docs(blog): added article on mathematical functions in R

qlAD · qlAD · commit abfaa7b42d04 · 2025-07-21T21:30:28.000+08:00
diff --git a/apps/gkBlog/src/pages/blog/mathematical-functions-in-r/index.mdx b/apps/gkBlog/src/pages/blog/mathematical-functions-in-r/index.mdx
@@ -0,0 +1,388 @@
+---
+title: R 语言中的数学函数
+description: R 提供了广泛的内置数学函数，方便进行各种数学运算、计算和分析。本文将介绍 R 中常用的数学函数及其应用，包括 round、max、sqrt、log、sin、crossprod 等
+date: "2025-07-21"
+lang: zh
+tags:
+  - R
+  - 数据分析
+  - 数学
+category: 笔记
+cover: https://cdn.qladgk.com/images/20250721134728901.png
+---
+
+import Image from "@/components/mdx/Image";
+
+<Image
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+
+## 取整函数
+
+R 提供了几个用于对小数进行取整的函数，这些函数包括 round 、 ceiling 、 floor 、 trunc 和 signif 函数
+
+### round 函数
+
+R 中最常见的取整函数就是 `round` 函数。它会把小数进行四舍五入为最接近的整数，如果小数部分等于 0.5，则取离它最近的偶数。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+round(x)
+
+# 输出 2  4  6  9 -2 -8 -11
+```
+
+这种取整方法称作半偶数舍入（Round Half to Even），也称为“银行家舍入”或“四舍、六入、五留双”
+
+比如十进制：
+
+```md
+0.5 --> 0
+1.5 --> 2
+2.5 --> 2
+3.5 --> 4
+```
+
+这种半偶数舍入的方法采用的是一种统计学上更为合理的取整方式，能够减少累积误差
+
+对比四舍五入和半偶数舍入的区别：
+
+| 数据 | 四舍五入 | 半偶数舍入 |
+| ---- | -------- | ---------- |
+| 0    | 0        | 0          |
+| 0.5  | 1        | 0          |
+| 1    | 1        | 1          |
+| 1.5  | 2        | 2          |
+| 2    | 2        | 2          |
+| 2.5  | 3        | 2          |
+| 3    | 3        | 3          |
+
+取总和分别为：10.5、12、10
+
+可看出半偶数舍入将一半向下舍入（前一个数字为偶数），一半向上舍入（前一个数字为奇数）来保持总和更稳定，因此舍入的效果大致抵消
+
+但是此函数主要用例是使用名为 digits 的参数将值取整到特定的小数位数，比如取整小数点后两位：`round(x, digits = 2)` 或者 `round(x, 2)`
+
+```R
+x <- c(2.153, 4.557, 5.665, 9.1255)
+round(x, 2)
+
+# 输出 2.15 4.56 5.66 9.13
+```
+
+可能你会疑问为什么 9.1255 为什么取整后是 9.13 而不是 9.12？这是因为刚才上文提到：**它会把小数进行四舍五入为最接近的整数，如果小数部分等于 0.5，则取离它最近的偶数。**
+
+所以当我们用 round(9.1255, 2) 时，如果舍入位恰好等于 0.5（即后面全是 0），则才会取离它最近的偶数，即才会触发银行家舍入
+
+而当前的舍入位是 0.0055，大于 0.005，因此会直接四舍五入到 9.13
+
+请注意，如果 digits 参数为负数，则会将数字舍入到小数点左侧的位数
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5, 5.1, 10, 15, -10.5, -10.51)
+round(x, digits = -1)
+
+# 输出 0   0   0  10  10  20 -10 -10
+```
+
+当 `digits = -1` 时，round() 把数值“按 10 位”取整，也就是保留到**十位**（个位及以下的数字全部变为 0）。  
+负号只表示方向，不影响舍入规则本身；规则仍然是：
+
+- 先看真正要被舍掉的那一位（个位）上的数字
+- 如果是 0–4 → 向下舍
+- 如果是 6–9 → 向上入
+- 如果恰好是 5 且后面全是 0 → “五留双”（取离它最近的偶数十位）
+
+逐项验证：
+
+| 原值   | 看个位数字 | 规则说明                   | 结果 |
+| ------ | ---------- | -------------------------- | ---- |
+| 2      | 2          | 个位 2 < 5 → 向下舍        | 0    |
+| 4.5    | 4          | 个位 4 < 5 → 向下舍        | 0    |
+| 5      | 5          | 个位 5 且后面全 0 → 五留双 | 0    |
+| 5.1    | 5          | 个位 5 后非 0（.1）→ 六入  | 10   |
+| 10     | 0          | 个位 0 < 5 → 向下舍        | 10   |
+| 15     | 5          | 个位 5 且后面全 0 → 五留双 | 20   |
+| –10.5  | 0          | 个位 0 < 5 → 向下舍        | –10  |
+| –10.51 | 0          | 个位 0 < 5 → 向下舍        | –10  |
+
+当 `digits = -k` 时，把数值按 $$10^k$$ 位取整即可。
+
+同理如下：
+
+```R
+round(15,-1) # 20
+round(15,-2) # 0
+round(55,-2) # 100
+```
+
+### floor 和 ceiling 函数
+
+`floor` 函数用于向下取整，即返回小于或等于给定值的最大整数。它不会进行四舍五入，而是直接向下取整到最接近的整数。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+floor(x)
+
+# 输出 2   4   5   9  -2  -9 -11
+```
+
+floor 的反函数是 ceiling ，它将值向上舍入为不小于该值本身的最小整数。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+ceiling(x)
+
+# 输出 2   5   6  10  -1  -8 -10
+```
+
+这两个函数与 round(x) 的半偶数舍入不同，它们没有“四舍六入五留双”的逻辑，而是无条件地向下或向上取整。
+
+它们的优势主要体现在业务语义简单、可预测、易实现。比如某些运营商不足一分钟按一分钟收费
+
+满足“绝不超发/绝不缺额”这类硬性业务约束，代价是单次和长期都可能出现系统性偏差。
+
+### trunc 函数
+
+`trunc` 函数用于截断小数部分，直接返回整数部分。它不会进行四舍五入，而是简单地去掉小数部分。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+trunc(x)
+
+# 输出 2   4   5   9  -1  -8 -10
+```
+
+trunc（truncate，截断）的核心优势只有一句话：速度最快、规则最简单、结果绝对可预测，且天然满足“只保留整数部分，绝不引入额外偏移”的需求。
+
+### signif 函数
+
+signif 函数用于将值舍入到指定的有效数字位数（默认为 6 位）。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+signif(x)
+
+# 输出 2.0000   4.5000   5.6534   9.1800  -1.5000  -8.3500 -10.7800
+```
+
+此函数还允许您使用 digits 参数指定所需的有效数字数。
+
+```R
+x <- c(2, 4.5, 5.6534, 9.18, -1.5, -8.35, -10.78)
+signif(x, digits = 3)
+
+# 输出 2.00   4.50   5.65   9.18  -1.50  -8.35 -10.80
+```
+
+至于这里你可能会疑惑 `signif(2)` 为什么显示的是 `2.0000` 而不是 `2.00000`。以及 `signif(-10.78)` 为什么显示的是 `-10.80` 而不是 `-10.8`。
+
+这是因为打印规则和计算规则不是一套东西，signif() 计算时的确会保留 6 位有效数字，但打印时会根据实际情况进行格式化。
+
+## 最值函数
+
+R 中最值函数有 max、min、pmax、pmin。
+
+### max 和 min 函数
+
+max 和 min 将分别返回单个向量的最大值和最小值，它只返回一个值。
+
+```R
+x <- c(45, 12, 12, 15, 61, 56)
+max(x)
+min(x)
+
+# 输出：61 12
+```
+
+但是，如果向量包含缺失值（ NA ），则该函数将返回 NA 。
+
+```R
+x <- c(45, 12, 12, NA, 15, 61, 56)
+max(x)
+
+# 输出：NA
+```
+
+如果您想避免这种情况，可以将函数的 na.rm 参数设置为 TRUE ，这样在获取最大值之前就会删除缺失值。
+
+```R
+x <- c(45, 12, 12, NA, 15, 61, 56)
+max(x, na.rm = TRUE)
+
+# 输出：61
+```
+
+### pmax 和 pmin 函数
+
+pmax 和 pmin 函数用于计算多个向量的逐元素最大值和最小值。它们可以接受多个向量作为参数，并返回一个新的向量，其中每个元素是对应位置上所有输入向量的最大值或最小值。
+
+```R
+x1 <- c(45, 12, 12, 15, 61, 56)
+x2 <- c(15, 35, 81, 23, 45, 24)
+x3 <- c(52, 12, 41, 35, 17, 16)
+
+pmax(x1, x2, x3)
+
+# 输出：52 35 81 35 61 56
+```
+
+返回的第一个值是 52，因为它是 45、15 和 52 之间的最大值；返回的第二个值是 35，因为它是 12、35 和 12 之间的最大值，以此类推。
+
+如果向量的长度不一致，pmax 和 pmin 函数会自动将短向量扩展到与最长向量的长度一致。
+
+```R
+x1 <- c(45, 12, 12, 15, 30, 56)
+x2 <- c(15, 35, 81)
+x3 <- c(52, 12)
+
+pmax(x1, x2, x3)
+
+# 输出：52 35 81 15 52 81
+```
+
+扩展的方式是循环补齐
+
+x2 补齐后：15 35 81 15 35 81
+
+x3 补齐后：52 12 52 12 52 12
+
+最后输出的 81 是在 12、81、52 中最大的值；35 是在 15、15、12 中的最大值；52 是在 30、35、52 中的最大值...
+
+这种“循环补齐 + 逐元素比较”的设计，优势可以一句话概括为：用最少的代码，让不同长度、成组比较的向量运算既简洁又符合向量化思维，同时保持与 R 其它运算一致的回收（recycling）语义。
+
+## 平方根
+
+一个数的平方根是指一个数乘以自身等于该数的数。例如，4 的平方根是 2，因为 $$2 * 2 = 4$$
+
+### sqrt 函数
+
+在 R 中，`sqrt` 函数用于计算一个数的平方根。例如：
+
+```R
+sqrt(4)
+
+# 输出 2
+```
+
+同时，还可以输入数字向量，因此该函数将返回该向量每个元素的平方根。
+
+```R
+sqrt(c(1, 4, 9))
+
+# 输出 1 2 3
+```
+
+如果想计算 N 次方根，可以使用 `^` 运算符来手动计算，比如 8 的三次根：
+
+```R
+8^(1/3)
+
+# 输出 2
+```
+
+## 指数和对数
+
+可以利用 R 提供的函数来计算对数和指数： log 函数用于计算自然对数，而 exp 函数用于计算指数。
+
+### log 函数
+
+log 函数用于计算自然对数，`exp(1)` 返回 e 的值（约等于 2.71828），`log(x)` 默认返回 x 的自然对数。
+
+```R
+log(1) # 输出 0
+log(exp(1)) # 输出 1
+```
+
+同时可以自定义底数，例如：
+
+```R
+log(9, 3) # 输出 9 的 3 的对数
+log(8, 2) # 输出 8 的 2 的对数
+
+# 输出 2 3
+```
+
+### exp 函数
+
+exp 函数用于计算 e 的幂次方，`exp(x)` 返回 e 的 x 次方。
+
+```R
+exp(10)
+exp(0)
+exp(-5)
+exp(4)
+
+# 输出 22026.47 1 0.006737947 54.59815
+```
+
+### plot 绘图函数
+
+plot 函数可以用来绘制函数图像，下面是绘制自然对数的 log 和 exp 函数的示例：
+
+```R
+plot(log, 0, 1, col = 4, main = "log(x)")
+plot(exp, -10, 10, col = 4, main = "exp(x)")
+```
+
+<Image
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+  alt="log(x)"
+  width={333}
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+/>
+
+<Image
+  src="https://cdn.qladgk.com/images/20250721210350292.png"
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+
+## 三角函数
+
+R 提供了几个计算三角函数的函数，例如 cos()、sin()、tan()、acos()、asin() 和 atan() 函数，用于计算正弦、余弦、正切、反余弦、反正弦和反正切。
+
+### cos、sin 和 tan 函数
+
+```R
+cos(pi/3) # 输出 0.5
+sin(pi/6) # 输出 0.5
+tan(pi/4) # 输出 1
+```
+
+可以使用 `plot` 函数绘制这些函数的图像：
+
+```R
+plot(cos, 0, 2 * pi, col = 4, main = "cos(x)")
+plot(sin, 0, 2 * pi, col = 4, main = "sin(x)")
+plot(tan, -2 * pi, 2 * pi, col = 4, main = "tan(x)")
+```
+
+### 反三角函数
+
+```R
+acos(0.5) # 输出 1.0472
+asin(0.5) # 输出 0.5236
+atan(1) # 输出 0.7854
+```
+
+可以使用 `plot` 函数绘制这些函数的图像：
+
+```R
+plot(acos, -1, 1, col = 4, main = "acos(x)")
+plot(asin, -1, 1, col = 4, main = "asin(x)")
+plot(atan, -10, 10, col = 4, main = "atan(x)")
+```
+
+## 矩阵运算
+
+R 中可以执行多种矩阵运算，包括：加法、减法、乘法、计算幂、秩、行列式、对角线、特征值和特征向量、转置以及使用不同方法分解矩阵
+
+由于篇幅太长，请期待下一篇文章
