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Corrected 15 Typos in L02
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@SebastianZug
SebastianZug authored Oct 23, 2023
2 parents c931f1d + d8ee04f commit 827f5e8
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31 changes: 16 additions & 15 deletions 02_BoolscheAlgebra.md
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Expand Up @@ -12,14 +12,14 @@ import: https://raw.githubusercontent.com/LiaTemplates/NetSwarm-Simulator/mast

[![LiaScript](https://raw.githubusercontent.com/LiaScript/LiaScript/master/badges/course.svg)](https://liascript.github.io/course/?https://raw.githubusercontent.com/TUBAF-IfI-LiaScript/VL_EingebetteteSysteme/master/02_BoolscheAlgebra.md#1)

# Boolsche Algebra
# Boolesche Algebra

| Parameter | Kursinformationen |
| ------------------------ | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
| **Veranstaltung:** | @config.lecture |
| **Semester** | @config.semester |
| **Hochschule:** | `Technische Universität Freiberg` |
| **Inhalte:** | `Boolsche Algebra` |
| **Inhalte:** | `Boolesche Algebra` |
| **Link auf GitHub:** | [https://github.com/TUBAF-IfI-LiaScript/VL_EingebetteteSysteme/blob/master/02_BoolscheAlgebra.md](https://github.com/TUBAF-IfI-LiaScript/VL_EingebetteteSysteme/blob/master/02_BoolscheAlgebra.md) |
| **Autoren** | @author |

Expand All @@ -29,8 +29,8 @@ import: https://raw.githubusercontent.com/LiaTemplates/NetSwarm-Simulator/mast

** Fragen an die Veranstaltung**

+ Nennen Sie die Axiome der Boolschen Algebra.
+ Erläutern Sie das Dualitätsprinzip der Boolschen Algebra.
+ Nennen Sie die Axiome der Booleschen Algebra.
+ Erläutern Sie das Dualitätsprinzip der Booleschen Algebra.
+ Wie viele Schaltfunktionen existieren für 2 Eingangsvariablen?
+ Nennen Sie 3 Beispiele, wie eine Schaltfunktion technisch umgesetzt werden kann.
+ Welcher Unterschied besteht zwischen der DNF und der KDNF?
Expand Down Expand Up @@ -149,7 +149,7 @@ Die Eingabe erfolgte durch Verbinden der Komponenten mittels Programmierschnüre

> Wem jetzt gleich die Parallelität zu der Stecker-basierten Programmierung des ENIAC einfällt ... Vorsicht, dieser war ein Digitalrechner!
Zur Auswertung stand zurVerfügung:
Zur Auswertung stand zur Verfügung:

+ 6-Strahl-Oszilloskop OPD 280 U
+ X-Y-Schreiber BAK 5 T
Expand All @@ -171,7 +171,7 @@ Zur Auswertung stand zurVerfügung:

> Digitalisierung: Aufteilung des kontinuierlichen Spektrums in erlaubte und verbotene Bereiche
Verschiedene Standards definieren unterschiedliche Spannungspotentiale für einen High- und einen Low-Pegel. Dazwischen
Verschiedene Standards definieren unterschiedliche Spannungspotentiale für einen High- und einen Low-Pegel. Dazwischen befindet sich der verbotene Bereich.

<!--
style="width: 80%; min-width: 420px; max-width: 720px;"
Expand Down Expand Up @@ -246,14 +246,14 @@ Dazu beschreiben wir die Wirkung des elektrischen Stromes
****************************************************************

## Boolsche Algebra
## Boolesche Algebra

Historische Entwicklung:

+ Aristoteles 384-322 v.Chr. begründet „Syllogistik“ Lehre von den logischen Schlussformen
+ Aristoteles (384-322 v.Chr.) begründet „Syllogistik“ Lehre von den logischen Schlussformen
+ Später bilden die Stoiker die Syllogistik als Aussagenlogik weiter aus. Im Mittelalter → Scholastik
+ George Boole (1815-1864) 1854 mathematische Formalisierung in _„An Investigation of the Laws of Thought on which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities"_.
+ Claude Shannon (1916-2001) hat im Rahmen seiner Masterarbeit: _„On the Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (1940)“_, gezeigt, dass man die Boolsche Algebra zur Beschreibung von Schaltkreisen anwenden kann.
+ Claude Shannon (1916-2001) hat im Rahmen seiner Masterarbeit _„On the Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits (1940)“_, gezeigt, dass man die Boolsche Algebra zur Beschreibung von Schaltkreisen anwenden kann.

![Shannon](./images/02_BoolscheAlgebra/ClaudeShannon_MFO3807.jpg "Claude Shannon [^Shannon]")<!-- width="40%" -->

Expand All @@ -273,20 +273,21 @@ __Lösung:__ Boolesche Algebra basierend auf den Vorarbeiten von G. Boole aus de
+ drei Boolesche Operationen: + , $\cdot$ sowie „not"
+ vier Axiome

Die Boolsche Algebra basiert nach [Huntington](https://de.wikipedia.org/wiki/Edward_Vermilye_Huntington) auf einer Trägermenge

Die Boolesche Algebra basiert nach [Huntington](https://de.wikipedia.org/wiki/Edward_Vermilye_Huntington) auf einer Trägermenge
$B \{0,1\}$ (Zuständen) mit zwei Verknüpfungen auf $B$ für deren Element $a\in B$, $b\in B$ und $c\in B$ gilt:

| Axiom | Definition |
| --------------------------------- | ---------- |
| Kommutativität | $\begin{aligned} a + b &= b + a \\ a \cdot b &= b \cdot a\end{aligned}$ |
| Distributivität | $\begin{aligned} a \cdot (b + c) &= (a \cdot b) + (a \cdot c) \\ a + (b \cdot c) &= (a + b) \cdot (a+c) \end{aligned}$ |
| Existenz eines neutralen Elements | $\begin{aligned} 0 + a &= a \\ 1\cdot a &= a\end{aligned}$ |
| Exisitenz von Komplementen | $\begin{aligned} a + \overline{a} &= 1 \\ a \cdot \overline{a} &= 0 \end{aligned}$ |
| Existenz von Komplementen | $\begin{aligned} a + \overline{a} &= 1 \\ a \cdot \overline{a} &= 0 \end{aligned}$ |

{{1}}
****************************************************************

Aus dieser Definition lassen sich die zugehörigen Gesetze der boolschen Algebra ableiten:
Aus dieser Definition lassen sich die zugehörigen Gesetze der booleschen Algebra ableiten:

| Gesetz | Definition |
| -------------------- | ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ |
Expand All @@ -302,7 +303,7 @@ Aus dieser Definition lassen sich die zugehörigen Gesetze der boolschen Algebra
{{2}}
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> Dualitätsprinzip der Boolschen Algebra ... Ersetzt man gleichzeitig in einem Axiom UND durch ODER und ODER durch UND sowie 1 durch 0 und 0 durch 1, so erhält man das zu diesem Axiom gehörige duale Axiom. Führt man diese Ersetzung in einem Theorem aus, so erhält man das zu diesem Theorem gehörige duale Theorem.
> Dualitätsprinzip der Booleschen Algebra ... Ersetzt man gleichzeitig in einem Axiom UND durch ODER und ODER durch UND sowie 1 durch 0 und 0 durch 1, so erhält man das zu diesem Axiom gehörige duale Axiom. Führt man diese Ersetzung in einem Theorem aus, so erhält man das zu diesem Theorem gehörige duale Theorem.
<!-- data-type="none" -->
| Form 1 | Form 2 |
Expand All @@ -325,7 +326,7 @@ $$

## Anwendung

Regeln zur Umformung Boolscher Gleichungen
Regeln zur Umformung Boolescher Gleichungen

+ Unabhängige Auswertung: Jeder Ausdruck auf der linken oder rechten Seite einer Gleichung kann durch einen anderen ersetzt werden, der mit ihm identisch ist, d.h. man kann die Ausdrücke links und rechts unabhängig voneinander vereinfachen.

Expand Down Expand Up @@ -531,7 +532,7 @@ Wir gehen bei der Frage der Schaltnetze in Vorlesung 04 nochmals auf die technis

## Hausaufgaben

1. Geben Sie für die nachfolgend dargestellte Schaltung eine boolsche Funktion an. Bilden Sie diese in einer Wahrheitstafel ab.
1. Geben Sie für die nachfolgend dargestellte Schaltung eine boolesche Funktion an. Bilden Sie diese in einer Wahrheitstafel ab.

![instruction-set](./images/02_BoolscheAlgebra/Schaltwerk2.png)<!-- width="65%" -->

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