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金属线胀系数的测量.md

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实验原理

线胀系数

$L_0$ 是铜棒在 $0^\text{o}\rm C$ 时的长度。 $L$ 是铜棒在 $T^\text{o}\rm C$ 的长度。 $\alpha$ 是铜棒的线胀系数。 $$L=L_0(1+\alpha T)$$ 0度时： $(0,L_0)$ 。 初始温度时： $(T_1,L_1)$ ，其他温度时： $(T_i,L_i)$ （ $i\geq1$ ）。 $$L_1=L_0(1+\alpha T_1)\tag{1}$$ $$L_i=L_0(1+\alpha T_i)\tag{2}$$ 1式除以2式： $$\frac{L_1}{L_i}=\frac{1+\alpha T_1}{1+\alpha T_i}$$ $$L_1+L_1\alpha T_i=L_i+L_i\alpha T_1$$ $$(L_1T_i-L_iT_1)\alpha=L_i-L_1$$ $$\alpha=\frac{L_i-L_1}{L_1T_i-L_iT_1}=\frac{L_i-L_1}{L_1T_i-L_iT_1}$$ $$\alpha=\frac{L_i-L_1}{(L_1-L_i)T_1+L_1(T_i-T_1)}$$ 因为 $L_1-L_i$ 非常小：

$$\alpha \approx \frac{L_i-L_1}{L_1(T_i-T_1)}$$ 千分表是通过齿轮或杠杆将一般的直线位移（直线运动）转换成指针的旋转运动，然后在刻度盘上进行读数的长度测量仪器。千分表是精密测量中用途很广的指示式量具。它属于比较量具，只能测量出相对的数值，不能测出绝对数值。主要用来检查工件的形状和位置误差。 $i$ 温度的伸长量与初始温度的伸长量的差就等于 $i$ 温度的千分表读数与初始温度的差：

$$\alpha \approx \frac{L_i-L_1}{L_1(T_i-T_1)}=\frac{l_i-l_1}{L_1(T_i-T_1)}$$

应用逐差法

$$y=\Delta l=l_i-l_1$$ $$x=T_i-T_1$$ $$k=\alpha L_1$$ $$y=kx$$

这样便符合逐差法的形式，可以使用逐差法了。

$$\alpha = \frac{(y_7+y_6+y_5)-(y_4+y_3+y_2)} {9 L_1\Delta x}=\frac{(l_7+l_6+l_5)-(l_4+l_3+l_2)} {9 L_1\Delta x}$$

推导误差传递公式

$$\alpha = \frac{l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2}{9L_1\Delta x}$$ 两边取对数： $$\ln^\alpha = \ln^{l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2} - \ln^{9L_1\Delta x}$$ 求全微分： $$\frac{\rm{d} \alpha}{\alpha} = \frac{\rm{d}l_7+\rm{d}l_6+\rm{d}l_5-\rm{d}l_4-\rm{d}l_3-\rm{d}l_2}{l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2} - \frac{\rm{d}L_1}{L_1}$$ 微分号变不确定度： $$\frac{u(\alpha)}{\alpha} = \frac{u(l_7)+u(l_6)+u(l_5)-u(l_4)-u(l_3)-u(l_2)}{l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2} - \frac{u(L_1)}{L_1}$$ 各项平方和： $$\frac{u(\alpha)}{\alpha} = \sqrt{\frac{u^2(l_7)+u^2(l_6)+u^2(l_5)+u^2(l_4)+u^2(l_3)+u^2(l_2)}{(l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2)^2} + \frac{u^2(L_1)}{L^2_1}}$$

实验指导

  1. 实验之前要检查千分表是否装好了（务必）。先轻微地尝试升温，观察千分表有没有走，如果指针没有走，说明千分表没有装好，应当先把它装好。
  2. 建议初始温度比室温高至少5度。
  3. 铜的比热容比水低很多，所以水温非常高时应当先降温，否则铜的温度会瞬间上升很多。
  4. 降温的时候，如果水温比铜的更高，应当关闭水泵。

实验报告

一、实验目的

  1. 掌握固定线胀系数测定仪测量金属线胀系数的方法。
  2. 学习使用千分表测量长度的微小变化。
  3. 使用逐差法计算线胀系数。

二、实验仪器

千分表的仪器误差暂且认为和分度值相同：0.001 mm

仪器 估读误差 仪器误差 置信系数 $C$ 置信因子 $k_p$
钢卷尺 0.5 mm 1.2 mm 3 1.960
千分表 0.0005 mm 0.001 mm 3 1.960
待测铜棒 - - - -
恒温水循环控制系统 0 认为为0 - -
膨胀系数测定仪 - - - -

三、实验原理

需要在纸质报告中，说明每一个物理量是什么。 可以从下面的数据记录表中看出。

线胀系数

$$\alpha = \frac{\Delta L}{L_1(T-T_1)}$$

逐差法

$$\alpha = \frac{(y_7+y_6+y_5)-(y_4+y_3+y_2)} {9 L_1\Delta x}=\frac{(l_7+l_6+l_5)-(l_4+l_3+l_2)} {9 L_1\Delta x}$$

误差传递公式

$$u(\alpha) = \sqrt{\frac{u^2(l_7)+u^2(l_6)+u^2(l_5)+u^2(l_4)+u^2(l_3)+u^2(l_2)}{(l_7+l_6+l_5-l_4-l_3-l_2)^2}+\frac{u^2(L_1)}{L^2_1}}$$

四、实验步骤

简述实验步骤

五、数据记录与计算

1. 初始温度的金属棒长度

初始温度比当天的最高气温高 $5^\text{o}\rm C$ ，实验比较省时间 纸质报告中不要出现“<>”符号

初始温度 $T_1$= <> $^\text{o}\rm C$

测量次数 1 2 3 平均值
初始温度的金属棒长度 $L_1$（ $\rm mm$ ） <> <> <> <>

2. 不同温度时，金属棒的伸长量

温度的序号 $i$ 1 2 3 4 5 6 7
和初始温度的温差 $x_i=T_i-T_1$ （ $^\text{o}\rm C$ ） 0 3 6 9 12 15 18
升温时千分表的读数 $l^{heat}_i$（ $\rm mm$ ） <> <> <> <> <> <> <>
降温时千分表的读数 $l^{cool}_i$（ $\rm mm$ ） <> <> <> <> <> <> <>
升、降温千分表读数的平均值 $l_i=\frac{l^{heat}_i+l^{cool}_i}{2}$ （ $\rm mm$ ） <> <> <> <> <> <> <>
95%概率的不确定度 <> <> <> <> <> <> <>

$$y_7 - y_4 = l_7 - l_4 =<>\rm mm$$

$$y_6 - y_3 = l_6 - l_3 =<>\rm mm$$

$$y_5 - y_2 = l_5 - l_2=<>\rm mm$$

如果上面这三个差之间的差距大就不对。这是逐差法的一个用处。

$$\alpha = \frac{(y_7+y_6+y_5)-(y_4+y_3+y_2)} {9 L_1\Delta x} = \frac{(l_7 - l_4) + (l_6 - l_3) + (l_5 - l_2)} {9 L_1\Delta x}=<>$$ $$u(\alpha) =<>$$ 因此： $$\alpha = <>\pm <>, P=0.95$$

3. 相对误差

铜的线胀系数是 $17.20\times10^{-6}K^{-1}$ 。 $$E = \frac{\alpha - \alpha_{\rm Cu}}{\alpha_{\rm Cu}} \times 100 % = &lt;&gt; \times 100 % $$