From 6bebd5ab59206ff8d3da634a919eee23b2bbc096 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Helder Geovane Gomes de Lima Date: Sun, 3 Oct 2021 19:24:13 -0300 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Revis=C3=A3o=20gramatical=20do=20primeiro=20cap?= =?UTF-8?q?=C3=ADtulo?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex | 79 ++++++++++++++++----------------- 1 file changed, 38 insertions(+), 41 deletions(-) diff --git a/cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex b/cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex index 74d5e52..6665e0e 100644 --- a/cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex +++ b/cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex @@ -8,29 +8,27 @@ \chapter{Teoria de conjuntos} A notação $x \in A$ (lê-se ``$x$ pertence a $A$'') significa que $x$ é um elemento de $A$. A notação $x \notin A$ (lê-se ``$x$ não pertence a $A$'') significa que $x$ não é um elemento de $A$. -Dados os elementos $a, e, i, o, u$ indica-se com $\{a, e, i, o, u\}$ o conjunto que é formado por estes elementos. Assim, por exemplo, $V= \{a, e, i, o, u\}$ é o conjunto das vogais do alfabeto português, quando representamos um conjunto desta forma dizemos que estamos representando o conjunto por enumeração de seus elementos. - -Assim se denotarmos por $U$ o conjunto formado pelas letras do alfabeto português, como toda vogal é uma letra do alfabeto português, podemos representar o conjunto $V$ da seguinte forma: +Dados os elementos $a, e, i, o, u$ indica-se com $\{a, e, i, o, u\}$ o conjunto que é formado por estes elementos. Assim, por exemplo, $V= \{a, e, i, o, u\}$ é o conjunto das vogais do alfabeto português. Quando representamos um conjunto desta forma dizemos que estamos representando o conjunto por enumeração de seus elementos. Se denotarmos por $U$ o conjunto formado pelas letras do alfabeto português, e considerarmos que as vogais $a, e, i, o, u$ fazem parte deste alfabeto, podemos representar o conjunto $V$ na forma: \begin{equation} -V= \{x \in U \mid x \text{ é uma vogal}\} +V= \{x \in U \mid x \text{ é uma vogal}\}, \end{equation} -aqui $x$ representa um elemento qualquer do conjunto $U$. +em que $x$ representa um elemento qualquer do conjunto $U$. -Esta segunda forma que usamos para descrever o conjunto $V$ é uma forma usual de descrever conjuntos na matemática, perceba que nela começamos pensando em um conjunto ``grande'' $U$ (que chamamos de conjunto universo) e em uma propriedade $P$ bem particular que alguns elementos deste conjunto satisfaziam, e assim obtemos o conjunto $V$. +Esta segunda descrição do conjunto $V$ é uma forma usual de descrever conjuntos na matemática. Perceba que nela começamos pensando em um conjunto ``grande'' $U$ (que chamamos de conjunto universo) e em uma propriedade $P$, bem particular, que alguns elementos deste conjunto satisfazem, e assim obtemos o conjunto $V$. -Além de relacionar elementos com conjuntos podemos relacionar dois conjuntos, uma forma de relacionar dois conjuntos é através da relação de \textit{inclusão}, que é descrita da seguinte forma, dados dois conjuntos $M$ e $N$, diremos que $M$ está contido em $N$ se todo elemento de $M$ é também um elemento de $N$, neste caso escrevemos $M \subset N$. +Além de relacionar elementos com conjuntos podemos relacionar dois conjuntos. Uma forma de fazer isso é através da relação de \textit{inclusão}, que é descrita da seguinte forma: dados dois conjuntos $M$ e $N$, diremos que $M$ está contido em $N$ se todo elemento de $M$ é também um elemento de $N$. Neste caso, escrevemos $M \subset N$. -Note que em nosso exemplo anterior $V \subset U$, já que toda vogal é também uma letra do alfabeto português. Outro exemplo: como $a$ é um elemento de $V$. Dizer que $a \in V$ é equivalente a afirmar que $\{a\} \subset V$. +Note que em nosso exemplo anterior $V \subset U$, já que todas as vogais listadas também são letras do alfabeto português. Outro exemplo: como $a$ é um elemento de $V$, dizer que $a \in V$ é equivalente a afirmar que $\{a\} \subset V$. \vskip0.4cm -Considerando três conjuntos quaisquer $A$, $B$ e $C$, a relação de inclusão entre eles possui das seguintes propriedades: +Considerando três conjuntos quaisquer $A$, $B$ e $C$, a relação de inclusão entre eles possui as seguintes propriedades: \textit{Reflexividade:} para todo conjunto A, tem-se que $A \subset A$. -\textit{Anti-simetria:} se $A \subset B$ e $B \subset A$ então, $A= B$. +\textit{Anti-simetria:} se $A \subset B$ e $B \subset A$, então $A= B$. -\textit{Transitividade:} se $A \subset B$ e $B \subset C$ então, $A \subset C$. +\textit{Transitividade:} se $A \subset B$ e $B \subset C$, então $A \subset C$. \newpage @@ -41,19 +39,19 @@ \chapter{Teoria de conjuntos} \item Conjunto $A$ está contido no conjunto $B$: \destaque{A \subset B}. \item Conjunto $A$ contém o conjunto $B$: \destaque{A \supset B}. \item Conjunto $A$ é subconjunto próprio do conjunto $B$: \destaque{A \varsubsetneq B}. - \item O conjunto que não contém nenhum elemento será denotado por \destaque{\emptyset}= \{ \} = conjunto vazio. + \item O conjunto que não contém nenhum elemento será chamado de conjunto vazio e denotado por \destaque{\emptyset} ou \destaque{\{ \}}. \end{itemize} \vskip0.4cm \begin{exem} - Sejam $A= \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ e $B=\{ 2, 3, 4\}$. Então $1 \in A$, mas $1 \notin B$. Além disso, temos que $B \subset A \Rightarrow A \supset B$, pois todos os elementos de $B$ são também elementos de $A$. + Sejam $A= \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ e $B=\{ 2, 3, 4\}$. Então $1 \in A$, mas $1 \notin B$. Além disso, temos que $B \subset A$ (ou ainda, que $A \supset B$), pois todos os elementos de $B$ são também elementos de $A$. \end{exem} As relações entre conjuntos podem ser representadas através de diagramas de Venn-Euler (também conhecidos como diagramas de Venn), nos quais basicamente desenhamos um retângulo para representar o conjunto universo, dentro deste retângulo desenhamos um círculo para representar cada conjunto, e dentro de cada círculo escrevemos os elementos que pertencem ao conjunto correspondente. \begin{exem} - Consideremos o conjunto das vogais como sendo nosso conjunto universo, assim dentro dele podemos considerar os conjuntos $A= \{a,e, i\}$, e $B=\{a, o, u\}$ estes conjuntos serão representados através do diagrama de Venn-Euler da seguinte forma: + Consideremos o conjunto das vogais como sendo nosso conjunto universo. Dentro dele podemos considerar os conjuntos $A= \{a,e, i\}$, e $B=\{a, o, u\}$. Estes conjuntos serão representados através do seguinte diagrama de Venn-Euler: \begin{center} \begin{venndiagram2sets}[labelOnlyA={e i},labelOnlyB={o u},labelAB={a}] @@ -66,7 +64,7 @@ \chapter{Teoria de conjuntos} \section{Operações entre conjuntos} -Dados $A$ e $B$ conjuntos arbitrários dentro do conjunto universo $U$, definimos as seguintes operações entre estes conjuntos: +Dados conjuntos arbitrários $A$ e $B$ dentro do conjunto universo $U$, definimos as seguintes operações entre estes conjuntos: \begin{itemize} \item União:\index{Conjunto(s)!união de} $A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}.$ @@ -78,7 +76,6 @@ \section{Operações entre conjuntos} \end{center} \vskip0.4cm - \newpage \item Interseção:\index{Conjunto(s)!interseção de} $A \cap B=\{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}.$ @@ -89,7 +86,7 @@ \section{Operações entre conjuntos} \end{venndiagram2sets} \end{center} - \vskip0.4cm +\newpage \item Diferença:\index{Conjunto(s)!diferença de} @@ -147,7 +144,7 @@ \section{Operações entre conjuntos} \vskip0.4cm - \item Produto cartesiano:\index{Conjunto(s)!produto cartesiano de} Dados dois conjuntos $A$ e $B$ o produto cartesiano de $A$ por $B$ é o conjunto dos pares ordenados, cuja primeira entrada é um elemento de $A$ e a segunda coordenada é um elemento $B$. Este conjunto é denotado por: + \item Produto cartesiano:\index{Conjunto(s)!produto cartesiano de} Dados dois conjuntos $A$ e $B$, o produto cartesiano de $A$ por $B$ é o conjunto dos pares ordenados, cuja primeira entrada é um elemento de $A$ e a segunda coordenada é um elemento $B$. Este conjunto é denotado por: \begin{equation} A \times B= \{(a, b) \mid a \in A \text{ e } b \in B \} \ . \end{equation} @@ -211,23 +208,23 @@ \section{Operações entre conjuntos} \begin{figure}[H] \centering \fbox{\includegraphics[width=7cm]{./cap_conjuntos/figs/ProdCartConj}} - \caption{Produto cartesiano dos conjuntos $A$ e $B$} + \caption{Produto cartesiano dos conjuntos $A$ e $B$.} \end{figure} \end{exem} \section{Cardinalidade de conjuntos} - A \textbf{cardinalidade}\index{Conjunto(s)!cardinalidade de}\index{Conjunto(s)!número de elementos de} de um conjunto $A$ qualquer, é o número de elementos deste conjunto. Denotada por: $n(A)$, $|A|$ ou $\# A$. + A \textbf{cardinalidade}\index{Conjunto(s)!cardinalidade de}\index{Conjunto(s)!número de elementos de} de um conjunto $A$ qualquer é o número de elementos deste conjunto, e pode ser denotada por $n(A)$, $|A|$ ou $\# A$. Note que: $n(\emptyset)= \# \emptyset= 0$. - Dados dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer é importante observar que: + É importante observar que, dados quaisquer conjuntos $A$ e $B$: \vskip0.3cm \colorbox{azul}{ \begin{minipage}{0.9\linewidth} \begin{center} - A cardinalidade da união destes dois conjuntos é dada por: + A cardinalidade da união de $A$ e $B$ é dada por: \begin{equation} \#(A \cup B)= \# A + \# B - \#(A \cap B) . \end{equation} @@ -239,7 +236,7 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos} \section{Conjunto das partes} - Dado um conjunto $A$ o conjunto das partes de $A$ denotado por $\mathcal{P}(A)$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$, ou seja, + Dado um conjunto $A$, o conjunto das partes de $A$, denotado por $\mathcal{P}(A)$, é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$, ou seja, \begin{equation} \mathcal{P}(A)= \{X \mid X \text{ é um subconjunto de } A\} \ . \end{equation} @@ -251,41 +248,41 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos} \end{itemize} Portanto, $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ e $A \in \mathcal{P}(A)$. - \begin{exem} + \begin{exem}\label{ex:partes-abc} Se considerarmos o conjunto $A= \{a, b, c\}$, teremos pela definição acima que o conjuntos das partes de $A$ é: \begin{equation} \mathcal{P}(A)= \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} \ . \end{equation} \end{exem} - E como sabemos se este conjunto acima contém de fato todos os subconjuntos do conjunto $A$? Bom para conseguirmos verificar isso vamos precisar utilizar a seguinte propriedade do conjunto das partes. + E como sabemos se este conjunto acima contém, de fato, todos os subconjuntos do conjunto $A$? Podemos verificar isso utilizando a seguinte propriedade do conjunto das partes: \begin{prop} - Se o conjunto $A$ possui $n$ elementos, então $\mathcal{P}(A)$ possui $2^n$ elementos. Ou seja: + Se o conjunto $A$ tem $n$ elementos, então $\mathcal{P}(A)$ tem $2^n$ elementos. Ou seja: \begin{equation} \# A= n \ \ \Rightarrow \ \ \# \mathcal{P}(A)= 2^n \ . \end{equation} \end{prop} \begin{dem} - Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental da contagem\index{Princípio fundamental da contagem} para contar quantos subconjuntos um conjunto $A$ com $n$ elementos possui. + Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental da contagem\index{Princípio fundamental da contagem} para contar quantos subconjuntos um conjunto $A$ com $n$ elementos tem. - Para começar considere um subconjunto $B$ qualquer de $A$. Observe que para cada um dos $n$ elementos de $A$, só existem duas possibilidades: + Para começar, considere um subconjunto $B$ qualquer de $A$. Observe que para cada um dos $n$ elementos de $A$, só existem duas possibilidades: \begin{itemize} \item Ou o elemento pertence ao subconjunto $B$; \item Ou o elemento não pertence ao subconjunto $B$. \end{itemize} - Logo, pelo príncipio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto $B$ de + Logo, pelo princípio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto $B$ de \begin{equation} -\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}_{n-vezes}= 2^n +\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}_{n vezes}= 2^n \end{equation} maneiras diferentes. - E portanto, há $2^n$ subconjuntos de $A$ em $\mathcal{P}(A)$. + Portanto, há $2^n$ subconjuntos de $A$ em $\mathcal{P}(A)$. \end{dem} - Em nosso exemplo anterior temos que $\# A= 3$, logo aplicando esta propriedade obtemos que $\# \mathcal{P}(A)= 2^3= 8$, que é exatamente a quantidade de elementos que listamos no conjunto $\mathcal{P}(A)$, podemos com isso concluir que estes são todos os subconjuntos do conjunto $A$ que existem, portanto o conjunto $\mathcal{P}(A)$ está completo. + No \autoref{ex:partes-abc}, temos que $\# A= 3$. Logo, aplicando esta propriedade, obtemos que $\# \mathcal{P}(A)= 2^3= 8$, que é exatamente a quantidade de elementos que listamos no conjunto $\mathcal{P}(A)$. Podemos com isso concluir que estes são todos os subconjuntos do conjunto $A$ que existem, isto é, o conjunto $\mathcal{P}(A)$ está completo. @@ -309,22 +306,22 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos} \begin{prop} Sejam $A$, $B$ e $C$ conjunto arbitrários, temos que: \begin{itemize} - \item $\emptyset \subset A$, $\forall A$ + \item $\emptyset \subset A$ \item $A \cup \emptyset= A$ e $A \cap \emptyset= \emptyset$ \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup C) \cap (A \cup C)$ - \item $A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ (lei de DeMorgan) - \item $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$ (lei de DeMorgan) - \item $\bigcap_{\alpha \in J}(U_{\alpha} \cap Y) = (\bigcap_{\alpha \in J} U_{\alpha}) \cap Y$ + \item $A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ (lei de De Morgan) + \item $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$ (lei de De Morgan) + \item $\bigcap_{\alpha \in J}(A_{\alpha} \cap B) = (\bigcap_{\alpha \in J} A_{\alpha}) \cap B$ \begin{equation} -(U_1 \cap Y) \cap \cdots \cap (U_n \cap Y) = (U_1 \cap \cdots \cap U_n) \cap Y +(A_1 \cap B) \cap \cdots \cap (A_n \cap B) = (A_1 \cap \cdots \cap A_n) \cap B \end{equation} - \item $\bigcup_{\alpha \in J}(U_{\alpha} \cap Y) = (\bigcup_{\alpha \in J} U_{\alpha}) \cap Y$ + \item $\bigcup_{\alpha \in J}(A_{\alpha} \cap B) = (\bigcup_{\alpha \in J} A_{\alpha}) \cap B$ \begin{equation} -(U_1 \cap Y) \cup \cdots \cup (U_n \cap Y) = (U_1 \cup \cdots \cup U_n) \cap Y +(A_1 \cap B) \cup \cdots \cup (A_n \cap B) = (A_1 \cup \cdots \cup A_n) \cap B \end{equation} \item $(U \times V) \cap (A \times B) = (U \cap A) \times (V \cap B)$ @@ -341,8 +338,8 @@ \section{Exercícios} \construirExer \begin{exer} -O coordenador de esportes de um clube, fez uma reunião com $22$ atletas que representam o clube nas modalidades de Handebol e Basquete, para repassar algumas instruções sobre o campeonato no qual o clube estava inscrito. Ele aproveitou para distribuir os novos uniformes conforme a equipe na qual o atleta participa, foram entregues $14$ uniformes de Handebol e $12$ uniformes de Basquete. Quantos atletas fazem parte apenas da equipe de Handebol? +O coordenador de esportes de um clube fez uma reunião com $22$ atletas que representam o clube nas modalidades de Handebol e Basquete, para repassar algumas instruções sobre o campeonato no qual o clube estava inscrito. Ele aproveitou para distribuir os novos uniformes conforme a equipe da qual cada atleta participa. Foram entregues $14$ uniformes de Handebol e $12$ uniformes de Basquete. Qual é o número de atletas que fazem parte apenas da equipe de Handebol? \end{exer} \begin{resp} - $10$ atletas participam apenas da equipe de Handebol. + Há $10$ atletas que participam apenas da equipe de Handebol. \end{resp} \ No newline at end of file