diff --git a/content/post/4-PhysicsB-Notes/index.md b/content/post/4-PhysicsB-Notes/index.md index 631eb8f..d25d685 100644 --- a/content/post/4-PhysicsB-Notes/index.md +++ b/content/post/4-PhysicsB-Notes/index.md @@ -6,7 +6,7 @@ date = '2024-12-17T14:28:43+08:00' title = '大学物理 B 期末复习知识点' description = '大学物理 B 的一些重要公式归纳总结(持续更新中)' tags = ['大学物理'] -lastmod = '2024-12-19T15:53:43+08:00' +lastmod = '2024-12-19T19:52:43+08:00' +++ ## 热学 @@ -536,7 +536,61 @@ $$ \Delta x\Delta p_x\geq h $$ -### 量子物理 +### 量子力学 + +#### 薛定谔方程 + +势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程 + +$$ +\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi(x)=0 +$$ + +一般的定态薛定谔方程 + +$$ +\mathbf{\nabla}^2\psi=\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi=0 +$$ + +#### 一维势阱问题 + +##### 无限深方势阱 + +势阱中粒子可能的能量值为 + +$$ +E=n^2\frac{h^2}{8ma^2} +$$ + +其中 $a$ 为无限深方势阱的宽度。 + +波函数 + +$$ +\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x} +$$ + +概率密度 + +$$ +|\psi^2(x)|=\frac{2}{a}\sin^2{\frac{n\pi}{a}x} +$$ + +##### 一维方势垒 + +一维线性谐振子势函数 + +$$ +E_{\mathrm{p}}x=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 +$$ + +其中 $m$ 为振子质量,$\omega$ 为固有频率; + +能量本征值 + +$$ +E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu +$$ #### 四个量子数 @@ -564,42 +618,292 @@ $$ 1. 泡利不相容原理:在一个原子中,不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态; 2. 能量最小原理:在原子系统内,每个电子趋向于占有最低的能级,当原子中电子的能量最小时,整个原子的能量最小,这时原子处于最稳定的状态,即基态。 -#### 一维势阱问题 +## 重要推导 -##### 无限深方势阱 +### 理想气体压强公式 -势阱中粒子可能的能量值为 +考虑一个边长为 $L$ 的立方体容器,内含 $N$ 个理想气体分子。假设一个速度为 $v$ 的分子,速度分量为 $(v_x,v_y,v_z)$,考虑该分子与垂直于 $x$ 轴的一个器壁的碰撞,碰撞前后动量变化量为 $$ -E=n^2\frac{h^2}{8ma^2} +\Delta p=2mv_x $$ -其中 $a$ 为无限深方势阱的宽度。 +该分子在 $x$ 方向来回碰撞一次所需时间为 -波函数 +$$ +\Delta t=\frac{2L}{v_x} +$$ + +对器壁的平均冲力为 $$ -\Psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x} +F_x=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L} $$ -概率密度 +所有 $N$ 个分子对该器壁的总冲力为 $$ -|\Psi^2(x)|=\frac{2}{a}\sin^2{\frac{n\pi}{a}x} +F=\sum F_x=\frac{m}{L}\sum v_x^2 $$ -##### 一维方势垒 +定义分子速度平方的平均值为 -一维线性谐振子势函数 +$$ +\overline{v_x^2}=\frac{1}{N}\sum v_x^2 +$$ + +总冲力可以写成 $$ -E_{\mathrm{p}}x=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2 +F=\sum F_x=\frac{m}{L}N\overline{v_x^2} $$ -其中 $m$ 为振子质量,$\omega$ 为固有频率; +代入压强公式 -能量本征值 +$$ +p=\frac{F}{L^2}=\frac{m}{L^3}N\overline{v_x^2}=\frac{m}{V}N\overline{v_x^2}=mn\overline{v_x^2} +$$ + +考虑速度的各向同性 $$ -E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu +\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2} +$$ + +代入得 + +$$ +p=\frac{1}{3}mn\overline{v^2} +$$ + +### 平均碰撞频率和平均自由程 + +分子被视为具有直径 $d$ 的硬球,在时间 $t$ 内,分子 $A$ 扫过的体积为 $\pi d^2\overline{v}t$,在该体积内,其他分子的平均数量为 $n\pi d^2\overline{v}t$,实际上,其他分子也在运动。需要考虑平均相对速度 + +$$ +v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{2}\overline{v} +$$ + +在时间 $t$ 内,分子 $A$ 与其他分子碰撞的次数为 $\sqrt{2}n\pi d^2\overline{v}t$,即 + +$$ +\overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n +$$ + +$$ +\overline{\lambda}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n} +$$ + +### 绝热过程方程 + +绝热过程 $\mathrm{d}Q=0$,因此 + +$$ +0=\mathrm{d}E+\mathrm{d}W=\nu C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V +$$ + +由 $pV=\nu RT$ 可得 + +$$ +p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=\nu R\mathrm{d}T +$$ + +消去 $\mathrm{d}T$ 得到 + +$$ +C_{V,\mathrm{m}}(p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p)=-pR\mathrm{d}V +$$ + +由 $R=C_{p,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}},\gamma=\frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}}$ 可解得 + +$$ +C_{V,\mathrm{m}}=\frac{R}{\gamma-1} +$$ + +代入可得 + +$$ +\gamma p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=0 +$$ + +即 + +$$ +\gamma\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{p} +$$ + +解得 + +$$ +\gamma\ln{V}+\ln{p}=\text{常量} +$$ + +即 + +$$ +pV^{\gamma}=\text{常量} +$$ + +### 卡诺循环效率 + +设 $T_1$ 为高温热源温度,$T_2$ 为低温热源温度。 + +$AB$ 等温膨胀 + +$$ +W_1=Q_1=\nu RT_1\ln{\frac{V_2}{V_1}} +$$ + +$BC$ 绝热膨胀 + +$$ +W_2=\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2) +$$ + +$CD$ 等温压缩 + +$$ +W_3=Q_2=-\nu RT_1\ln{\frac{V_3}{V_4}} +$$ + +$DA$ 绝热压缩 + +$$ +W_4=-\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2) +$$ + +由绝热方程 + +$$ +T_1V_2^{\gamma-1}=T_2V_3^{\gamma-1}\\ +T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_4^{\gamma-1} +$$ + +联立解得 + +$$ +\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4} +$$ + +即 + +$$ +\frac{Q_1}{|Q_2|}=\frac{T_1}{T_2} +$$ + +带入效率公式 + +$$ +\eta=1-\frac{T_2}{T_1} +$$ + +### 热力学第二定律的两种等效性表述 + +- 开尔文表述(Kelvin Statement): 不可能制成一种循环工作的热机,只从单一热源吸收热量,并将这热量完全变为功,而不产生其它影响。 +- 克劳修斯表述(Clausius Statement): 不可能把热量从低温物体传到高温物体,而不引起其它变化。 + +假设我们有一台设备(称为“反克劳修斯机”),它可以违反克劳修斯表述,即可以将热量自发地从低温热源(温度 $T_L$)转移到高温热源(温度 $T_H$),而不引起其他变化。 + +现在,我们将这台“反克劳修斯机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机(或其他任何循环工作的热机)组合起来。 + +- 卡诺热机从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1$,对外做功 $W$,并向低温热源 $T_L$ 释放热量 $Q_2$。 +- “反克劳修斯机”将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到高温热源 $T_H$,不引起其他变化。 + +这样,整个联合系统就构成了一个循环: + +- 从高温热源 $T_H$ 净吸收热量 $Q_1 - Q_2$。 +- 对外做功 $W = Q_1 - Q_2$。 +- 低温热源 $T_L$ 没有净热量交换。 + +这个联合系统只从单一高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1 - Q_2$,并将其完全转化为功 $W$,而没有产生其他影响。这违反了开尔文表述。 + +因此,如果违反克劳修斯表述,则必然违反开尔文表述。 + +同理,假设我们有一台设备(称为“反开尔文机”),它可以违反开尔文表述,即可以只从单一热源(假设为高温热源 $T_H$)吸收热量 $Q$,并将其完全转化为功 $W$,而不产生其他影响。 + +现在,我们将这台“反开尔文机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机(或其他任何循环工作的热机)组合起来,但这次我们让卡诺热机逆向运行,即作为制冷机运行。 + +- “反开尔文机”从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q$,并将其完全转化为功 $W$。 +- 卡诺制冷机消耗功 $W$,从低温热源 $T_L$ 吸收热量 $Q_2$,并向高温热源 $T_H$ 释放热量 $Q_1 = Q_2 + W$。 + +这样,整个联合系统就构成了一个循环: + +- 高温热源 $T_H$ 净释放热量 $Q_1 - Q = Q_2 + W - Q = Q_2$(因为 $W = Q$)。 +- 低温热源 $T_L$ 净吸收热量 $Q_2$。 +- 系统没有对外做功,也没有消耗功。 + +这个联合系统没有消耗功,就将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到了高温热源 $T_H$,而没有引起其他变化。这违反了克劳修斯表述。 + +因此,如果违反开尔文表述,则必然违反克劳修斯表述。 + +从而证明了两种表述的等价性。 + +### 薄膜干涉光程差 + +由于内容较简单且需要画图进行几何推导,请自行查阅教材。 + +### 一维无限深方势阱 + +粒子在势阱中 $E_{\mathrm{p}}=0$,定态薛定谔方程为 + +$$ +\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2mE}{h^2}\psi(x)=0 +$$ + +令 + +$$ +k=\sqrt{\frac{8\pi^2mE}{h^2}} +$$ + +则上式可写成 + +$$ +\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+k^2\psi(x)=0 +$$ + +通解为 + +$$ +\psi(x)=A\sin{kx}+B\cos{kx} +$$ + +波函数必须满足边界条件 $\psi(0)=0$,解得 $B=0$ + +$$ +\psi(x)=A\sin{kx} +$$ + +由边界条件 $\psi(a)=0$,得 + +$$ +ka=n\pi +$$ + +$$ +k=\frac{n\pi}{a} +$$ + +联立可解得 + +$$ +E=n^2\frac{h^2}{8ma^2} +$$ + +由归一化条件可得 + +$$ +A^2\int_0^a\sin^2{\frac{n\pi}{a}x}\ \mathrm{d}x=1 +$$ + +解得 + +$$ +A=\sqrt{\frac{2}{a}} +$$ + +于是 + +$$ +\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x} $$