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Logica/appunti/main.tex → Logica/appunti/Logica-e-Algebra-2.tex

@@ -16,7 +16,7 @@
 \usepackage{multicol}
 
 \newcommand{\RomanNumber}[1]{
-  \textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral#1}}
+    \textup{\uppercase\expandafter{\romannumeral#1}}
 }
 
 \begin{document}

Logica/appunti/lectures/2024_09_26.tex

@@ -25,7 +25,7 @@
 \begin{example}
     \
     \begin{itemize}
-        \item Siano $M_1 = (\mathcal{P}(X), \cup) \text{ e } M_2 = (\mathcal{P}(X), \cup), \text{ dove } X$
+        \item Siano $M_1 = (\mathcal{P}(X), \cap) \text{ e } M_2 = (\mathcal{P}(X), \cup), \text{ dove } X$
               è un insieme. Sia $f : M_1 \rightarrow M_2$ definita ponendo $f(A) = A^C , \forall A \subseteq X$.
               la funzione $f$ è biunivoca. Inoltre, dalle formule di De Morgan segue che $f(A \cap B) =
                   (A \cap B)^C = A^C \cup B^C = f(A) \cup f(B)$. Quindi $f$ è un isomorfismo di monoidi, poiché
@@ -51,7 +51,7 @@
 \end{itemize}
 La funzione $F : M \rightarrow Mat_{n \times n} (\mathbb{Z})$ ($x \mapsto A(x)$) è iniettiva.
 
-Infatti, se $A(x) = a(y)$, allora $A(x)_{i1} = A(y)_{i1} \; \forall i \in \{1,\ldots,n\}$.
+Infatti, se $A(x) = A(y)$, allora $A(x)_{i1} = A(y)_{i1} \; \forall i \in \{1,\ldots,n\}$.
 
 Quindi se $A(x)_{i1} = A(y)_{i1} = 1$, allora $xx_1 = xe = x = yx_1 = y$.
 

Logica/appunti/lectures/2024_09_27.tex

@@ -49,7 +49,7 @@ \section{Relazioni}
     \begin{itemize}
         \item L'uguaglianza "$=$" è una relazione di equivalenza
               su ogni insieme $X$.
-        \item Sia $X = \{1,2,\ldots,n\}$. Definiamo si $\mathcal{P}(X)$
+        \item Sia $X = \{1,2,\ldots,n\}$. Definiamo su $\mathcal{P}(X)$
               la seguente relazione:
               $A \sim B \iff |A| = |B|, \forall A,B \subseteq X$.
               Questa è una relazione di equivalenza e $\nicefrac{\mathcal{P}(X)}{\sim}
@@ -75,9 +75,8 @@ \section{Relazioni}
     Il numero $\binom{n}{k}$ è chiamato \textbf{coefficiente binomiale}, questo perché $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^n y^{n-k}, \forall x,y \in \mathbb{C} $
 \end{definition}
 
-\section{Insieme quoziente per gruppi abeliani}
 
-Se $G$ è un gruppo abeliano, possiamo definire la seguente operazione "$+$"
+Se $G$ è un gruppo abeliano e $H$ un suo sottogruppo, possiamo definire la seguente operazione "$+$"
 su \nicefrac{G}{H}: $[g_1] + [g_2] := [g_1 + g_2]$, vediamo che è ben definita:
 se $g_{1}' = g_1 + h_1 \text{ e } g_{2}' = g_2 + h_2$, allora $[g_{1}'] = [g_1]
 $, $[g_{2}'] = [g_2]$ e $g_{1}' + g_{2}' = g_1 + h_1 + g_2 + h_2 = g_1 + g_2 + h$,
@@ -137,7 +136,7 @@ \section{Insieme quoziente per gruppi abeliani}
 
 Infatti $[g] = \{gh : h \in  H\}$ e $gh_1 = gh_2 \rightarrow h_1 = h_2$.
 
-Poiché le classi di quivalenza sono una partizione di G , abbiamo $|G| = |\nicefrac{G}{H}| \cdot |H|$.
+Poiché le classi di equivalenza sono una partizione di G , abbiamo $|G| = |\nicefrac{G}{H}| \cdot |H|$.
 
 In particolare la cardinalità o (\textbf{ordine}) di un sottogruppo di un gruppo finito divide la cardinalità del gruppo.
 \end{document}

Logica/appunti/lectures/2024_10_03.tex

@@ -23,7 +23,7 @@
                   \item $\langle \overline{2} \rangle = \{\overline{0}, \overline{2}\} \simeq \mathbb{Z}_2$ ($2+2=0$)
                   \item $\langle \overline{3} \rangle = \mathbb{Z}_4$ ($3 , 3+3=6=2, 3+2=5=1, 3+1=4=0$)
               \end{itemize}
-              I sottogruppi di $\mathbb{Z}_4$ possono averer cardinalità $1,2,4$. L'insieme
+              I sottogruppi di $\mathbb{Z}_4$ possono avere cardinalità $1,2,4$. L'insieme
               dei sottogruppo di $\mathbb{Z}_4$ è $\{\{\overline{0}\}, \{\overline{0}, \overline{2}\},
                   \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}\}= \mathbb{Z}_4\}$
         \item $G = \mathbb{Z}_6 = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\}$, \
@@ -35,7 +35,7 @@
                   \item $\langle \overline{4} \rangle = \{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\} \simeq \mathbb{Z}_3$
                   \item $\langle \overline{5} \rangle = \mathbb{Z}_6$
               \end{itemize}
-              I sottogruppi di $\mathbb{Z}_6$ possono averer cardinalità $1,2,3,6$. L'insieme dei sottogruppo di $\mathbb{Z}_6$ è $\{\{\overline{0}\}, \{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}, \{\overline{0}, \overline{3}\}, \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\}= \mathbb{Z}_6\}$
+              I sottogruppi di $\mathbb{Z}_6$ possono avere cardinalità $1,2,3,6$. L'insieme dei sottogruppo di $\mathbb{Z}_6$ è $\{\{\overline{0}\}, \{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4}\}, \{\overline{0}, \overline{3}\}, \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}\}= \mathbb{Z}_6\}$
     \end{itemize}
 \end{example}
 

Logica/appunti/lectures/2024_10_18.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ \section{Anelli quoziente}
 
 Infatti, mostriamo che l'operazione è ben definita. Siano $x' \in [x]$ e $y' \in [y]$. Allora esistono $i_x \in I$ e $i_y \in I$ tali che $x' = x + i_x$ e $y' = y + i_y$.
 
-Quindi $x'y' = (x + i_x) (y + i_y) = xy + \underbrace{x i_y + y i_x + i_x i_y}_{\in I \text{ perchè $I$ è un ideale di $A$ }}$
+Quindi $x'y' = (x + i_x) (y + i_y) = xy + \underbrace{x i_y + y i_x + i_x i_y}_{\in I \text{ perché $I$ è un ideale di $A$ }}$
 
 Quindi $[x'y'] = [xy]$.
 
@@ -32,7 +32,7 @@ \section{Anelli quoziente}
                       $\overline{1}$ & $\overline{0}$ & $\overline{1}$
                   \end{tabular}
               \end{center}
-        \item $\mathbb{Z}_3 \simeq \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}$ è un campo perchè $\overline{1}$ è invertibile e $\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{1}$, quindi anche $\overline{2}$ è invertibile.
+        \item $\mathbb{Z}_3 \simeq \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}\}$ è un campo perché $\overline{1}$ è invertibile e $\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{1}$, quindi anche $\overline{2}$ è invertibile.
               \begin{center}
                   \begin{tabular}{ c | c | c | c}
                       $\cdot$        & $\overline{0}$ & $\overline{1}$ & $\overline{2}$ \\ \hline
@@ -146,7 +146,7 @@ \section{Equazioni diofantee lineari}
 \end{proof}
 
 \begin{example}
-    l'equazione diofantea: $365x - 1876y = 24$ ha soluzione perchè $MCD \{365,1876\} = 1$ e $1 \mid 24$.
+    l'equazione diofantea: $365x - 1876y = 24$ ha soluzione perché $MCD \{365,1876\} = 1$ e $1 \mid 24$.
 
     Avevamo l'identità di Bézout $365(-699) - 1876(-136) = 1$, moltiplicando per 24 otteniamo $365(-699 \cdot 24) - 1876(-136 \cdot 24) = 24$.
 

Logica/appunti/lectures/2024_11_07.tex

@@ -56,7 +56,7 @@
 Poiche $F[X]$ è ad ideali principali, $Ker(v_\alpha) = \langle m(X)\rangle$ dove $m(X)$ è l'unico polinomio monico di grado minimo in $Ker(v_\alpha)$.
 
 \begin{definition}[Polinomio Minimo]
-    Se $\alpha \in K$ è algebrico su F, il polinomio $m(X)$ definito sopra si chiama \textbf{polinomio minimmo di $\alpha$ su F}, se $deg(m(X)) = n$, $\alpha $ si dice algebrico di grado $n$
+    Se $\alpha \in K$ è algebrico su F, il polinomio $m(X)$ definito sopra si chiama \textbf{polinomio minimo di $\alpha$ su F}, se $deg(m(X)) = n$, $\alpha $ si dice algebrico di grado $n$
 \end{definition}
 
 \begin{note}
@@ -80,13 +80,13 @@
 
     Sia $c \in F$ e si consideri il polinomio costante $c \in F[X]$. Allora $v_\alpha(c)=c$.
 
-    Quindi $F \subseteq Im(v_\alpha)$ e $v_\alpha(X) = \alpha \implies \alpha \in Im(v_\alpha)$ d'altra parte per chiusura aditiva e moltiplicativa, ogni sottoanello di $K$ contenete sia $F$ che $\alpha$ contiene anche $Im(v_\alpha)$.
+    Quindi $F \subseteq Im(v_\alpha)$ e $v_\alpha(X) = \alpha \implies \alpha \in Im(v_\alpha)$ d'altra parte per chiusura additiva e moltiplicativa, ogni sottoanello di $K$ contenete sia $F$ che $\alpha$ contiene anche $Im(v_\alpha)$.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
     Sia $F \subseteq K$ un ampliamento di campi e sia $\alpha \in K$.
 
-    Il più piccolo sottocampo di K contenente sia $F$ che $\alpha$ si chiama \textbf{ampliamento di F in K generato da $\alpha$} e si indica con \textbf{F($\alpha$)} tale ampliamento si dice \textbf{semplice} (poichè generato da un solo elemento)
+    Il più piccolo sottocampo di K contenente sia $F$ che $\alpha$ si chiama \textbf{ampliamento di F in K generato da $\alpha$} e si indica con \textbf{F($\alpha$)} tale ampliamento si dice \textbf{semplice} (poiché generato da un solo elemento)
 \end{proposition}
 
 da questa proposizione segue questo Corollario:
@@ -132,6 +132,6 @@
 \begin{proof}
     $\mathbb{F}_p(\alpha)$ è il più piccolo sottocampo di $\mathbb{F}_{p^n}$ contenente sia $\mathbb{F}_p$ che $\alpha$ quindi $\mathbb{F}_p(\alpha) \subseteq \mathbb{F}_{p^n}$.
 
-    Poiché $\alpha$ genera il gruppo moltiploicativo $\mathbb{F}_{p^n} \setminus \{0\}$ anche $\mathbb{F}_{p^n} \subseteq \mathbb{F}_p(\alpha)$
+    Poiché $\alpha$ genera il gruppo moltiplicativo $\mathbb{F}_{p^n} \setminus \{0\}$ anche $\mathbb{F}_{p^n} \subseteq \mathbb{F}_p(\alpha)$
 \end{proof}
 \end{document}

Logica/appunti/lectures/2024_11_08.tex

@@ -35,7 +35,7 @@
             F(\alpha) \simeq \nicefrac{F[X]}{\langle m(X)\rangle} \arrow{ur}{\varphi}
         \end{tikzcd}
     \end{equation*}
-    Infatti $Ker(v_\beta) = \langle m(X)\rangle$, essedo $m(X)$ irriducibile.
+    Infatti $Ker(v_\beta) = \langle m(X)\rangle$, essendo $m(X)$ irriducibile.
 
     Quindi abbiamo trovato un morfismo iniettivo $\varphi : F(\alpha) \rightarrow K'$ che soddisfa le proprietà dell'enunciato.
 \end{proof}
@@ -64,7 +64,7 @@
 
 Per il teorema di Ruffini, $K$ è un campo di spezzamento di $X^{p^n} - X$.
 
-Adesso mostriamo che ogni poliniomio di grado n irriducibile in $\mathbb{F}_p[X]$ divide $X^{p^n} - X\ \in \mathbb{F}_p[X]$.
+Adesso mostriamo che ogni polinomio di grado n irriducibile in $\mathbb{F}_p[X]$ divide $X^{p^n} - X\ \in \mathbb{F}_p[X]$.
 
 \begin{proposition}
     Tutti e soli i polinomi irriducibili su $\mathbb{F}_p$ di grado $n$ dividono $X^{p^n} - X \in \mathbb{F}_p[X]$.
@@ -75,7 +75,7 @@
 
     Allora $K$ ha $p^n$ elementi che sono le radici di $X^{p^n} - X \in K[X]$.
 
-    Poichè $Y \in K$ è una radice $P(X) \in K[X]$, $P(X)$ e $X^{p^n} - X$ hanno una radice in comune in K, allora per il teorema di Ruffini hanno un fattore comune $X - Y \in K[X]$.
+    Poiché $Y \in K$ è una radice $P(X) \in K[X]$, $P(X)$ e $X^{p^n} - X$ hanno una radice in comune in K, allora per il teorema di Ruffini hanno un fattore comune $X - Y \in K[X]$.
 
     Quindi, poiché $\mathbb{F}_p \subseteq K$ e $MCD$ in $\mathbb{F}_p = MCD$ in $K[X] \implies P(X), X^{p^n} - X$ hanno $MCD \neq 1$ in $\mathbb{F}_p[X]$.
 
@@ -209,7 +209,7 @@
         \Phi(xy)    & = (xy)^p = x^p y^p = \Phi(x) \Phi(y)
     \end{align*}
 
-    Se $K = \mathbb{F}_{p^n}, \Phi$ è un automorfismo (essendo morfismo initettivo da un campo di cardinalità finita in se stesso) detto \textbf{automorfismo di Frobenius}.
+    Se $K = \mathbb{F}_{p^n}, \Phi$ è un automorfismo (essendo morfismo iniettivo da un campo di cardinalità finita in se stesso) detto \textbf{automorfismo di Frobenius}.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}

Logica/appunti/lectures/2024_11_14.tex

@@ -13,7 +13,7 @@
     Quindi $X^d - 1$ divide $X^n - 1$ s.s.e. $X^r - 1$ è il polinomio nullo, cioè s.s.e. $r = 0$
 \end{proof}
 
-Dalla fattorizzazione nella dimostrazione del lemma otteniamo che, calcolazndo in p, se $p^d - 1$ divide $p^n - 1$ allora d divide n.
+Dalla fattorizzazione nella dimostrazione del lemma otteniamo che, calcolando in p, se $p^d - 1$ divide $p^n - 1$ allora d divide n.
 
 \begin{corollary}
     $d$ divide $n \iff (X^{p^d} - X)$ divide $(X^{p^n} - X)$ in $\mathbb{F}_p[X]$.
@@ -67,7 +67,7 @@
               \item $K_1$ e $K_2$ sono campi di spezzamento di $X^{p^n} - X \in \mathbb{F}_p[X]$.
               \item Ogni polinomio irriducibile di grado n in $\mathbb{F}_p[X]$ è fattore di $X^{p^n} - X$.
               \item Da b) segue che $Q$ ha una radice in $K_2$, la chiamiamo $\beta$.
-              \item L'assegnazione $\alpha \rightarrow \beta$ definisce un mofismo di campi da $K_1$ in $K_2$.
+              \item L'assegnazione $\alpha \rightarrow \beta$ definisce un morfismo di campi da $K_1$ in $K_2$.
 
                     Poiché un morfismo tra campi è sempre iniettivo, ed essendo anche suriettivo, perché $K_1$ e $K_2$ hanno la stessa cardinalità, è un isomorfismo:
                     \begin{equation*}
@@ -120,7 +120,7 @@ \section{Algoritmo di Berlekamp}
     \end{align*}
     Poiché $deg(h - i) < deg(f), MCD\{f, h - i\} \neq f(x), \forall i \in \mathbb{F}_p$.
 
-    Quindi nella fattoriazzazione precedente appaiono solo polinomi di grado $< d$, perciò è non banale.
+    Quindi nella fattorizzazione precedente appaiono solo polinomi di grado $< d$, perciò è non banale.
 \end{proof}
 
 \begin{proposition}
@@ -153,9 +153,9 @@ \section{Algoritmo di Berlekamp}
 
     Dobbiamo mostrare che esistono soluzioni non nulle.
 
-    Sia $f(x) = p_1(x) \ldots p_k(x)$ una fattoriazzazione di $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ in fattori irriducibili.
+    Sia $f(x) = p_1(x) \ldots p_k(x)$ una fattorizzazione di $f(x) \in \mathbb{F}_p[x]$ in fattori irriducibili.
 
-    Supponiamo che $f$ non habbia fattori multipli (verificabile con Teorema seguente).
+    Supponiamo che $f$ non abbia fattori multipli (verificabile con Teorema seguente).
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}

Logica/appunti/lectures/2024_11_16.tex

@@ -64,7 +64,7 @@
 
 Sia $f(x) \mathbb{F}_p[x], deg(f) = d$.
 
-Sia $f(x) = p_1(x)\cdot \ldots \cdot p_k(x)$ una fattoriazzazione di $f(x)$ in fattori irriducibili, non banali (cioè di grado $\geq 1$) e aventi molteplicità $1$. siano
+Sia $f(x) = p_1(x)\cdot \ldots \cdot p_k(x)$ una fattorizzazione di $f(x)$ in fattori irriducibili, non banali (cioè di grado $\geq 1$) e aventi molteplicità $1$. siano
 \begin{align*}
     r_0       & = 1 \bmod f(x)            \\
     r_1       & = x^p \bmod f(x)          \\
@@ -73,7 +73,7 @@
 \end{align*}
 Con $deg(r_i) < d \forall 0 \leq i \leq d - 1$.
 
-Definiamo la matrice $A \in Mat_{d \times d}(\mathbb{F}_p)$ nel segueente modo:
+Definiamo la matrice $A \in Mat_{d \times d}(\mathbb{F}_p)$ nel seguente modo:
 
 $A_{ij} = $ coefficiente del termine di grado i del polinomio $r_j(x)$
 \begin{example}
@@ -283,7 +283,7 @@ \section{Prodotto tra matrici}
 
 Nell'algoritmo di Strassen per matrici 2 x 2 si eseguono 7 moltiplicazioni.
 
-L'algoritmo può anche essere usato ricorsivamente per moltiplicare matici più grandi. Ad esempio, se $M, N \in Mat_{4 \times 4}(K)$, possiamo scrivere:
+L'algoritmo può anche essere usato ricorsivamente per moltiplicare matrici più grandi. Ad esempio, se $M, N \in Mat_{4 \times 4}(K)$, possiamo scrivere:
 \begin{equation*}
     M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \quad \text{e} \quad N = \begin{pmatrix} A' & B' \\ C' & D' \end{pmatrix} \qquad
     \text{dove} \quad A, B, C, D, A', B', C', D' \in Mat_{2 \times 2}(K)
@@ -312,7 +312,7 @@ \section{Prodotto tra matrici}
 
 Quindi l'algoritmo di Strassen per il prodotto tra due matrici 4 x 4 richiede $7^2$ moltiplicazioni.
 
-Se vogliamo moltiplicare matrici 3 x 3 possiamo aggiungerre una riga e una colonna di zeri e considerarle 4 x 4.
+Se vogliamo moltiplicare matrici 3 x 3 possiamo aggiungere una riga e una colonna di zeri e considerarle 4 x 4.
 
 In generale la moltiplicazione di due matrici n x n usando l'algoritmo di Strassen richiede $7^k$ moltiplicazioni. Se $n = 2^k$ abbiamo che:
 \begin{equation*}
@@ -327,7 +327,7 @@ \section{Prodotto tra matrici}
 
 L'algoritmo di Strassen mostra che $w \leq 2.81$.
 
-Se $n = 2$ l'algoritmo di Strassen è ottimale (dal Teorema di Brockett- Dobkin).
+Se $n = 2$ l'algoritmo di Strassen è ottimale (dal Teorema di Brockett-Dobkin).
 
 Non è noto un algoritmo ottimale per la moltiplicazione matrici 3 x 3.
 

Logica/appunti/lectures/2024_11_21.tex

@@ -169,7 +169,7 @@ \section{Anello degli endomorfismi}
 
 \section{Spazio duale di uno spazio vettoriale}
 \begin{definition}[Spazio Duale]
-    Sia $V$ unio spazio vettoriale di dimenzione n su un campo $K$.
+    Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione n su un campo $K$.
 
     Sia $\{e_1, \ldots, e_n\}$ una base di $V$.
 
@@ -307,7 +307,7 @@ \section{Forme bilineari e prodotto tensoriale}
     \end{equation*}
 \end{example}
 
-Ad una forma bilineare $f$ su $V$ possimao associare una matrice $M(f)$ in $Mat_{n \times n}(K)$ nel seguente modo.
+Ad una forma bilineare $f$ su $V$ possiamo associare una matrice $M(f)$ in $Mat_{n \times n}(K)$ nel seguente modo.
 
 La componente $M(f)_{ij}$ di coordinate $i, j$ è l'elemento $f(e_i, e_j) \in K$, In tal modo $f(u, v) = \langle u, M(f)v\rangle$ $\forall u, v \in V$.