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\select@language {ngerman}
\select@language {ngerman}
\contentsline {chapter}{\numberline {0}Einf\IeC {\"u}hrung}{2}{chapter.0}
\contentsline {paragraph}{Achtung:}{3}{section*.5}
\contentsline {chapter}{\numberline {I}Grundlagen der Allgemeinen Topologie}{7}{chapter.1}
\contentsline {section}{\numberline {1}Erste Beispiele topologischer R\IeC {\"a}ume}{7}{section.1.1}
\contentsline {section}{\numberline {2}Topologische Grundbegriffe}{8}{section.1.2}
\contentsline {paragraph}{Mehr zu metrischen R\IeC {\"a}umen}{11}{shadedefinitions.1.7}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{12}{section*.17}
\contentsline {paragraph}{TODO:Exkurs zu "Randbildung (topologisch) und Ableitung (analytisch) sind dual zueinander"}{13}{section*.20}
\contentsline {section}{\numberline {3}Stetige Abbildungen}{13}{section.1.3}
\contentsline {section}{\numberline {4}Zusammenhang und Kompaktheit}{16}{section.1.4}
\contentsline {section}{\numberline {5}Trennungseigenschaften}{20}{section.1.5}
\contentsline {section}{\numberline {6}Abz\IeC {\"a}hlbarkeitsaxiome und lokale Kompaktheit}{22}{section.1.6}
\contentsline {chapter}{\numberline {II}Geometrische Beispiele und Konstruktionen topologischer R\IeC {\"a}ume}{24}{chapter.2}
\contentsline {section}{\numberline {1}Mannigfaltigkeiten}{24}{section.2.1}
\contentsline {paragraph}{Beispiele zu Mannigfaltigkeiten (Exkurs)}{24}{section*.44}
\contentsline {paragraph}{TODO: Richtig toller Exkurs zu Mannigfaltigkeiten}{26}{section*.45}
\contentsline {paragraph}{Folgerung}{26}{section*.46}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Differenzierbare Abbildungen}{27}{subsection.2.1.1}
\contentsline {paragraph}{ Spezielle Mannigfaltigkeiten: Untermannigfaltigkeiten topologischer R\IeC {\"a}ume: }{28}{Item.22}
\contentsline {paragraph}{Interpretation}{28}{section*.49}
\contentsline {section}{\numberline {2}Quotientenr\IeC {\"a}ume}{32}{section.2.2}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{34}{section*.51}
\contentsline {paragraph}{Eigenschaften der Quotiententopologie}{34}{section*.52}
\contentsline {paragraph}{Achtung:}{34}{section*.53}
\contentsline {paragraph}{TODO: Exkurs: Instabilit\IeC {\"a}t von Planetensystemen}{35}{section*.55}
\contentsline {section}{\numberline {3}Quotientenabbildungen}{36}{section.2.3}
\contentsline {paragraph}{Interpretation}{36}{section*.56}
\contentsline {paragraph}{Allgemeiner}{36}{section*.57}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{36}{section*.58}
\contentsline {section}{\numberline {4}Konstruktionen von Quotientenr\IeC {\"a}umen}{38}{section.2.4}
\contentsline {paragraph}{Andere Sichtweise:}{40}{section*.62}
\contentsline {paragraph}{TODO: Exkurs: Video von einer Kleinschen Flasche (Klein Bottle Adventures)}{42}{section*.67}
\contentsline {paragraph}{TODO: Exkurs: Homotopietheorie, Homologietheorie}{42}{section*.68}
\contentsline {chapter}{\numberline {III}Konzepte der Algebraischen Topologie}{43}{chapter.3}
\contentsline {section}{\numberline {1}Die Fundamentalgruppe}{43}{section.3.1}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{43}{section*.69}
\contentsline {paragraph}{TODO: Exkurs: Anwendungen von $C(X,Y)$ mit dieser Topologie: L\IeC {\"o}sen von DGL, DGL-Systemen usw.}{44}{section*.71}
\contentsline {paragraph}{TODO. Exkurs: Kobordismus von Mannigfaltigkeiten, Stringtheorie, \ldots }{49}{section*.73}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{50}{section*.74}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.1}Geschlossene Wege als Abbildungen $S^1 \rightarrow X$}{51}{subsection.3.1.1}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2}Erste Beispiele von Fundamentalgruppen}{52}{subsection.3.1.2}
\contentsline {paragraph}{Zwei Schritte zum Beweis von $\pi _1(S^n,N) = \{0\}:$}{53}{section*.79}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung (Lebesguelemma)}{54}{section*.80}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3}Induzierte Homomorphismen}{55}{subsection.3.1.3}
\contentsline {paragraph}{Folgerung}{55}{section*.81}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.4}Produkte}{56}{subsection.3.1.4}
\contentsline {section}{\numberline {2}\IeC {\"U}berlagerungen}{58}{section.3.2}
\contentsline {paragraph}{Motivation}{58}{section*.83}
\contentsline {paragraph}{Veranschaulichung}{58}{section*.84}
\contentsline {paragraph}{}{58}{section*.85}
\contentsline {paragraph}{}{59}{section*.86}
\contentsline {paragraph}{(\IeC {\"U})}{60}{section*.87}
\contentsline {paragraph}{Terminologie/Sprechweisen}{60}{section*.88}
\contentsline {paragraph}{Mini-Exkurs: Funktionentheorie, verzweigte \IeC {\"U}berlagerung}{62}{section*.90}
\contentsline {section}{\numberline {3}Liften von Abbildungen}{63}{section.3.3}
\contentsline {paragraph}{TODO: Exkurs: Jede Gruppe ist realisierbar als Fundamentalgruppe eines C-W-Komplexes. Dieser ist kompakt, falls es endlich viele Erzeuger/Zellen gibt. (Man kann R\IeC {\"a}ume aus Zellen "zusammenlegen", so ist z.B. die $S^2$ = Nullzelle + Zweizelle.)}{64}{shadetheorem.3.7}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}\IeC {\"U}berlagerungen und Fundamentalgruppe}{65}{subsection.3.3.1}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung}{66}{section*.93}
\contentsline {paragraph}{Andere Interpretation:}{68}{section*.94}
\contentsline {paragraph}{Erl\IeC {\"a}uterung}{69}{section*.95}
\contentsline {paragraph}{FAZIT}{74}{section*.96}
\contentsline {chapter}{\numberline {IV}Topologie und Geometrie von Fl\IeC {\"a}chen}{75}{chapter.4}
\contentsline {paragraph}{Einf\IeC {\"u}hrung}{75}{section*.97}
\contentsline {section}{\numberline {1}Topologie von Fl\IeC {\"a}chen}{76}{section.4.1}
\contentsline {paragraph}{Visualisierung:}{76}{section*.98}
\contentsline {paragraph}{Einfacher:}{77}{section*.99}
\contentsline {paragraph}{Systematisch:}{77}{section*.100}
\contentsline {paragraph}{TODO: kleiner Exkurs: Gruppentheorie mit Mannigfaltigkeiten, $S^2$ als "neutrales Element", Kobordismusring}{79}{section*.101}
\contentsline {paragraph}{Informationen}{81}{section*.102}
\contentsline {paragraph}{Beweisskizze (vgl. Massey f\IeC {\"u}r Ausf\IeC {\"u}hrlicheres; "A basic course in Algebraic Topology")}{81}{section*.103}
\contentsline {section}{\numberline {2}Die Geometrie von Fl\IeC {\"a}chen}{84}{section.4.2}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung:}{84}{section*.104}
\contentsline {paragraph}{}{85}{section*.105}
\contentsline {paragraph}{Motivation:}{89}{section*.106}
\contentsline {paragraph}{Exkurs: Kritische Punkte, Werbung f\IeC {\"u}r Proseminar und Seminar}{89}{section*.107}
\contentsline {paragraph}{Exkurs: Riemannsche Metrik, Differentialgeometrie}{90}{section*.108}
\contentsline {paragraph}{}{90}{shadedefinitions.4.11}
\contentsline {section}{\numberline {3}Isometrien (von Fl\IeC {\"a}chen)}{91}{section.4.3}
\contentsline {paragraph}{Exkurs: Roman: Fl\IeC {\"a}chenland (Flatland) - Die Memoiren eines alten Quadrats}{93}{section*.110}
\contentsline {subsection}{\numberline {3.1}Die zweite Fundamentalform}{93}{subsection.4.3.1}
\contentsline {paragraph}{Motivation}{93}{section*.111}
\contentsline {paragraph}{Bemerke:}{94}{section*.112}
\contentsline {paragraph}{Infos:}{97}{section*.113}
\contentsline {paragraph}{Exkurs: Hyperbolische Geometrie}{97}{section*.114}
\contentsline {paragraph}{Geometrische Motivation}{97}{section*.115}
\contentsline {section}{\numberline {4}Der Satz von Gau\IeC {\ss }-Bonnet}{100}{section.4.4}
\contentsline {paragraph}{Konvention:}{100}{section*.116}
\contentsline {subsection}{\numberline {4.1}Der Satz von Gau\IeC {\ss } Bonnet (Globale Version)}{102}{subsection.4.4.1}
\contentsline {paragraph}{Erinnerung:}{102}{section*.117}
\contentsline {paragraph}{Anwendungen von Gau\IeC {\ss }-Bonnet:}{106}{section*.118}
\contentsline {paragraph}{(TODO: Exkurs: Topologie von schwarzen L\IeC {\"o}chern, foucaultsches Pendel, \ldots )}{107}{section*.119}