trab2seriesmark.Rmd

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title: "Ex 1 - Trabalho 2"
subtitle: "SME0808 - Séries Temporais e Aprendizado Dinâmico"
author: 
- "Sidnei Gazola Junior -- Nº USP: 9378888"
date: "`r format(Sys.time(), '%d de %B de %Y')`"
header-includes:
   - \usepackage{float}
   - \usepackage{here}
   - \usepackage[brazil]{babel}
   - \usepackage{caption}
   - \usepackage{mathtools}
   - \usepackage{setspace}\onehalfspacing
output:
  pdf_document: default
  fig_caption: yes
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  linkcolor: blue
  fontsize: 12pt
  geometry: margin=0.75in
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\newcommand{\mar}{\hspace{.3cm}}
\newcommand{\ld}{\vspace{.15cm}}

```{r setup, echo = FALSE, results = 'hide'}
knitr::opts_chunk$set(message = FALSE, warning = FALSE, 
                      error = FALSE,fig.dim=c(6,4), fig.pos = "H")
```

```{r, echo = FALSE, results = 'hide'}
rm(list = ls())
ls()
```

```{r}
library(tidyverse)
library(forecast)
library(lubridate)
library(tinytex)
library(fpp2)
library(e1071)
```

# Simulando os dados

```{r}
phi = runif(1,0.70,0.95)
v = runif(1,0.75,2)

y= c()
y[1]=1
x= c()
x[1]=1

n=200

for (t in 2:n) {
  e = rnorm(1,0,v)
  y[t]= phi * y[t-1] + e
  x[t]=t
}
```

Primeiramente foram simulados os dados dos modelos para os exercícios a seguir.
Foram selecionados ao acaso no intervalo respectivo os valores dos parametros, obtendo:

$\phi$ = ``r phi``

$v$ = ``r v``

## Plotagem dos dados simulados

```{r}
ggplot(mapping = aes(x=x,y=y)) +
  geom_line() +
  theme_bw() +
  theme(legend.position = "none")  +
  labs(x="x",y= "y")
```

# 1.a)

```{r}
F = t(y[2:n])
Y = y[1:n-1]

emv_phi = solve(F%*%t(F))%*%(F%*%Y)

emv_v = (1/(n-1))*(t(Y-t(F)%*%emv_phi)%*%(Y-t(F)%*%emv_phi))
```

Com os dados em mãos foi aplicado o método MV, para os dados, obtendo os seguintes valores estimados:

$\hat{\phi}$ = ``r emv_phi``

$\hat{v}$ = ``r emv_v``

\newpage

# 1.b)

```{r}
bphi= c()
bphi[1]=1
bv= c()
bv[1]=1

nsim = 3000
descarte <- 100
espac <- 10

for (m in 2:nsim) {
  bv[m]= 1/(rgamma(1,n/2,(t(Y-t(F)%*%bphi[m-1])%*%(Y-t(F)%*%bphi[m-1]))/2))
  bphi[m] = rnorm( 1,mean = bphi, bv[m] * solve(F%*%t(F))  )
}

## Ajuste de espaçamento e descarte

bphi <- bphi[-(1:descarte)]
bv <- bv[-(1:descarte)]

b_phi_a <- b_v_a <- c()
j= 1
for (i in 1:(length(bphi)/espac)) {
  b_phi_a[i]= bphi[j]
  b_v_a[i]= bv[j]
  j= j + espac 
}
bphi <- b_phi_a
bv <- b_v_a

eb_phi = mean(bphi)
eb_v = mean(bv)

```

Com os dados em mãos foi aplicado o método usando aproximação normal, para os dados, obtendo os seguintes valores estimados:

$\hat{\phi}$ = ``r eb_phi``

$\hat{v}$ = ``r eb_v``