-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Copy pathLL_6_09.05.tex
145 lines (128 loc) · 9.72 KB
/
LL_6_09.05.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
\section{Ударные волны слабой интенсивности}\label{sec:p86}
Рассмотрим ударную волну, в которой все величины испытывают лишь небольшой
скачок; о таких разрывах мы будем говорить как об ударных волнах слабой
интенсивности. Преобразуем соотношение \ref{eq:85.9}, производя в нем разложение по
степеням малых разностей $s_2-s_1$ и$p_2-p_1$. Мы увидим, что при таком разложении
в \ref{eq:85.9} сокращаются члены первого и второго порядков по $p_2-p_1$;поэтому
необходимо производить разложение по $p_2-p_1$ до членов третьего порядка
включительно. По разности же $s_2-s_1$ достаточно разложить до членов первого
порядка. Имеем:
\[
w_2 - w_1 = \ddp{w}{s_1}{p}(s_2-s_1)+\ddp{w}{p_1}{s}(p_2-p_1)+\frac{1}{2} \ddp{^2 w}{p^2_1}{s}(p_2-p_1)^2 + \frac{1}{6}\ddp{^3 w}{p^3_1}{s}(p_2-p_1)^3.
\]
Но согласно термодинамическому соотношению $dw=Tds+Vdp$ имеем для производных:
\[
\ddp{w}{s}{p} = T, \quad \ddp{w}{p}{s} = V.
\]
Поэтому
\[
w_2-w_1 = T_1(s_2-s_1) + V_1(p_2-p_1) + \frac{1}{2}\ddp{V}{p_1}{s}(p_2-p_1)^2+\frac{1}{6} \ddp{^2 V}{p^2_1}{s}(p_2-p_1)^3.
\]
Объем $V_2$ достаточно разложить только по $p_2-p_1$, поскольку во втором члене
уравнения \ref{eq:85.9} уже имеется малая разность $p_2-p_1$ и разложение по
$s_2-s_1$ дало бы член порядка $(s_2-s_1)(p_2-p_1)$, не интересующий нас. Таким
образом,
\[
V_2-V_1 = \ddp{V}{p_1}{s}(p_2-p_1)+\frac{1}{2}\ddp{^2V}{p^2_1}{s}(p_2-p_1)^2.
\]
Подставляя эти разложения в \ref{eq:85.9}, получим следующее соотношение:
\begin{equation}
\label{eq:86.1}
s_2-s_1 = \frac1{12T_1}\ddp{^2V}{p^2_1}{s}(p_2-p_1)^3.
\end{equation}
Таким образом, скачок энтропии в ударной волне слабой интенсивности является
малой величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления.
Адиабатическая сжимаемость вещества — $(\partial V/\partial p)_s$ практически
всегда падает с увеличением давления, т. е. вторая произ-
водная \footnote{
Для политропного газа
\[
\ddp{^V}{p^2}{s} = \frac{\gamma+1}{\gamma^2} \frac{V}{p^2}
\]
Это выражение проще всего можно получить путем дифференцирования уравнения
адиабаты Пуассона $pV^\gamma=\const $.
}
\begin{equation}
\label{eq:86.2}
\ddp{^2V}{p^2}{s}>0.
\end{equation}
Подчеркнем, однако, что это неравенство не является термодинамическим
соотношением и, в принципе, возможны его нарушения \footnote{Так, это может
иметь место в области вблизи критической точки жидкость — газ. Ситуация с
нарушением условия \ref{eq:86.2} может быть также имитирована на ударной
адиабате для среды, допускающей фазовый переход (в результате чего иа адиабате
возникает излом). См. об этом в книге: \emph{Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П.} Физика
ударных воли и высокотемпературных гидродинамических явлений. — Изд. 2-е. — М.:
Наука, 1966, гл. I, \S 19; гл. XI, \S 20.}. Как мы неоднократно
увидим ниже, в газодинамике знак производной \ref{eq:86.2} весьма существен; в
дальнейшем мы будем всегда считать его положительным.
Проведем через точку $1$ $(p_1,V_1)$ на $p,V$-диаграмме две кривые — ударную
адиабату и адиабату Пуассона. Уравнение адиабаты Пуассона есть $s_2-s_1=0$. Из
сравнения этого уравнения с уравнением \ref{eq:86.1} ударной адиабаты вблизи
точки $1$ видно, что обе кривые касаются в этой точке, причем имеет место
касание второго порядка — совпадают не только первые, но и вторые производные.
Для того чтобы выяснить взаимное расположение обеих кривых вблизи точки $1$,
воспользуемся тем, что согласно \ref{eq:86.1} и \ref{eq:86.2} при $p_2>p_1$ на
ударной адиабате должно быть $s_2>s_1$, между тем как на адиабате Пуассона
остается $s_2=s_1$. Поэтому абсцисса точки на ударной адиабате должна быть при
той же ординате $p_2$ больше абсциссы точки на адиабате Пуассона. Это следует
из того, что согласно известной термодинамической формуле
\[
\ddp{V}{s}{p} = \frac{T}{c_p}\ddp{V}{T}{p}
\]
энтропия растет с увеличением объема при постоянном давлении — для всех тел,
которые расширяются при нагревании, т. е. у которых $(\partial V/\partial
T)_p>0$. Аналогично убеждаемся в том, что ниже точки $1$ (т.е. при $p_2<p_1$)
абсциссы точек адиабаты Пуассона должны быть больше абсцисс ударной адиабаты.
Таким образом, вблизи точки своего касания обе кривые расположены указанным на
рис. 55 образом ($HH'$ — ударная адиабата, а $PP'$ — адиабаты
Пуассона)\footnote{При $(\partial V/\partial T)_p < 0$ расположение обеих
кривых было бы обратным.}, причем в силу \ref{eq:86.2} обе обращены вогнутостью
вверх.
При малых $p_2-p_1$ и $V_2-V_1$ формулу \ref{eq:85.6} можно написать в первом
приближении в виде
\[
j^2=-\ddp{p}{V}{s}
\]
(мы пишем здесь производную при постоянной энтропии, имея в виду, что
касательные к адиабатам Пуассона и ударной в точке $1$ совпадают). Далее,
скорости $v_1$ и $v_2$ в том же приближении одинаковы и равны
\[
v=jV=\sqrt{-V^2 \ddp{p}{V}{s}} = \sqrt{\ddp{p}{\rho}{s}}.
\]
Но это есть не что иное, как скорость звука $c$. Таким образом, скорость
распространения ударных волн слабой интенсивности совпадает в первом
приближении со скоростью звука:
\begin{equation}
\label{eq:86.3}
v = c.
\end{equation}
Рис. 55 Из полученных свойств ударной адиабаты в окрестности точки $1$ можно
вывести ряд существенных следствий. Поскольку в ударной волне должно
выполняться условие $s_2>s_1$, то должно быть и
\[
p_2>p_1,
\]
т. е. точки $2$ $(p_2,V_2)$ должны находиться выше точки $1$. Далее, поскольку
хорда $12$ идет круче касательной к адиабате в точке $1$ (рис. 53), а тангенс
угла наклона этой касательной равен производной $(\partial p_1/\partial
V_1)_{s_1}$ имеем:
\[
j^2>-\ddp{p}{V_1}{s_1}.
\]
Умножая это неравенство с обеих сторон на $V^2_1$, находим:
\[
j^2 V^2_1 = v^2_1 > - V^2_1 \ddp{p}{V_1}{s_1} = \ddp{p}{\rho_1}{s_1} = c^2_1,
\]
где $c_1$ — скорость звука, соответствующая точке $1$. Таким образом,
\[
v_1>c_1.
\]
Наконец, из того, что хорда $12$ расположена менее круто, чем касательная в
точке $2$, аналогичным образом следует, что $v_2<c_2$ \footnote{Последняя
аргументация применима только вблизи точки $1$, где тангенс угла иаклопа
касательной к ударной адиабате в точке $2$ отличается от производной $(\partial
p_2/\partial V_2)_{s_2}$ лишь иа величину второго порядка малости.}.
Упомянем еще, в заключение, что при $(\partial^2 V/\partial p^2)_s<0$ из
условия $s_2>s_1$ для ударных волн слабой интенсивности следовало бы $p_2<p_1$,
а для скоростей — те же неравенства $v_1<c_1$, $v_2<c_1$.