为正, 内侧为负 + +## 期末考点 + +### 定积分 + +- 黎曼积分定义 + + 设 $f(x)$ 是定义在 $[a,b]$ 上的有界函数,在 $[a,b]$ 上任意取分点 $\{x_i\}_{i=0}^n$,作成一种划分 + + $$ + P: a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b + $$ + + 并任意取点 $\xi_i \in [x_{i-1}, x_i]$。记小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 的长度为 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}$,并令 $\lambda = \max_{1 \leq i \leq n}(\Delta x_i)$,若当 $\lambda \to 0$ 时,极限 + + $$ + \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i + $$ + + 存在,且极限值既与划分 $P$ 无关,又与对 $\xi_i$ 的取法无关,则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上 **Riemann 可积**,和式 + + $$ + S_n = \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \Delta x_i + $$ + + 称为 **Riemann 和**,其极限值 $I$ 称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的**定积分**,记为 + + $$ + I = \int_a^b f(x) \, dx + $$ + + 这里 $a$ 和 $b$ 分别被称为积分的下限和上限。 + +- 可积条件 + +> 有界函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上积分的充分必要条件是,对于任意分割 $P$,当 $\lambda = \max(\Delta x_i) \to 0$ 时,Darboux 大和与 Darboux 小和的极限相等,即成立 +> +> $$ +> \lim_{\lambda \to 0} \overline{S}(P) = L = l = \lim_{\lambda \to 0} \underline{S}(P) +> $$ + +- 积分线函数 + + 见 [定积分的应用](#定积分的应用) + +- 黎曼求和 + + 见 [利用定积分求数列极限](#利用定积分求数列极限) + +- 定积分的计算技巧 + + 见[定积分的求解](#定积分的求解), [华里氏公式](#华里氏公式) + +- 反常积分的敛散性判定 + + 放缩, 计算其定积分即可 + +### 多元函数微分学 + +- 可微的判定 + + 设函数 $z = f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 点的某个邻域上存在偏导数,并且偏导数在 $(x_0, y_0)$ 点连续,那么 $f$ 在 $(x_0, y_0)$ 点可微。 + +- 混合偏导相等判定 + + 如果函数 $z = f(x, y)$ 的两个混合偏导数 $f_{xy}$ 和 $f_{yx}$ 在点 $(x_0, y_0)$ 连续,那么等式 + + $$ + f_{xy}(x_0, y_0) = f_{yx}(x_0, y_0) + $$ + + 成立。 + +- Taylor 展开 + + **定理 12.3.3(Taylor 公式)** 设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的邻域 $U = O((x_0, y_0), r)$ 上具有 $k+1$ 阶连续偏导数,那么对于 $U$ 内每一点 $(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y)$ 都成立 + + $$ + \begin{align} + f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) &= f(x_0, y_0) + \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right) f(x_0, y_0) + \\ + &\quad \frac{1}{2!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^2 f(x_0, y_0) + \cdots + \\ + &\quad \frac{1}{k!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^k f(x_0, y_0) + R_k + \end{align} + $$ + + 其中 $R_k = \frac{1}{(k+1)!} \left( \Delta x \frac{\partial}{\partial x} + \Delta y \frac{\partial}{\partial y} \right)^{k+1} f(x_0 + \theta \Delta x, y_0 + \theta \Delta y)$,$(0 < \theta < 1)$ 称为 **Lagrange 余项**。 + +- 无条件极值 + + 见 [多元函数求极值](#多元函数求极值) + +- 条件极值 + + 见 [多元函数在约束条件下求极值](#多元函数在约束条件下求极值) + +### 多元函数积分学 + +- 二重积分的计算 + + 见 [二重积分的计算](#二重积分的计算) + +- 三重积分的计算 + + 见 [三重积分的计算](#三重积分的计算) + +- 曲线积分 + + 见 [曲线积分](#曲线积分) + +- 曲面积分 + + 见 [曲面积分](#曲面积分) + +- 积分与路径无关 + + 设 $D$ 为平面上的单连通区域,$P(x,y)$,$Q(x,y)$ 在 $D$ 上具有连续偏导数,则下面的四个命题等价: + + 1. 对于 $D$ 内的任意一条光滑(或分段光滑)闭曲线 $L$, + $$\oint_L P\,dx + Q\,dy = 0;$$ + + 2. 曲线积分 $\int_L P\,dx + Q\,dy$ 与路径无关; + + 3. 存在 $D$ 上的可微函数 $U(x,y)$,使得 + $$dU = P\,dx + Q\,dy,$$ + 即 $P\,dx + Q\,dy$ 为 $U(x,y)$ 的全微分,这时称 $U(x,y)$ 为1-形式 $P\,dx + Q\,dy$ 的**原函数**; + + 4. 在 $D$ 内成立等式 + $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.$$ diff --git a/src/content/blog/calculus_2/thumbnail.jpg b/src/content/blog/calculus_2/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..c6142b1 Binary files /dev/null and b/src/content/blog/calculus_2/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/blog/pintos_0/index.md b/src/content/blog/pintos_0/index.md new file mode 100644 index 0000000..9986933 --- /dev/null +++ b/src/content/blog/pintos_0/index.md @@ -0,0 +1,17 @@ +--- +title: Pintos project0 一个不太正常的操作系统 +publishDate: 2025-06-12 +description: '一个运行不了程序的操作系统, 该从何下手? ' +tags: + - CS +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 改哪里? 改什么? 怎么改? + +--- + +## 读文档 + +[文档](https://cs162.org/static/proj/proj-pregame/)自然是优先级最高的, 读一读, 跟着做一做 diff --git a/src/content/blog/pintos_0/thumbnail.jpg b/src/content/blog/pintos_0/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..bf6840b Binary files /dev/null and b/src/content/blog/pintos_0/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/blog/useful_tools/index.md b/src/content/blog/useful_tools/index.md new file mode 100644 index 0000000..2b44000 --- /dev/null +++ b/src/content/blog/useful_tools/index.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +title: 实用工具记录 +publishDate: 2025-05-27 +description: '记录一些使用之后觉得很好的工具' +tags: + - Daily +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 向这些工具的作者们致敬 + +--- + +## 日常学习 + +- [CSdiy](https://csdiy.wiki/) - Computer Science DIY,有着非常多的计算机科学自学资源 + + > 当不知道学什么的时候, 看看这个网站吧 + +- [Immersive Translate](https://immersivetranslate.com/zh-Hans/) - 一款非常好用的翻译插件, 支持翻译 YouTube 视频和网页内容等 + + > 语言不再成为学习的障碍 + +- [Linux](https://missing.csail.mit.edu/) - Linux 操作系统, 开源, 免费, 安全, 稳定 + + > 学习计算机科学的必备操作系统 + +- [WSL](https://docs.microsoft.com/zh-cn/windows/wsl/) - Windows Subsystem for Linux, 在 Windows 上运行 Linux 的工具 + + > 在 Windows 上使用 Linux 的好帮手. 兼容了许多 Windows 常用快捷键, 还能 DIY 背景图像, 字体等. ~颜值党狂喜~ + +- [wget](https://zh.wikipedia.org/wiki/Wget) - 一个命令行下载工具, 支持断点续传和递归下载 + + > 自由备份想要学习的网站 + +- [Git](https://git-scm.com/) - 版本控制工具, 支持分布式版本控制和协作开发 + + > 学习 Git 的一个很好的方式是自己搓一个 [Gitlet](https://sp21.datastructur.es/materials/proj/proj2/proj2) + +## 代码编写 + +- [GitHub Copilot](https://github.com/features/copilot) - GitHub 的 AI 编程插件, 对 API 查询, Code Review 等非常有帮助. 绝大多数主流 IDE 都有其插件. **学生可以免费使用** + + > 新时代的编程方式 + +- [JetBrains IDEs](https://www.jetbrains.com/) - JetBrains 的 IDE 系列, 包括 IntelliJ IDEA, PyCharm, DataGrip 等. **学生可以免费使用** + + > 新时代的编程环境 + +- [Visual Studio Code](https://code.visualstudio.com/) - 微软的开源文本编辑器, 支持多种编程语言和插件 + + > 有很多很多好用的插件 diff --git a/src/content/blog/useful_tools/thumbnail.jpg b/src/content/blog/useful_tools/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..82896fe Binary files /dev/null and b/src/content/blog/useful_tools/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/blog/3d-rendering/index.md b/src/content/example_blog/3d-rendering/index.md similarity index 100% rename from src/content/blog/3d-rendering/index.md rename to src/content/example_blog/3d-rendering/index.md diff --git a/src/content/blog/3d-rendering/nikola-arsov-still-life-interior-design-vray-3ds-max-05-930px.jpg b/src/content/example_blog/3d-rendering/nikola-arsov-still-life-interior-design-vray-3ds-max-05-930px.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/3d-rendering/nikola-arsov-still-life-interior-design-vray-3ds-max-05-930px.jpg rename to src/content/example_blog/3d-rendering/nikola-arsov-still-life-interior-design-vray-3ds-max-05-930px.jpg diff --git a/src/content/blog/3d-rendering/thanos-dd-single-image-004a.jpg b/src/content/example_blog/3d-rendering/thanos-dd-single-image-004a.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/3d-rendering/thanos-dd-single-image-004a.jpg rename to src/content/example_blog/3d-rendering/thanos-dd-single-image-004a.jpg diff --git a/src/content/blog/3d-rendering/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/3d-rendering/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/3d-rendering/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/3d-rendering/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/blog/customize/index.md b/src/content/example_blog/customize/index.md similarity index 100% rename from src/content/blog/customize/index.md rename to src/content/example_blog/customize/index.md diff --git a/src/content/blog/customize/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/customize/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/customize/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/customize/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/blog/improve-concentration/index.mdx b/src/content/example_blog/improve-concentration/index.mdx similarity index 100% rename from src/content/blog/improve-concentration/index.mdx rename to src/content/example_blog/improve-concentration/index.mdx diff --git a/src/content/blog/improve-concentration/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/improve-concentration/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/improve-concentration/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/improve-concentration/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/blog/markdown-zh/index.md b/src/content/example_blog/markdown-zh/index.md similarity index 100% rename from src/content/blog/markdown-zh/index.md rename to src/content/example_blog/markdown-zh/index.md diff --git a/src/content/blog/markdown-zh/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/markdown-zh/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/markdown-zh/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/markdown-zh/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/blog/markdown/index.md b/src/content/example_blog/markdown/index.md similarity index 100% rename from src/content/blog/markdown/index.md rename to src/content/example_blog/markdown/index.md diff --git a/src/content/blog/markdown/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/markdown/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/markdown/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/markdown/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/blog/music-journey/index.md b/src/content/example_blog/music-journey/index.md similarity index 100% rename from src/content/blog/music-journey/index.md rename to src/content/example_blog/music-journey/index.md diff --git a/src/content/blog/music-journey/thumbnail.jpg b/src/content/example_blog/music-journey/thumbnail.jpg similarity index 100% rename from src/content/blog/music-journey/thumbnail.jpg rename to src/content/example_blog/music-journey/thumbnail.jpg diff --git a/src/content/hided_blog/3D_painting/index.md b/src/content/hided_blog/3D_painting/index.md new file mode 100644 index 0000000..cc9273f --- /dev/null +++ b/src/content/hided_blog/3D_painting/index.md @@ -0,0 +1,47 @@ +--- +title: AI 3D 绘画 +publishDate: 2025-06-14 +description: '让 AI 绘画真正改变生活' +tags: + - CS + - Work + - AI +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> 让人们愿意付出的从来不是技术, 而是技术带来的幸福 + +--- + +## 前言 + +学完 CS 61A/B/C 后, 倍感茫然. + +- 操作系统, 数据库, 编译原理等课程还值得学吗? 在这个时代学习这些课程是否还有意义? +- 各式各样的新技术让人目不暇接, 做一些传统的开发工作是否有些无趣 + +> 创作 ...? + +在这个时代, 我们是否已经有了这种能力, 一个人创造出一部电影, 一部游戏, 一部动画? +传统的 AI 视频制作似乎缺少了对空间的感知, 我们似乎需要一个平台, 让 AI 理解空间, 理解三维世界. + +我想要一种技术, 让二维的图片变为三维的世界, 这样, 人人可以做手办, 人人可以做游戏, 人人可以做动画 ... + +## 准备 + +> 直接看论文似乎有点囫囵吞枣, 先学一学相关知识比较好 + +### + +### 计算机如何理解 3D ? + +在计算机图形学中, 3D 模型由一个个三角形拼接而成, 随着三角形的数量增加, 模型的精度也会提高. + +## 生成 + +### 输入 + +对于每一个 3D 模型, 从各个角度获得其图片 + +## 动起来 diff --git a/src/content/hided_blog/3D_painting/thumbnail.jpg b/src/content/hided_blog/3D_painting/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..c31f2d6 Binary files /dev/null and b/src/content/hided_blog/3D_painting/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/old_blog/Png2Svg/index.md b/src/content/old_blog/Png2Svg/index.md new file mode 100644 index 0000000..637030f --- /dev/null +++ b/src/content/old_blog/Png2Svg/index.md @@ -0,0 +1,53 @@ +--- +title: 'SVG 获取指北' +publishDate: 2025-05-08 +description: '获取 SVG 的各种方法' +tags: + - SVG + - Design + - Misc +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> SVG -- Scalable Vector Graphics (可缩放矢量图形) + +--- + +## 什么是 SVG + +SVG 是一种基于 XML 的矢量图形格式,广泛用于网页设计和图形设计。它允许创建可缩放的图形,这意味着无论图像的大小如何,质量都不会受到影响。 + +> 通俗的来说, SVG 就是一份**代码**, 描述了一个图像的信息 + +## 现成的 SVG + +想找一些现成的 SVG 图标或图形? 试试下面的网站: + +- [Icons](https://icones.js.org/) +- [SVG Repo](https://www.svgrepo.com/) +- [Flaticon](https://www.flaticon.com/) + +## 设计 SVG + +想要自己画? 试试下面的工具: + +- [Figma](https://www.figma.com/) +- [Adobe Illustrator](https://www.adobe.com/products/illustrator.html) + +## 图片转 SVG + +想要将图片转换为 SVG? 试试下面的工作流: + +1. 使用 [Upscayl](https://upscayl.org/) 提升图片质量 +2. 使用一些免费的工具将图片转换为 SVG, 比如 + [这个网站](https://onlineconvertfree.com/) +3. 使用 [SVG 微调工具](https://jakearchibald.github.io/svgomg/) + 对转化得到 SVG 进行结构优化 +4. 使用 [Inkscape](https://inkscape.org/) 进行一些小修小补 + +--- + +## Tips + +SVG 是一份 **_代码_**, 这意味着当你的 SVG 出现了一些问题时, 你可以直接打开 SVG 文件, 查看代码, 询问 AI diff --git a/src/content/old_blog/Png2Svg/thumbnail.jpg b/src/content/old_blog/Png2Svg/thumbnail.jpg new file mode 100644 index 0000000..7d6fa8a Binary files /dev/null and b/src/content/old_blog/Png2Svg/thumbnail.jpg differ diff --git a/src/content/old_blog/RSS_Intro/index.md b/src/content/old_blog/RSS_Intro/index.md new file mode 100644 index 0000000..3d398ee --- /dev/null +++ b/src/content/old_blog/RSS_Intro/index.md @@ -0,0 +1,1386 @@ +--- +title: 'RSS 介绍及使用' +publishDate: 2025-05-09 +description: '认识各式各样的大神们' +tags: + - RSS + - News +heroImage: { src: './thumbnail.jpg', color: '#B4C6DA' } +language: '中文' +--- + +> RSS -- Really Simple Syndication (真正简单的聚合) + +## 什么是 RSS + +RSS 是一种用于订阅网站内容更新的技术。它允许用户通过 RSS 阅读器接收来自不同网站的最新内容,而无需访问每个网站。 + +> 简单来说, RSS 是一个追踪网站更新的工具, 当网站更新时, 你可以及时获得提醒 + +## 不知道订阅什么网站? + +在文章最后列举了大量个人博客, 你可以在这些网站上找到你感兴趣的内容, 订阅他们的 RSS Feed + +## 太多了! + +下面列举了一些作者喜欢的博客 + +| RSS feed | Introduction | tags | +| -------- | ------------ | ---- | + +## 如何订阅呢? + +- RSS 阅读器: [Feedly](https://feedly.com/) +- RSS 获取: [RSSHub](https://chromewebstore.google.com/detail/rsshub-radar/kefjpfngnndepjbopdmoebkipbgkggaa) + +--- + +以下是一些笔主还没有时间阅读的博客, 来源: [Chinese Independent Blogs](https://github.com/timqian/chinese-independent-blogs/tree/master) + +| RSS feed | Introduction | tags | +| ------------------------------------------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------------------- | 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+ I'm Linlucath, a passionate developer and mathematics enthusiast. Currently pursuing a + mathematics degree at the University of Electronic Science and Technology of China (UESTC), + while complementing my education with online computer science courses. +

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+ I've completed the CS61A and CS61B courses from UC Berkeley's computer science curriculum and am + currently advancing through CS61C along with the WebLab specialization.

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My motto: Stay hungry, Stay foolish. 这里可以夹私货

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My motto: Fake it till make it. Make the most of every day