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\chapter{Principio gauge local}
\label{cha:princ-gauge-local-1}
Hemos introducido ya todos los ingredientes necesarios para entender a nivel cualitativo el modelo estándar de las partículas elementales. Para permitir simetrías internas más generales que el simple cambio de fase es necesario usar siempre el hermítico conjugado, en lugar de sólo el conjugado. Con esta notación un conjuto de $f$ fermiones (izquierdos) que conservan localmente $n$ cargas, deben interaccionar a través de $a=n^2-1$ bosones gauge. Si además alguno de ellos es masivo, debemos introducir por lo menos un campo escalar. Un Lagrangiano para tal sistema debe tener la forma genérica
\begin{align}
\mathcal{L}=&i \psi^{\dagger}_f \overline{\sigma}^{\mu}\mathcal{D}_{\mu} \psi^f-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}^{a} F^{\mu\nu}_a \nonumber\\
&+\left( \mathcal{D}_{\mu}\phi \right)^{\dagger} \mathcal{D}^{\mu}\phi-\mu^2 \phi^{\dagger} \phi-\lambda \left(\phi^{\dagger} \phi \right) \nonumber\\
&+h^{fg} \left( \psi_f\psi_g \phi + \text{h.c} \right)
\end{align}
A continuación veremos cual es la forma explícita de la derivada covariante para cada una de las interacciones fundamentales.
\section{Transformaciones de simetría locales}
Cuando se habla de la función $\psi(x)$, $x$ representa el punto del
espacio tiempo en el cual deseamos conocer el valor de la función de
onda. Ya que los núneros complejos son, pues por eso, complejos, no
se pueden representar con una posición en una línea. En su lugar, hay
que representarlos por un punto en un espacio en dos dimensiones.
Además de la longitud de la flecha apuntando al número complejo también necesitamos un ángulo para especificar exactamente como dibujar la flecha apuntando al número complejo. El observable esta codificado dentro de la longitud de la flecha que representa el valor del función de onda compleja en ese punto del espacio-tiempo. Su ángulo es inobservable.
El número complejo $\psi(x)$ en la ecuación de Dirac es justo el número cuyo cuadrado es la probabilidad relativa de encontrar el objeto en ese punto, como hemos visto como consecuencia de la simetría asociada a que el ángulo es inobservable.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Ahora, supongamos que se decide hacer un cambio de fase de la función de onda de forma arbitraria en cada punto del espacio, osea en el ángulo, $\theta$, que el número complejo $\psi$ hace con respecto al eje real. Aquí hay un punto crucial: si el cambio de fase es \emph{global}, es decir si el cambio de fase asociado al ángulo $\theta$ es el mismo en todos los puntos del espacio, este cambio no destruirá el delicado balance entre la energía cinética y la energía potencial en la ecuación de Scrödinger.
Sin embargo, desde el punto de vista de la relatividad especial de Einstein, la necesidad de requerir que el sistema mecánico cuántico quede inalterado sólo por cambios globales de fase parece poco natural. Una vez se escoge la fase de la función de onda en un punto del espacio-tiempo, el requerimiento de la invarianza de fase global fija ésta en todos los puntos del espacio tiempo:
\begin{quote}
\small
As usually conceived however, this arbitrariness is subject to the following limitation: once one choose [the phase of the wave function] at one space--time point, one is then not free to make any choices at other space--time points.
It seems that it is not consistent with the localized field concept that underlies the usual physical theories. In the present paper we wish to explore the possibility of requiring all the interactions to be invariant under independent [change of phases] at all space-time points.
\end{quote}
\begin{flushright}
Yang-Mills, \emph{Physical Review}, 1954
\end{flushright}
\end{frame}
Un cambio de fase que dependa del punto del espacio-tiempo, $\theta(x)$, de otro lado, sería similar a lo que pasa en la teoría electromagnética cuando es expresada en términos de potenciales escalares y vectoriales. Ellos se pueden cambiar por derivadas de funciones arbitrarias de una forma tal que los campos eléctricos y magnéticos medidos permanecen invariantes. Como veremos, estas características están profundamente conectas con la conservación local de la carga eléctrica.
Desde un punto de vista más cuantitativo, debido a que la energía y la cantidad de movimiento del electrón aparecen en la fase de su función de onda
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\psi(x)\propto e^{i p\cdot x}=\exp(Et-\mathbf{p}\cdot \mathbf{x})\,,
\end{align}
entonces, un cambio de fase local
\begin{align}
\psi(x)\to \psi'(x)=\operatorname{e}^{{i\theta(x)}}\psi\,,
\end{align}
cambia la energía y la cantidad de movimiento del electrón. Esto hace necesario la existencia de un nuevo campo que compense esos cambios para garantizar su convervación entre el sistema completo del electrón y el nuevo campo.
\end{frame}
Históricamente primero se implemento la invarianza de Lorentz en Mecánica Cuántica cambiando el correspondiente Lagrangiano de Sch\"odinger por el de Dirac. Sin embargo, el Lagrangiano resultante es insuficiente pues tiene una invarianza de fase global que contradice los principios de la relativad especial. El Lagrangiano definitivo de la electrodinámica cuántica, que construiremos en detalle luego, incorpora además de la invarianza de Lorentz, la invarianza de fase local.
\section{Electrodinámica Cuántica}
\label{sec:electr-cuant}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Para hacer el Lagrangiano en ec.~\eqref{eq:115qftnew} invariante gauge local bajo $U(1)_Q$ establecemos el cambio de fase dependiente del espacio tiempo como
\begin{align}
\psi\to\psi'=\operatorname{e}^{iQ\, \theta(x)}\psi\nonumber\\
\bar{\psi}\to\bar{\psi}'=\bar{\psi}\operatorname{e}^{-iQ\,\theta(x)}\,,
\end{align}
donde $Q$ es el generador de carga eléctrica en unidades de la carga del electrón.
La derivada covariante se define de tal manera que la propia derivada covariante transforme de la misma forma que transforma el campo, es decir
\begin{align}
\mathcal{D}_{\mu}\psi\to \left( \mathcal{D}_{\mu}\psi \right)'=&\mathcal{D}_{\mu}'\psi' \nonumber\\
=&\operatorname{e}^{iQ\, \theta(x)}\mathcal{D}_{\mu}\psi\,,
\end{align}
La derivada covariante como tal, se define de tal forma que la derivada normal sufra una sustitución mínima, es decir, debemos introducir el campo gauge $A^\mu(x)$, tal que
\begin{equation}
\label{eq:202qft}
\partial_\mu\to\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu-ieQA_\mu\,,
\end{equation}
Para mayor generalidad de los resultados, definimos un elemento de $\operatorname{U}(1)_Q$ como
\begin{align}
U(\theta)=\operatorname{e}^{iQ\, \theta(x)}\,.
\end{align}
De este modo, la derivada covariante se puede definir como
\begin{align}
\mathcal{D}_\mu \psi\to\left(\mathcal{D}_\mu \psi\right)'=&U\left(\mathcal{D}_\mu \psi\right)\,.
\end{align}
Para encontrar las propiedades de la derivada covariante en este contexto general, necesitamos evaluar cual es la transformación de la derivada covariante como tal, es decir
\begin{align}
\label{eq:covargen}
\left(\mathcal{D}_\mu \psi\right)'= \mathcal{D}'_\mu \psi'=&U\left(\mathcal{D}_\mu \psi\right)\nonumber\\
\mathcal{D}'_\mu \left( U\psi \right)=&U\left(\mathcal{D}_\mu \psi\right)\,.
\end{align}
Para mantener la generalidad del resultado evitaremos usar la propiedad conmutativa del algún grupo particular. De modo que,
\begin{align}
\left( \partial_{\mu}-ieQ A'_{\mu} \right)\left(U\psi\right) =&U\partial_{\mu}\psi-ie UQA_{\mu}\psi \nonumber\\
\left( \partial_{\mu}U \right)\psi+U \partial_{\mu}\psi -ie QA'_{\mu}U\psi =&U\partial_{\mu}\psi-ie U QA_{\mu}\psi \nonumber\\
\left( \partial_{\mu}U \right)\psi -ie QA'_{\mu}U\psi =&-ie U QA_{\mu}\psi \nonumber\\
QA'_{\mu}U\psi =&- \frac{1}{-ie}\left( \partial_{\mu}U \right)\psi + U QA_{\mu}\psi \,.
\end{align}
A nivel de operadores
\begin{align}
\label{eq:u1gt}
QA'_{\mu}U =&\frac{1}{ie}\left( \partial_{\mu}U \right) + U QA_{\mu} \nonumber\\
QA'_{\mu} =& U QA_{\mu} U^{-1}-\frac{i}{e}\left( \partial_{\mu}U \right)U^{-1}\,.
\end{align}
% \begin{align}
% A'_{\mu} =& U A_{\mu} U^{-1}-\frac{i}{eQ}\left( \partial_{\mu}U \right)U^{-1}\,.
% \end{align}
% \begin{align}
% F^{\mu\nu}\to F^{\prime \mu\nu}=&\partial^{\mu} A^{\prime \nu}-\partial^{\nu} A^{\prime \mu} \nonumber\\
% =&\partial^{\mu} \left( UA^{\nu}U^{-1}\right)-\partial^{\nu}\left( U A^{\mu} U^{-1} \right)
% -\frac{i}{eQ}\partial^{\mu}\left[ \left( \partial^{\nu}U \right)U^{-1} \right]
% +\frac{i}{eQ}\partial^{\nu}\left[ \left( \partial^{\mu}U \right)U^{-1} \right]\,. \nonumber\\
% \end{align}
% \begin{align}
% =&\left(\partial^{\mu} U \right) A^{\nu}U^{-1}\partial^{\mu} + U\left(\partial^{\mu}A^{\nu}\right)U^{-1}+ UA^{\nu}\left(\partial^{\mu}U^{-1}\right)
% -\partial^{\nu}\left( U A^{\mu} U^{-1} \right)
% -\frac{i}{eQ}\partial^{\mu}\left[ \left( \partial^{\nu}U \right)U^{-1} \right]
% +\frac{i}{eQ}\partial^{\nu}\left[ \left( \partial^{\mu}U \right)U^{-1} \right]\,. \nonumber\\
% \end{align}
Usando la forma explítica de $U$ dada en la ec.~\eqref{eq:202qft}
\begin{align}
\partial_{\mu}U= \partial_{\mu} \operatorname{e}^{iQ\theta(x)}=iQ \left[ \partial_{\mu}\theta(x) \right]\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}
=iQ \left[ \partial_{\mu}\theta(x) \right]U\,,
\end{align}
teniendo en cuenta que $U U^{-1}=1$
\begin{align}
\label{eq:gnrlaggtr}
QA'_{\mu} =& U QA_{\mu} U^{-1}+\frac{Q}{e}\partial_{\mu}\theta(x) \,.
\end{align}
Está expresión es de validez general incluso para Grupos no Abelianos con la combinación de generadores y campos $QA_{\mu}$. En el caso particular de un Grupo Abeliano $U(1)$, tenemos simplemente que
\begin{align}
UQA_{\mu}U^{-1}=QA_{\mu}\,,
\end{align}
de modo que, cancelando el generador $Q$ a ambos lados de la igualdad
\begin{align}
\label{eq:radfielde}
A_{\mu}(x)\to A'_{\mu}(x)=&A_{\mu}(x)+\frac{1}{e}\partial_{\mu}\theta(x)\,.
\end{align}
Obtenemos entonces que el campo vectorial, $A_{\mu}(x)$, que realiza la sustitución mínima de la derivada total, debe ser un campo de radiación y de acuerdo al análisis del capítulo \ref{cha:campos-vectoriales}, debe corresponder al campo electromagnético.
Usando la ec.~\eqref{eq:radfielde} en la transformación de la derivada covariante, tenemos que
\begin{align}
\mathcal{D}_{\mu}\psi\to \left( \mathcal{D}_{\mu}\psi \right)'=& \mathcal{D}_{\mu}'\psi' \nonumber\\
=& \left( \partial_{\mu}-ieQA_{\mu}' \right)\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}\psi \nonumber\\
=& \left[ \partial_{\mu}-ieQA_{\mu}-iQ\partial_{\mu}\theta(x) \right]\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}\psi \nonumber\\
=& iQ \left[ \partial_{\mu}\theta(x) \right]\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}\psi+\left( \partial_{\mu}\psi \right)\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}
-ieQA_{\mu}\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}\psi
-iQ \left[ \partial_{\mu}\theta(x) \right]\operatorname{e}^{iQ\theta(x)} \nonumber\\
=&\left( \partial_{\mu}\psi \right)\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}
-ieQA_{\mu}\operatorname{e}^{iQ\theta(x)}\psi \nonumber\\
=& \operatorname{e}^{iQ\theta(x)} \left( \partial_{\mu} -ieQA_{\mu}\right)\psi \nonumber\\
=& \operatorname{e}^{iQ\theta(x)} \left( \mathcal{D}_{\mu}\psi \right)\,.
\end{align}
De modo que en efecto, la derivada covariante del campo transforma como el campo.
El Lagrangiano de Dirac invariante gauge local se ha obtienido reemplazando la derivada normal por la derivada covariante. Para el campo electrónico, con $Q=-1$
\begin{align}
\label{eq:fullqed}
\mathcal{L}=&\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu-m\right)\psi+\mathcal{L}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\right)\nonumber\\
=&\bar{\psi}\left[i\gamma^\mu\left(\partial_\mu-ieQA_\mu\right)-m\right]\psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\nonumber\\
=&i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi+e\bar{\psi}\gamma^\mu Q\psi A_\mu-m \bar{\psi} \psi-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,.
\end{align}
El generador de carga eléctrica $Q$ para el campo electrónico $\psi$ es $Q\psi=-\psi$, de modo que
\begin{align}
\mathcal{L}=&i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi -e\bar{\psi}\gamma^\mu \psi A_\mu-m\bar{\psi}\psi -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,.
\end{align}
Este Lagrangina da lugar a una Acción que define una teoría general (en el sentido que es invariante bajo transformaciones que dependen del espacio-tiempo) correspondiente a la electrodinámica cuántica (QED de sus siglas en ingles)
Si mantenemos en mente que $\mathcal{D}'_\mu U$ es todavía un operador, podemos a partir de la ec.~\eqref{eq:covargen},
tenemos que
\begin{align}
\mathcal{D}'_\mu U=&U\mathcal{D}_\mu \nonumber\\
\mathcal{D}'_\mu =&U\mathcal{D}_\mu U^{-1} \,.
\end{align}
Es decir, para comprobar esta identidad, debemos aplicar el nuevo operador sobre algún campo.
Retomando los resultados para las corrientes conservadas de la Sección~\ref{ref:cc}, aplicamos el segundo teorema de Noether, para una transformación $\psi\to \psi'= \operatorname{e}^{iq\theta(x)}\psi$, donde $q=\text{cte} $
\begin{align}
\label{eq:dpa}
\phi_{1}:& \psi\,,\qquad a_{1}=iq \psi \,,\qquad b_1=0\nonumber\\
\phi_{2}:& \psi^{*}\,,\qquad a_{2}=-iq\psi^{*}\,,\qquad b_2=0 \nonumber\\
\phi_{3}:& A^{\mu}\,,\qquad a_{3}=0\,,\qquad b_3=-\delta^{\mu}_{\nu}\,,
\end{align}
establezca el segundo teorema de Noether
\begin{align}
\sum_i \mathcal{E}_ia_i=&\sum_i \partial_{\mu} \left( \mathcal{E}_i b^{\mu}_i \right)\nonumber\\
\mathcal{E}_1a_1+\mathcal{E}_2a_2=&
\partial_{\mu} \left( \mathcal{E}_3 b^{\mu}_3 \right)\,.
\end{align}
Usando las ecuaciones de Euler-Lagranga para cada uno de los campos, tenemos
\begin{align}
\left\{
\partial_{\mu}\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
\right]-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\psi}
\right\} a_{1}
+
a_{2}\left\{\partial_{\mu}\cancel{\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \overline{\psi}\right)}\right]}- \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi}}\right\}
=\partial_{\mu}\left[\cancel{\partial_{\nu}\left[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})}\right]}-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}\right]\nonumber\\
\partial_{\mu}\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
\right] a_{1}
-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\psi}a_1
-a_2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi}}
=-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}\right)\,.
\end{align}
aplicando la regla de la cadena, % y usando la definición de $j^\mu$ dada en la ec.~\eqref{eq:thnfmunu0}
\begin{align}
\partial_{\mu}\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
a_{1}
\right]
-
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
\partial_{\mu}a_{1}
-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\psi}a_1
-a_2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi}}
=-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}\right)\,.
\end{align}
Para establecer el segundo teorema de Noether para la electrodinámica cuántica, debemos establecer la identidad general~\eqref{eq:identityth2}, que en este caso se reduce
\begin{align}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
\partial_{\mu}a_{1}
+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\psi}a_1
+a_2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi}} =0\,.
\end{align}
De hecho
\begin{align}
&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
\partial_{\mu}a_{1}
+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\psi}a_1
+a_2\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \overline{\psi}} \nonumber\\
=&i\overline{\psi}\gamma^{\mu}(iq\partial_{\mu} \psi)
-e\overline{\psi}\gamma^{\mu}(iq \psi)A_{\mu}
-m\overline{\psi}(iq \psi) \nonumber\\
&+\left( -iq\overline{\psi} \right) \left( i \gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi \right)
+\left( -iq\overline{\psi} \right)\left( -e \gamma^{\mu}\psi A_{\mu} \right)
+\left( -iq\overline{\psi} \right)\left( -m\psi \right) \nonumber\\
=&-q\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu} \psi+ q\overline{\psi} \gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi
-ieq\overline{\psi}\gamma^{\mu} \psi A_{\mu}+ieq \overline{\psi} \gamma^{\mu}\psi A_{\mu}
-iq m\overline{\psi}\psi +iqm\overline{\psi} \psi \nonumber\\
=&0\,,
\end{align}
de modo que
\begin{align}
\label{eq:idt2}
\partial_{\mu}\left[
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi\right)}
a_{1}
\right]
=-\partial_{\mu}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}\right)\,.
\end{align}
Tenemos entonces que la cuadricorriente para la QED es
\begin{align}
j^{\mu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi \right)}a_1=-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}}\,.
\end{align}
pero en un lugar de satisfacer la ecuación de identidad como en el caso de la simetría global en ec.~\eqref{eq:cuadriconj}, ahora $j^{\mu}$ debe ser satisfacer la identidad en la ec.~\eqref{eq:idt2}, asociada al segundo Teorema de Noether.
El cálculo general de la corriente a partir de la identidad~\eqref{eq:identityth2}, es
\begin{align}
j^\mu&=\sum_i\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \psi \right)}a_i \nonumber\\
&=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\psi\right)}a_1+a_2\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\bar{\psi}\right)} \nonumber\\
&=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\psi\right)}a_1\,.
\end{align}
Consistente con la demostración previa.
A partir del Lagrangiano en~\eqref{eq:fullqed}
\begin{align}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\psi\right)}=i\overline{\psi}\gamma^{\mu}\,,
\end{align}
usando el $a_1$ de la ec.~\eqref{eq:dpa}, tenemos que
\begin{align}
j^{\mu}=-e\overline{\psi}\gamma^{\mu} Q \psi\,,
\end{align}
que corresponde a la cuadri-corriente electromágnética conservada localmente de la electrodinámica cuántica.
Usando~\eqref{eq:fullqed} de nuevo
\begin{align}
\label{eq:jmu}
j^{\mu}=&-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\mu}} \nonumber\\
=&-e\overline{\psi}\gamma^{\mu} Q \psi\,.
\end{align}
De esta forma podemos reescribir la ec.~\eqref{eq:fullqed} cómo
\begin{align}
\mathcal{L}=&\mathcal{L}_{\text{Dirac}}+\mathcal{L}_{A_{\mu}}\,.
\end{align}
donde
\begin{align}
\mathcal{L}_{\text{Dirac}}=i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\mu\psi-m \bar{\psi} \psi\,,
\end{align}
y, tal cómo habíamos derivado en el Capítulo~\ref{cha:campos-vectoriales}, en la ec.~\eqref{eq:lagAmum}
\begin{align}
\mathcal{L}_{A_{\mu}}=
-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}-j^{\mu}A_\mu\,.
\end{align}
El segundo teorema de Noether para la QED es perfectamente consistente con el campo de radiación. Por ejemplo,
la identidad resultante
\begin{align}
\partial_{\mu} \partial_{\rho}\left[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \partial_{\rho} A_{\mu}\right)} \right]=0\,,
\end{align}
se puede interpretar como la necesidad de introducir el tensor antisimétrico
\begin{align}
F_{\mu\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left( \partial_{\nu} A_{\mu}\right)}\,,
\end{align}
tal que
\begin{align}
\partial_{\mu}\partial_{\nu}F^{\mu\nu}=0\,.
\end{align}
Para obtener una forma para $F_{\mu\nu}$, es conveniente imponer que la densidad Lagrangiana asociada sólo a las nuevas contribuciones de los campos $A_{\nu}$ y sus derivadas $\partial_{\mu}A_{\nu}$, denotada como $\mathcal{L}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\right)$,
%en la ec.
sean invariantes bajo la transformación gauge local del campo $A_{\mu}$ en \eqref{eq:tfgl}. Esto implíca que $\mathcal{L}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\right)$ solo puede depender de las derivadas de las campos, y por consiguiente $F^{\mu\nu}$ debe ser una combinación antisimétrica de las derivadas de los campos
\begin{align}
F_{\mu\nu}\equiv\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}\,.
\end{align}
Con esta definición, bajo la transformación \eqref{eq:tfgl}
\begin{align}
F_{\mu\nu}\to F_{\mu\nu}'=F_{\mu\nu}\,.
\end{align}
Por consiguiente, el único término posible que a la vez es invariante de Lorentz e invariante gauge local es
\begin{align}
\mathcal{L}\left( \partial_{\mu}A_{\nu}\right)=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\,.
\end{align}
\end{frame}
El Lagrangiano correspondiente a la interacción de un fermión y el
campo electromagnético corresponde al Lagrangiano de Dirac con la
derivada normal reemplzada por la derivada covariante, y el
correspondiente término cinético invariante gauge y de Lorentz
asociado al nuevo campo introducido en la derivada covariante:
$A^\mu$. Este campo es necesario para compensar los cambios en la
energía y momentum que sufre el electrón como consecuencia de imponer
la invarianza de la Acción bajo un cambio de fase local
\begin{equation}
\label{eq:201qft}
\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu-m\right)\psi -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu},
\end{equation}
y es invariante bajo transformaciones locales $U(1)_Q$. Desarrollando la expresión anterior, tenemos
\begin{align}
\mathcal{L}&=\bar{\psi}\left[i\gamma^\mu\left(\partial_\mu-ieQA_\mu\right)-m\right]\psi -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\nonumber\\
&=\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi+eQ\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.
\end{align}
Este Lagrangiano da lugar a la Acción de la teoría conocida como Electrodinámica Cuántica (QED de sus siglas en inglés). Para el Lagrangiano de un espinor Weyl izquierdo $\xi_{\alpha}$, el término de masa esta prohibido por la invarianza gaige, y cambiando $\overline{\psi}\gamma^{\mu}\to \xi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}$, siguiendo los mismos pasos llegaríamos a
\begin{align}
\mathcal{L}=&i\xi^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\mathcal{D}_\mu\xi -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} \nonumber\\
=&i\xi^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu\xi+eQ\xi^{\dagger}\overline{\sigma}^\mu\xi A_\mu -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.
\end{align}
Aplicando las ecuaciones de Euler-Lagrange para $\bar{\psi}$, tenemos
\begin{align}
(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi+eQ\gamma^\mu A_\mu\psi=0\nonumber\\
(i\gamma^\mu\partial_\mu-i^2eQ\gamma^\mu A_\mu-m)\psi=0\nonumber\\
[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ieQA_\mu)-m]\psi=0\nonumber\\
(i\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu-m)\psi=0.
\end{align}
Que corresponde a la ecuación de Dirac en presencia del campo electromagnético. Mientras que para el campo $A^\mu$, tenemos
\begin{align}
-\frac{1}{4}\partial_\mu\left[\frac{F^{\rho\eta}F_{\rho\eta}}{\partial\left(\partial_\mu A_\nu\right)}\right]-eQ\bar{\psi}\gamma^\rho\psi\frac{\partial A_\rho}{\partial A_\nu}&=0\nonumber\\
\partial_\mu F^{\mu\nu}&=-eQ\bar{\psi}\gamma^\nu\psi
\end{align}
Con la definción de corriente electromagnética generada por el fermión en la ec.~\eqref{eq:jmu}, tenemos
\begin{align}
\label{eq:222qft}
j^\mu=&-e\bar{\psi}\gamma^\mu Q\psi \nonumber\\
=&e\bar{\psi}\gamma^\mu\psi \,,
\end{align}
donde hemos interpretado a $Q$ como el operador de carga eléctrica con autovalor $-1$ para el electrón:
\begin{align}
Q\psi =-1\psi\,.
\end{align}
De nuevo, la aparición de la interacción electromagnética es una consecuencia de la invarianza gauge local.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
De esta manera podemos reescribir el Lagrangiano en términos de un Lagrangiano libre y otro de interacción
\begin{align}
\mathcal{L}=\mathcal{L}_{\text{free}}+\mathcal{L}_{\text{int}}\,,
\end{align}
\begin{align}
\mathcal{L}_{\text{free}}=i&\bar{\psi}\left(i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right)\psi-\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\nonumber\\
\mathcal{L}_{\text{int}}=&eQ\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu\,.
\end{align}
Para la QED sólo hay un término de interacción que es suficiente para explicar todos los fenoménos electromagnéticos y su interacción con la materia. Este esta representado por el diagrama de Feynman mostrado en la Figura \ref{fig:feynmanruleqed}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{feynmanruleqed} % in feynmanrules.svf as a Layer
\caption{Feynman rule for QED}
\label{fig:feynmanruleqed}
\end{figure}
\end{frame}
Para usar esta regla de Feynman debemos aclarar que línea fermiónica corresponde a partícula y cual a antipartícula.
Ver~\ref{fig:feynmanrulesqed}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{feynmanrulesqed} % in feynmanrules.svf as a Layer
\caption{Configurations of Feynman rule for QED. The defined positive energy particles (antiparticles) travel in the same (opposite) direction that time. }
\label{fig:feynmanrulesqed}
\end{figure}
\end{frame}
La repulsión electromagnética esta representada por la figura \ref{fig:qedrepulsion}. En la Figura (a) el primer electrón emite un fotón y se dispersa, mientras que el segundo absorbe el fotón y se dispersa en la dirección opuesta. En la Figura (b) el primer electón absorve el fotón emitido por el segundo electrón. Los dos diagrams se representa por uno único con el fotón en horizontal como se muestra en la Figura (c).
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.5]{qedrepulsion}
\caption{Electromagnetic repulsion. The diagrams (a) and (b) are summarized in the diagram (c)}
\label{fig:qedrepulsion}
\end{figure}
\end{frame}
La aniquilación de un par electrón positrón en un fotones tiene que ser consistente con la conservación de momentum. En general, el cudrimomentum del electron es
\begin{align}
p^\mu=&(E,\boldsymbol{p}),& \text{such that: } m^2=p_{\mu}p^{\mu}=& E^2-p^2\,.
\end{align}
mientras que para el fotón es
\begin{align}
p^\mu=&(E,\boldsymbol{p}),& \text{such that: } 0=p_{\mu}p^{\mu}=& E^2-p^2\,,
\end{align}
y por consiguiente
\begin{align}
E=|\boldsymbol{p}|\,.
\end{align}
Sin perdida de generalidad, cuando un electrón y su antipartícula, el positrón, sufren una colisión viajando en direcciones opuestas, podemos escoger el sistema de masa, tal que asignando los momentos iniciales como en la figura~\ref{fig:anihilation}
\begin{align}
\boldsymbol{p}_1-\boldsymbol{p}_{2}=0\,.
\end{align}
La conservación de la cantidad de movimiento garantiza entonces que
\begin{align}
\boldsymbol{p}'_1-\boldsymbol{p}'_{2}=0\,.
\end{align}
De este modo, si en el estado final hay un sólo fotón, necesariamente este tendría cuadrimomentum nulo, de aquí una Energía nula en clara violación de la conservación de energía. Por lo tanto, la aniquilación de un electrón y un positrón en radiación electrómagnética, debe dar lugar a aal menos dos fotones, como se muestra en la figura
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.8]{anihilation}
\caption{Momentum conservation force annihilation into two photons}
\label{fig:anihilation}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Cada nuevo vértice en un proceso contribuye con un factor $e^{2}$ pues el cálculo de las probabilidades en mecánica cuántica involucran un módulo cuadrado. La cantidad adimensional asociada es la constante de estructura fina
\begin{align}
\alpha=\frac{e^2}{4\pi}\approx \frac{1}{137}\,.
\end{align}
En el átomo de Hidrógeno, las interacciones electromagnética que mantienen el átomo ligado provienen de la emisión de un fotón por parte del electrón que es absorbido por el protón (y viceversa). Sin embargo, es también probable que el fotón sea reabsorbido por el propio electrón como se indica en la figura~\ref{fig:selfenergy}. Sin embargo, débido a los dos vérices adicionales, la probabilidad de que esto suceda está suprimida por un factor de $\mathcal{O}({\alpha}^{2})\sim 10^{-3}$. Coloquialmente, esto implicaría que por cada mil fotones que el electrón intercambia con el protón, el propio electrón reaborve uno de ellos. Esto genera un nivel hiperfino en el átomo de hidrógeno con consecuencias medibles experimentalmente.
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{oneloopqed}
\caption{Electron self-energy}
\label{fig:selfenergy}
\end{figure}
\end{frame}
Similarmente el fotón puede ``fluctuar con el vacío'', como se muestra la figura~\ref{fig:polarization}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.4]{polarization}
\caption{Vacuum polarization}
\label{fig:polarization}
\end{figure}
\end{frame}
\textbf{Ejercicio}:
Realize correcciones a un loop a la interacción entre dos electrones de la figura~\ref{fig:qedrepulsion}, incluyendo la demominada \emph{corrección al vérice}.
\section{Momento magnético del electrón}
La correspondiente a la ecuación de Euler-Lagrange para el campo $\overline{\psi}$,
%%%Establecer la ecuación
El Hamiltoniano para el campo electrónico completo en presencia de un campo electromagnética en la QED es
%%expresión para H
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
El límite no relativista de dicho Hamiltoniano es obtenido en la Apéndice~\ref{sec:limite-no-relat}. El resultado es
\begin{align}
\widehat{H}\psi
&=\left[\frac{1}{2m}(i\boldsymbol{\nabla}+q \mathbf{A})^2+q A_0-\left(\frac{q\boldsymbol{\sigma}}{2m}\right)\cdot\mathbf{B}\right]\psi\,.
\end{align}
\end{frame}
En ausencia del campo electromagn\'etico recupermos la Ecuaci\'on de Scrh\"onger para una part\'\i cula libre como era de esperarse. Sin el \'ultimo t\'ermino $({q\boldsymbol{\sigma}}/{2m})\cdot\mathbf{B}$, ser\'\i a el Hamiltoniano de Scr\"odinger para una part\'\i cula cargada en presencia de un campo electromagn\'etico. El t\'ermino adicional es interpretado como la energ\'\i a en un campo magn\'etico, de un momento magn\'etico intr\'\i nseco asociado con un part\'\i cula de Dirac.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Por ejemplo, un rayo de átomos de plata cuando es acelerado a través de un campo magnético y luego registrado en una pantalla, forma un patrón de dos manchas correspondiente a las dos posibilidades de espín del electrón de valencia de cada átomo de plata.
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Definimos entonces el momento magn\'etico intr\'\i nseco como ($q=-e$)
\begin{align}
\boldsymbol{\mu}_e&=-\frac{e\boldsymbol{\sigma}}{2m}\nonumber\\
&=-2\left(\frac{e}{2m}\right)\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\nonumber\\
&=-2\left(\frac{e\hbar}{2m}\right)\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\nonumber\\
&=-g_e\left(\frac{e\hbar}{2m}\right)\frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\nonumber\\
\end{align}
donde hemos recuperado el factor $\hbar$ y definido el \emph{factor--g} \cite{spin}, $g_e=2$. Se define el momento magn\'etico an\'omalo del electr\'on como
%See https://en.wikipedia.org/wiki/Anomalous_magnetic_dipole_moment
\begin{equation}
a_e=\frac{g_e-2}{2}
\end{equation}
de modo que $a_e=0$. Sin embargo experimentalmente $a_e\sim10^{-3}$
\begin{equation}
a_e=0.001\;159\;652\;1859(38)
\end{equation}
\end{frame}
Despu\'es de la segunda cuantizaci\'on, se pueden realizar correcciones perturbativas al valor calculado anteriormente de $g_e$. Dicho c\'alculo ha sido realizado a cuarto orden en teor\'\i a de perturbaciones coincidiendo con el valor experimental hasta la d\'ecima cifra significativa. Este tipo de comprobaciones entre teor\'\i a y experimento ha llevado a considerar la Electrodin\'amica Cu\'antica (QCD) como la mejor teor\'\i a que se halla construido para describir la naturaleza.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
Algunas de las cientos de miles de contribuciones, se ilustran en la figura~\ref{fig:5loop}, tomada de la referencia~\cite{Aoyama:2019ryr}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics{5loop}
\caption{Some five-loop correction from~\cite{Aoyama:2019ryr}}
\label{fig:5loop}
\end{figure}
\end{frame}
A un loop el cálculo arroja un resultado aproximado de $\alpha/(2\pi)\approx 0.00116$, el cual explica las primeras cifras significativas.
\subsection{Paridad}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi A_{\mu}=&
\xi^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\xi A_{\mu}+\eta\sigma^{\mu}\eta^{\dagger} A_{\mu}\nonumber\\
=&(e_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}e_L A_{\mu}+(e_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}e_{R} A_{\mu}\,,
\end{align}
de modo que el fotón se acopla por igual a los campos izquierdos que a los derechos. El Lagrangiano de la QED en términos de espinores de Weyl es:
\begin{align}
\mathcal{L}=&i(e_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}\partial_{\mu}e_L A_{\mu}+i(e_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}\partial_{\mu}e_{R}
-m \left[ \left( e_R \right)^\dagger e_L+\left( e_L \right)^{\dagger}e_R \right] -\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}\nonumber\\
&+eQ \left[(e_L)^{\dagger}\overline{\sigma}^{\mu}e_L+(e_R)^{\dagger}\sigma^{\mu}e_{R} \right] A_{\mu}
\end{align}
Se dice entonces que la corriente electromagnética conserva paridad, es decir es invariante bajo el cambio $L\leftrightarrow R$.
\end{frame}
Una demostración de esta invarianza se muestra en el Apéndice \ref{sec:ferm-quir-de}
%Intentando obtener el operador Hamiltoniano y demás:
% \begin{align}
% T^\mu_\nu=&\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\psi\right)}\partial_\nu\psi+\partial_\nu\bar{\psi}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_\mu\bar{\psi}\right)}-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu\nonumber\\
% =&i\bar{\psi}\gamma^\mu\partial_\nu\psi-\mathcal{L}\delta^\mu_\nu\,.
% \end{align}
% La expresión para $T^0_i$ es la misma que antes
% \begin{align}
% T^0_0=i\psi^\dagger\partial_0\psi-i\psi^\dagger\partial_0\psi-i\psi^\dagger\gamma^0\gamma^i\partial_i\psi+m\psi^\dagger\psi-eQ\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_\mu +\tfrac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}.
% \end{align}
%En adelante escribiremos el término sólo para el fermión izquierdo $\psi$ (y el correspondiente antifermion derecho $\psi^{\dagger}$)
\section{Cromodinámica Cuántica}
\label{sec:inter-fuert}
Como se ilustra en la figura~\ref{fig:crosssection}, en cromodinámica cuántica existe la posibilidad que un electrón y un positrón se aniquilen mutuamente en pura energía llevada por un fotón virtual el cual se debe materializar en un par partícula-antipartícula de acuerdo a la energía disponible. Este es el principio de funcionamiento de los aceleradores electrón-positrón donde se generan dos rayos muy energéticos de electrones y positrones los cuales se hacen colisionar en un punto alrededor de un detector de partículas. El detector esta diseñado para reconstruir los productos de la aniquilación del par electrón positrón. Por ejemplo, si el par electrón-positrón colisiona con una energía superior a $\SI{212}{MeV}$, existe la probabilidad que se cree un par muón ($\mu^-$) antimuón $\mu^{+}$. En teoría cuántica de campos de campos a dicho proceso se le llama sección eficaz y se denota como
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\sigma(e^+\;e^-\rightarrow \mu^+\;\mu^-)\propto Q_e^2 Q_\mu^2\,.
\end{align}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.6]{crosssection}
\caption{Diagrama de Feynman para la aniquilación electrón-positron y la subsecuente creación de un par partícula-antipartícula de acuerdo a la energía disponible}
\label{fig:crosssection}
\end{figure}
\end{frame}
Aunque el cálculo de dicho proceso está fuera del alcance de una descripción clásica de los campos, dicha probabilidad debe ser proporcional al cuadrado de la carga eléctrica en cada vértice, en este caso $Q_e^2Q_{\mu}^2=1$, en unidades de la carga del electrón. El conjunto fermiones elementales que interaccionan sólo de forma electrodébil se conoce como \emph{leptones} y esta especificado en la tabla~\ref{tab:leptons}
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.85]{leptons}
\caption{Leptones de: \url{http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_particles}}
\label{tab:leptons}
\end{figure}
\end{frame}
Con el avance de la tecnología de aceleradores, en la década de los 50 y 60 del siglo pasado se logró establecer la existencia de un zoológico de nuevas partículas, la mayoría de ellas correspondientes a \emph{hadrónes} en el proceso:
\begin{align}
\sigma(e^+\;e^-\rightarrow \text{hadrónes})\,.
\end{align}
Los protones, neutrones, piones, kaones y demás hadrones, son partículas compuestas de constituyentes elementales llamados quarks. Por ejemplo los protones, neutrones y piones están constituidos de quarks up y down. Los hadrones están dividos en bariones, $B$, constituidos de tres quarks, y los mesones, $M$, de dos. Para satisfacer el principio de exclusión de Pauli, y justificar el confinamiento de los hadrones, se requiere que cada quark contenga $N_c$ cargas diferentes, llamadas cargas de color, de manera que la carga de color de un hadrón sea cero, de forma similar a como la carga eléctrica de un átomo es cero a pesar de que sus constituyentes poseen carga eléctrica. Muchos resultados experimentales respaldan la existencia de tres cargas de color para cada quark, $N_c=3$. De este modo cada quark $q=u,d,c,s,t,b$, con las propiedades mostradas en la tabla~\ref{tab:quarks}, viene en tres colores
\begin{equation}
q_\alpha=q_1,q_2,q_3=q_r,q_b,q_g,
\end{equation}
donde los últimos subíndices hacen referencia a los colores red, blue, green. De este modo los Bariones y mesones están descritos por combinaciones singletes de color del tipo $q_r q_b q_g$ y $q_r\bar{q}_r$,
\begin{equation}
\label{eq:199qft}
B=\frac{1}{\sqrt{6}}\epsilon_{\alpha\beta\gamma}
\left|q_\alpha q_\beta q_\gamma\right\rangle \qquad M=\frac{1}{\sqrt{3}}\delta^{\alpha\beta}\left|\bar{q}_{\alpha}q_\beta\right\rangle
\end{equation}
Estos estados son singletes de color. Algunos ejemplos de baryones y mesones formados por quarks $u$ y $d$ se muestran en la tabla~\ref{tab:baryonsmesons}
%Comentar sobre la relación Quimica con electrones de Valencia y Física Nuclear con quarks de Valencia
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.85]{quarks}
\caption{Quarks de: \url{http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_particles}}
\label{tab:quarks}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.55]{baryons}
\includegraphics[scale=0.55]{pions}
\caption{Algunos bariones y mesones de la primera generación de quarks}
\label{tab:baryonsmesons}
\end{figure}
Una lista completa de bariones está en: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_baryons}\footnote{\url{http://pdg.lbl.gov/2019/tables/contents_tables_baryons.html}}
Una lista completa de mesones está en: \url{https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_mesons}\footnote{\url{http://pdg.lbl.gov/2019/tables/contents_tables_mesons.html}}
Un dataset con todas la propiedades de partículas está disponible en Wolfram (Mathematica): \url{https://reference.wolfram.com/language/ref/ParticleData.html}
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
La sección eficaz de producir un tipo específico de quarks sería entonces
\begin{align}
\sigma(e^+e^-\to q\bar{q}) \propto N_c Q_e^2 Q_q^2 .
\end{align}
donde, en orden ascendente en masa, la lista de quarks es $q=u,d,s,c,b,t$.
Pero el observable en sí es la producción de hadrones. Para un acelera energía donde se pueden producir hadrones compuestos de hasta quarks $q_{\text{max}}$
\begin{align}
\sigma(e^+e^-\to\text{hadrones})=N_c \sum_{q=u}^{q_{\text{max}}} \sigma(e^+e^-\to q\bar{q})
\end{align}
Durante los años sesenta del siglo pasado $q_{\text{max}}=s$, y en la última generación de aceleradores electrón-positrón $q_{\text{max}}=b$.
A modo de ejemplo considere el acelerador electrón positrón BaBar mostrado en la figura~\ref{fig:babar} izquierda, con el correspondiente detector a la derecha y un evento en la parte inferior. Este acelerador funcionó a una energía de centro de masa de 10 GeV.
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.3]{pep2aerial}\hspace{1cm} \includegraphics[scale=0.14]{babar}\\
\includegraphics[scale=0.5]{babarevent}
\caption{BaBar. Créditos \url{https://babar.heprc.uvic.ca/BFROOT/}}
\label{fig:babar}
\end{figure}
Una de las determinaciones de $N_c$ proviene del observable
\begin{align}
R=&\frac{\sigma(e^+e^-\to\text{hadrones})}{\sigma(e^+e^-\to\mu^+\mu^-)}
\end{align}
Para $q=u,d,s,c,b,t$, (en orden de masa) tenemos que para una energía donde se pueden producir hadrones compuestos de hasta quarks $q_{\text{max}}$
\begin{align}
R\approx&N_c\frac{\sum_{q=u}^{q_{\text{max}}}\sigma(e^+e^-\to q\bar{q})}{\sigma(e^+e^-\to\mu^+\mu^-)}
\end{align}
De este modo $R$ esta dado por la suma de las cargas eléctricas al cuadrado
\begin{align}
\label{eq:254qft}
R\approx&N_c\frac{\sum_q Q_q^2}{Q_\mu^2}\nonumber\\
=
&N_c\sum_{q=u}^{q_{\text{max}}} Q_q^2\nonumber\\
=&
\begin{cases}
N_c[(\frac{2}{3})^2+2(\frac{-1}{3})^2]=\frac{2}{3}N_c&q=u,d,s,\;q_{\text{max}}=s\\
N_c[2(\frac{2}{3})^2+2(\frac{-1}{3})^2]=\frac{10}{9}N_c&q_{\text{max}}=c\\
N_c[2(\frac{2}{3})^2+3(\frac{-1}{3})^2]=\frac{11}{9}N_c&q_{\text{max}}=b
\end{cases}\nonumber\\
=&
\begin{cases}
2&N_c=3,\qquad q_{\text{max}}=s\\
\frac{10}{3}&N_c=3,\qquad q_{\text{max}}=c\\
\frac{11}{3}&N_c=3,\qquad q_{\text{max}}=b\\
\end{cases}
\end{align}
\end{frame}
% \left(\right)
En la figura, tomada de \cite{a}, se muestra el gráfico de $R$ con respecto a $\sqrt{s}$ (la energía de centro de masa de la colisión). Se observan dos escalones, uno que va hasta una energía $\sqrt{s}\approx4\,$GeV que corresponden a $f=u,d,s$, con un $R\approx2$, y otro hasta $\sqrt{s}\approx40\,$GeV que corresponde a $f=u,d,s,c,b$, con un $R\approx3.7\approx11/3$. Los dos valores de $R$ son compatibles con los esperados de la ec.~\eqref{eq:254qft}. Como referencia también se señalan los valores para $N_c=4$ (en rojo).
\begin{frame}
\begin{figure}
\centering
\includegraphics[scale=0.65]{r}
\caption{Datos para $R$}
\label{fig:r}
\end{figure}
\end{frame}
%Comentar sobre Babar (ver Miro Notebook)
Si queremos que el color sea una carga conservada como la carga eléctrica, ésta debe ser la consecuencia de una simetría gauge local. Para tener tres cargas diferentes la posibilidad más simple es imponer la simetría $SU(3)_c$, tal que tengamos un vector compuesto de 3 espinores de Dirac en el espacio de color:
\begin{frame}
\begin{equation}
\Psi=
\begin{pmatrix}
\psi_r\\
\psi_b\\
\psi_g
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
q_r\\
q_b\\
q_g
\end{pmatrix}\qquad q=u,d,c,s,t,b\,.
\end{equation}
\end{frame}
El Lagrangiano de Dirac con invarianza gauge global $SU(3)$, para un quark, se puede escribir como
\begin{equation}
\label{eq:128qft}
\mathcal{L}_{\text{global}}=i\bar{\Psi}\gamma^\mu\partial_\mu\Psi-m\bar{\Psi}\Psi,
\end{equation}
El análisis es completamente simiar si se usa el Lagrangiano sólo para los fermiones de Weyl izquierdos
\begin{align}
\mathcal{L}_{\text{global}}=i\bar{\Psi}\overline{\sigma}^\mu\partial_\mu\Psi
\end{align}
\begin{frame}
La transformación gauge local bajo $SU(3)$ es
\begin{equation}
\Psi\to \Psi'=\exp\left(i\theta_a(x)\frac{\lambda^a}{2}\right)\Psi.
\end{equation}
donde $a=1,\ldots,8$, $\lambda_a/2$ son los ocho generadores de $SU(3)$ y $\theta_a(x)$ son los parámetros de la transformación local. Los generadores de $SU(3)$
\begin{align}
\Lambda^a\equiv\frac{\lambda^a}{2}\,,
\end{align}
satisfacen el álgebra
\begin{equation}
\left[\frac{\lambda^a}{2},\frac{\lambda^b}{2}\right]=if^{abc}\frac{\lambda^c}{2}\,,
\end{equation}
donde $f^{abc}$ son las constantes de estructura fina de $SU(3)$.
\end{frame}
Las ocho matrices $3\times3$ $\lambda^a$ se pueden construir a partir de las tres matrices de Pauli, pero su forma explícita no es necesaria en la siguiente discusión.
En un análisis similar al de la sección \ref{sec:diracs-lagrangian} tenemos que la Acción invariante gauge local bajo $SU(3)_c$, se obtiene de reemplazar la derivada normal por la derivada covariante. Para compensar los 8 cambios asociados a los 8 parámetros $\theta_a(x)$, la derivada covariante debe definirse en términos de 8 campos vectoriales $G^\nu_a$, que llamaremos campos de gluones
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{equation}
\label{eq:127qft}
\mathcal{L}_{\text{local}}=i\bar{\Psi}\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu\Psi-m\bar{\Psi}\Psi
-\mathcal{L}\left( G^{\nu}_{a},\partial_{\mu}G^{\nu}_{a} \right)\,.%\frac{1}{2}\operatorname{Tr}\left({G}^{\mu\nu}{G}_{\mu\nu}\right),
\end{equation}
donde
\begin{align}
\label{eq:qcdtr}
\Psi\to \Psi'&=U(x)\Psi\nonumber\\
\mathcal{D}_\mu\Psi\to \left(\mathcal{D}_\mu\Psi\right)'&
=U(x)\mathcal{D}_\mu\Psi,
\end{align}
con la matriz $3\times 3$
\begin{align}
U(x)=\exp\left[i\theta_a(x){\Lambda^a}\right]\,,
\end{align}
y
\begin{equation}
\mathcal{D}_\mu=\partial_\mu-i g_s{\Lambda_a}G_\mu^a\equiv\partial_\mu-i g_s {G}_\mu
\end{equation}
donde hemos definido la matriz $3\times 3$ $G_\mu$, como
\begin{equation}
\left({G}_\mu\right)_{\alpha\beta}=\left( \Lambda_a \right)_{\alpha\beta}G_\mu^a
\end{equation}
\end{frame}
Este Lagrangiano da lugar a la interacción fuerte y es llamado el Lagrangiano de la Cromodinámica Cuántica, o el Lagrangiano de la QCD de sus siglas en Inglés.
De \eqref{eq:qcdtr}, tenemos
\begin{align}
\mathcal{D}_\mu\Psi\to \left(\mathcal{D}_\mu\Psi\right)'=&\mathcal{D}'_\mu\Psi'
=U(x)\mathcal{D}_\mu\Psi\nonumber\\
\mathcal{D}'_\mu U\Psi
=U(x)\mathcal{D}_\mu\Psi\,.
\end{align}
Por consiguiente
\begin{equation}
{\mathcal{D}'}^\mu U=U\mathcal{D}^\mu
\end{equation}
\begin{equation}
\mathcal{D}^\mu\to\left(
\mathcal{D}^\mu
\right)'=U\mathcal{D}^\mu U^{-1}
\end{equation}
Desarrollando a ambos lados
\begin{align}
\label{eq:251qft}
{\mathcal{D}}^\mu\psi\to{\left({\mathcal{D}}^\mu\psi\right)}'=
{\mathcal{D}^\mu}'\psi'=&{\mathcal{D}^\mu}'\psi'\nonumber\\
(\partial^\mu-i g_s {G'}^\mu) U\psi=&U\mathcal{D}^\mu U^{-1}U\psi\nonumber\\
(\partial^\mu-i g_s {G'}^\mu) U\psi=&U(\partial^\mu-i g_s {G}^\mu)\psi\nonumber\\
U\partial^\mu\psi+(\partial^\mu U)\psi-i g_s {G'}^\mu U \psi=&U\partial^\mu\phi-i g_s U {G}^\mu \psi\nonumber\\
(\partial^\mu U)\psi-i g_s {G'}^\mu U \psi=&-i g_s U {G}^\mu \psi\nonumber\\
-i g_s {G'}^\mu U \psi=&-(\partial^\mu U)\psi-i g_s U {G}^\mu \psi\,,
\end{align}
de modo que
\begin{align}
G^{\mu}\to {G'}^\mu U =&\frac{1}{i g_s}(\partial^\mu U)+ U{G}^\mu \nonumber\\
G^{\mu}\to {G'}^\mu =&-\frac{i}{g_s}(\partial^\mu U)U^{-1}+ U{G}^\mu U^{-1}\,.
\end{align}
Como $U$ es unitaria, la transformación de los campos gauge puede escribirse como
\begin{equation}
{G}^\mu\to{G}^{\prime \mu}=U{G}^\mu U^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial^\mu U\right)U^\dagger.
\end{equation}
O en términos de los 8 bosones gauge
\begin{align}
\Lambda^a{G}^\mu_a\to\Lambda^a{G}^{\prime \mu}_a=U\Lambda^c{G}^\mu_c U^{\dagger}-\frac{i}{g_s}(\partial^\mu U)U^{-1}\,,
\end{align}
exactamente como en \eqref{eq:u1gt}, pero con $Q\to \Lambda^a$ and $A^\mu\to G^\mu_a$
Como
\begin{align}
\partial^{\mu}U= \partial^{\mu}\exp\left[i\theta_a(x){\Lambda^a}\right]
= \left( \partial^{\mu}i\theta_a(x)\right){\Lambda^a}\exp\left[i\theta_a(x){\Lambda^a}\right]
= \left( \partial^{\mu}i\theta_a(x)\right){\Lambda^a}U\,,
\end{align}
entonces
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{align}
\Lambda^a{G}^\mu_a\to\Lambda^a{G}^{\prime \mu}_a=U\Lambda^c{G}^\mu_c U^{\dagger}+\frac{1}{g_s}{\Lambda^e} \partial^{\mu}\theta_e(x)\,.
\end{align}
y la expresión en ec.~\eqref{eq:gnrlaggtr} en efecto es suficiente general y para $\operatorname{SU}(3)$ queda
\begin{align}
\Lambda^a{G'}^\mu_a=&U\Lambda^cG^\mu_cU-\frac{1}{g_s}\Lambda^e(\partial^\mu\theta_e)\,.
\end{align}
Entonces, haciendo la expansión a primer orden en $\theta_{a}(x)$ de $U$
\begin{align}
\label{eq:Gmuinv}
\Lambda^a{G'}^\mu_a\approx&(1+i\theta_b\Lambda^b)\Lambda^cG^\mu_c(1-i\theta_d\Lambda^d)+\frac{1}{g_s}\Lambda^e\partial^\mu\theta_e\nonumber\\
=&(\Lambda^c+i\theta_b\Lambda^b\Lambda^c)(1-i\theta_d\Lambda^d)G^\mu_c+\frac{1}{g_s}\Lambda^e\partial^\mu\theta_e\nonumber\\
\approx&[\Lambda^c-i\theta_d\Lambda^c\Lambda^d+i\theta_b\Lambda^b\Lambda^c]G^\mu_c+\frac{1}{g_s}\Lambda^e\partial^\mu\theta_e\nonumber\\
=&[\Lambda^c-i\theta_b(\Lambda^c\Lambda^b-\Lambda^b\Lambda^c)]G^\mu_c+\frac{1}{g_s}\Lambda^e\partial^\mu\theta_e\nonumber\\
=&\Lambda^aG^\mu_a-i(i f^{acb}\Lambda^a)G^\mu_c\theta_b+\frac{1}{g_s}\Lambda^a\partial^\mu\theta_a\nonumber\\
=&\Lambda^a\left(G^\mu_a+\frac{1}{g_s}\partial^\mu\theta_a+f^{acb}G^\mu_c\theta_b\right),
\end{align}
de donde
\begin{align}
\label{eq:gmutrinf}
G^\mu_a\to {G'}^\mu_a\approx&G^\mu_a+\frac{1}{g_s}\partial^\mu\theta_a+{f_a}^{bc}G^\mu_b\theta_c\,,
\end{align}
que se reduce al caso Abeliano cuando las constates de estructura son cero. Como era de esperarse cada campo gauge tiene asociado un parámetro de transformación gauge $\theta_a(x)$.
\end{frame}
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
\begin{table}
\centering
\small
\begin{tabular}{l|l|l}
QED & QCD & Diferencia\\\hline
$ \overline{\psi}\left(i\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu-m\right)\psi +\mathcal{L} \left(A_{\nu},\partial A_{\nu} \right)$ & $ \overline{\Psi}\left(i\gamma^\mu\mathcal{D}_\mu-m\right)\Psi +\mathcal{L} \left(G_{\nu},\partial G_{\nu} \right)$ & $1\times 1 \to 3\times 3$: ($\mathcal{D}_{\mu}$)\\
$\mathcal{D}_{\mu}=\partial_{\mu}-i e A_{\mu}$ & $\mathcal{D}_{\mu}=\partial_{\mu}-i g_s G_{\mu}$ & $1\times 1 \to 3\times 3$: ($A_{\mu}\to G_{\mu}$)\\
$A_{\mu}\to \widehat{Q}A_{\mu}$ & $G_{\mu}=\Lambda_{a} G_{\mu}^{a}$,\qquad $a=1,\cdots,8$ & $1\times 1 \to 3\times 3$: ($\widehat{Q}\to\Lambda_{a}$)\\
$A_{\mu}$&$ G_{\mu}^1,\cdots ,G_{\mu}^8$& $1\to 8$ (Gauge fields)\\
$ {A}^\mu\to {A}^{\prime\mu}=U{A}^\mu U^{*}-\frac{i}{e}\left(\partial^\mu U\right)U^*$&
$ {G}^\mu\to {G}^{\prime\mu}=U{G}^\mu U^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial^\mu U\right)U^\dagger$
&$1\times 1 \to 3\times 3$: ($U$)\\
$U=\exp(i\widehat{Q}\theta)$ & $U=\exp(i\Lambda_{a}\theta^{a})$& $1\to 8$: ($\theta\to\theta_{1},\cdots,\theta_{8}$) \\
$A^\mu\to {A'}^\mu_a\approx A^\mu+\frac{1}{e}\partial^\mu\theta$ &
$G^\mu_a\to {G'}^\mu_a\approx G^\mu_a+\frac{1}{g_s}\partial^\mu\theta_a+{f_a}^{bc}G^\mu_b\theta_c$ &\parbox{3.5cm}{radiación $\to$ ra\-dia\-ción\--ma\-teria} \\
$\alpha=\dfrac{e^2}{4\pi}\approx 1/137$ & $\alpha_s=\dfrac{g_s^2}{4\pi}>1$ & \parbox{3.5cm}{perturbativa $\to$ no per\-tur\-ba\-ti\-va} \\
\end{tabular}
\caption{Comparación entre la QED y la QCD}
\end{table}
\end{frame}
\subsection{Tensores cromodinámicos}
%Logica actual:
% 1 G es campo de materia y requiere definir una derivada covariante
% 2 Construya tensor con derivadas covariantes
% 3 Encuentre como tranforma un tensor
% 2 Demuestre que la derivada covariante de Gmunu transforma como Gmunu
Note entonces que en el lenguage de los teoremas de Noether, el campo $G^{\mu}_{a}$ transforma como un campo de materia y un campo de radiación a la vez, es decir, su transformación depende tanto del parámetro como de la derivada del parámetro. Por consiguiente, es conveniente definir la derivada covariante del campo $G^{\nu}_{a}$. Para ello se debe introducir la representación adjunta de $\operatorname{SU}(N)$.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
La representación adjunta de $\operatorname{SU}(3)$, consiste en las 8 matrices $8\times 8$
\begin{align}
\left[ \widetilde{\Lambda}^{a}\right]_{bc}=-i {f^{a}}_{bc}\,.
\end{align}
\end{frame}
\noindent
\textbf{Ejemplo:} Definiendo $\Sigma_i$ como las matrices $3\times3$ generadores de $\operatorname{SU}(2)$ en la representaci\'on adjunta
\begin{align}
(\Sigma_i)_{jk}=-i\epsilon_{ijk}\,,
\end{align}
hemos comprobado en la ec.~\eqref{eq:adjrepsu2} que
\begin{align}
\left[{\Sigma_i},{\Sigma_j}\right]&=i\epsilon_{ijk}{\Sigma_k}\nonumber\\
\left[{\Sigma_i},{\Sigma_j}\right]_{lm}&=i\epsilon_{ijk}(\Sigma_k)_{lm}\,.
\end{align}
\noindent
\textbf{Ejercicio:} Demostar que la representación adjunta satisface el álgebra de $\operatorname{SU}(3)$.
\begin{frame}[fragile,allowframebreaks]
La derivada covariante en la representación adjunta es
\begin{align}
\mathcal{D}_{\mu}=&\mathbf{1}\partial_{\mu}-i g_s \mathbb{G}_{\mu} \nonumber\\
=&\mathbf{1}\partial_{\mu}-i g_s \widetilde{\Lambda}_a G_{\mu}^{a} \,,
\end{align}
donde
\begin{align}
\mathbb{G}_{\mu}\equiv \widetilde{\Lambda}_a G_{\mu}^{a}\,,
\end{align}
\end{frame}
es ahora una matriz $8\times8$ de campos de gluones en la representación adjunta. En componentes
\begin{align}
\left[\mathcal{D}_{\mu} \right]^b_c=&\delta^b_c\partial_{\mu}-i g_{s}\left[ \widetilde{\Lambda}_{a} G^a_{\mu} \right]^b_c \nonumber\\
=&\delta^b_c\partial_{\mu}- g_{s} {f_{a}}^{bc} G^a_{\mu} \,.
\end{align}
Esta derivada se puede aplicar a la matriz de campo de gluones:
\begin{align}
\mathcal{D}_{\mu} \mathbb{G}_{\nu}=& \left(\mathbf{1}\partial_{\mu}-i g_s \mathbb{G}_{\mu} \right)\mathbb{G}_{\nu}
\end{align}
o en componentes
\begin{align}
\left[ \mathcal{D}_{\mu} \right]^{a}_{b} \left[ \mathbb{G}_{\nu} \right]^b_c=& \left(\delta^a_b\partial_{\mu}-i g_s \left[ \mathbb{G}_{\mu} \right]^{a}_{b} \right)\left[ \mathbb{G}_{\nu} \right]^b_c \nonumber\\
=& \left(\delta^a_b\partial_{\mu}-i g_s \left[ \widetilde{\Lambda}_c \right]^a_b G^c_{\mu} \right) \left[ \widetilde{\Lambda}_d \right]^b_cG_{\nu}^{d}\,.
\end{align}
Veamos como transforma la derivada covariante de la matriz de campos de gluones en la representación adjunta, donde un elemento $8\times 8$ del grupo $\operatorname{SU}(3)$ se define ahora como
\begin{align}
\widetilde{U}=\exp \left[ i\theta_a(x) \widetilde{\Lambda} \right].
\end{align}
Entonces
\begin{align}
\label{eq:tdcg}
\mathcal{D}_{\mu} \mathbb{G}_{\nu}\to \left( \mathcal{D}_{\mu} \mathbb{G}_{\nu} \right)' =&
\left[\boldsymbol{1}\partial_{\mu}-i g_s\left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\mu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\mu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right) \right] \left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\nu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right) \nonumber\\
=&
\left[\boldsymbol{1}\partial_{\mu}-i g_s\widetilde{U} \mathbb{G}_\mu \widetilde{U}^{\dagger}-\left(\partial_\mu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right] \left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\nu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right) \nonumber\\
=&
\partial_{\mu} \left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\nu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right)
-i g_s\widetilde{U} \mathbb{G}_\mu \widetilde{U}^{\dagger}\left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\nu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right)
\nonumber\\
&-\left(\partial_\mu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger\left(\widetilde{U} \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}-\frac{i}{g_s}\left(\partial_\nu \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^\dagger \right) \nonumber\\
=& \cancel{\left(\partial_{\mu} \widetilde{U} \right) \mathbb{G}_\nu \widetilde{U}^{\dagger}} + \widetilde{U}
\left( \partial_{\mu}\mathbb{G}_\nu \right) \widetilde{U}^{\dagger} + \widetilde{U}
\mathbb{G}_{\nu} \partial_{\mu} \widetilde{U}^{\dagger} -\frac{i}{g_s}\partial_{\mu}
\left[ \left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right)\widetilde{U}^{\dagger} \right]
\nonumber\\
&-i g_s \widetilde{U} \mathbb{G}_{\mu}\mathbb{G}_{\nu}\widetilde{U}^{\dagger}- \widetilde{U}\mathbb{G}_{\mu} \widetilde{U}^{\dagger} \left( \partial_{\nu} \widetilde{U}\right)\widetilde{U}^{\dagger} \nonumber\\
&-\cancel{\left( \partial_{\mu}\widetilde{U} \right)\mathbb{G}_{\nu} \widetilde{U}^{\dagger}}
+\frac{i}{g_s} \left( \partial_{\mu}\widetilde{U} \right) \widetilde{U}^{\dagger} \left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right) \widetilde{U}^{\dagger} \nonumber\\
=& \widetilde{U} \left( \partial_{\mu}\mathbb{G}_\nu \right) \widetilde{U}^{\dagger} + \widetilde{U}
\mathbb{G}_{\nu} \partial_{\mu} \widetilde{U}^{\dagger}
-\cancel{\frac{i}{g_s}\partial_{\mu} \left[ \widetilde{U}
\widetilde{U}^{\dagger}\left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right)\widetilde{U}^{\dagger} \right]}
\nonumber\\
&-i g_s \widetilde{U} \mathbb{G}_{\mu}\mathbb{G}_{\nu}\widetilde{U}^{\dagger}- \widetilde{U}\mathbb{G}_{\mu}
\widetilde{U}^{\dagger}\cancel{ \partial_{\nu}\left( \widetilde{U}\widetilde{U}^{\dagger} \right)}+
\widetilde{U}\mathbb{G}_{\mu} \widetilde{U}^{\dagger} \widetilde{U}\partial_{\nu}\widetilde{U}^{\dagger}
\nonumber\\
&+\cancel{\frac{i}{g_s} \partial_{\mu} \left[ \widetilde{U} \widetilde{U}^{\dagger}
\left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right) \widetilde{U}^{\dagger}\right]}-
\frac{i}{g_s} \widetilde{U} \partial_{\mu} \left[ \widetilde{U}^{\dagger}
\left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right) \widetilde{U}^{\dagger}\right]
\end{align}
Ya que
\begin{align}
\partial_{\mu} \left[ \widetilde{U}^{\dagger}
\left( \partial_{\nu}\widetilde{U} \right) \widetilde{U}^{\dagger}\right]=&
\partial_{\mu} \left[ \widetilde{U}^{\dagger}
\cancel{\partial_{\nu}\left( \widetilde{U} \widetilde{U}^{\dagger}\right)} -\widetilde{U}^{\dagger}\widetilde{U} \partial_{\nu} \widetilde{U}^{\dagger}\right] \nonumber\\
=&- \partial_{\mu} \left[ \widetilde{U}^{\dagger} \widetilde{U} \partial_{\nu} \widetilde{U}^{\dagger}\right] \nonumber\\
=&- \partial_{\mu} \partial_{\nu} \widetilde{U}^{\dagger} \,,
\end{align}
entonces
\begin{align}
\label{eq:Dmup}
\mathcal{D}_{\mu} \mathbb{G}_{\nu}\to \left( \mathcal{D}_{\mu} \mathbb{G}_{\nu} \right)' =& \widetilde{U} \left[ \left( \partial_{\mu}-ig_s \mathbb{G}_{\mu} \right)\mathbb{G}_\nu \right]\widetilde{U}^{\dagger}
+ \widetilde{U} \left[ \mathbb{G}_{\nu} \partial_{\mu}+\mathbb{G}_{\mu}\partial_{\nu}+\frac{i}{g_s} \partial_{\mu}\partial_{\nu} \right] \widetilde{U}^{\dagger} \nonumber\\
=& \widetilde{U} \left( \mathcal{D}_{\mu}\mathbb{G}_\nu \right)\widetilde{U}^{\dagger}
+ \widetilde{U} \left[ \mathbb{G}_{\nu} \partial_{\mu}+\mathbb{G}_{\mu}\partial_{\nu}+\frac{i}{g_s} \partial_{\mu}\partial_{\nu} \right] \widetilde{U}^{\dagger} \,.%\nonumber\\