feat(appunti): [Anno1] Matematica discreta

triennale/Anno 1/Matematica Discreta/Modulo 2/Applicazioni lineari.md

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+>**DEF:**
+>Siano $U$ e $V$ sp. vett. sullo stesso campo $\mathbb{K}$. Una _applicazione_ $L:U \rightarrow V$ è detta _**lineare**_ se 
+>$$L(\lambda \cdot u_{1} + \mu \cdot u_{2}) = \lambda\cdot L(u_{1}) + \mu \cdot L(u_{2})$$
+>$$operazioni\space  in \space U = operazioni \space in \space V$$
+
+Dato un vettore $u \in U$ ad esso si associa la sua combinazione lineare $L(u) \in V$. 
+Pertanto la combinazione lineare della somma di vettori di uno scalare equivale alla somma delle combinazioni lineari di ogni vettore, ognuno moltiplicato per uno scalare.
+
+**Quando un app. è lineare?**
+
+Un’applicazione lineare si ha quando applicando lo 0 vettore in entrata, si ha il vettore nullo in uscita.
+
+***
+
+**DEF:** 
+Sia $L:U\rightarrow V$ lineare 
+
+>$KER(L) = \{u\in U |L(u) = \bar{o}_{v}\} = L^{-1}(\bar{o}_{v})$ 
+
+>$IM(L)=\{ L(u)|u \in U\}$
+
+entrambi sono dei sottospazi
+>$KER(L)\subseteq U$
+>$IM(L)\subseteq V$ 
+
+Il kernel non è vuoto contiene sempre almeno lo zero vettore che è diverso dal vuoto
+L'immagine no è mai vuota dato che c'è sempre lo zero vettore essendo che $KER \subseteq IM$ 
+
+**TH:**
+$KER(L) \le U$ (ker è un sottospazio di U)
+$IM(L) \le V$ (Im è un sottospazio di V)
+
+**dim:**
+è vero che l'immagine del kernel è lo zero vettore?
+$u_{1},u_{2} \in KER(L)$
+$\lambda u_{1} + \mu u_{2} \in KER(L)$?
+
+se $L(\lambda u_{1} + \mu u_{2} )= \bar{o}_{v}$
+allora $\lambda L(u_{1}) + \mu L(u_{2})= \bar{o}_{v}$ dato che $\lambda L(u_{1}) = \mu L(u_{2})=\bar{o}_{v}$
+
+****
+
+>**TH:**
+>$L:U\rightarrow V$ ed $u_{1},...,u_{n}$ è una base di $U$ allora $$IM(L)= <L(u_{1}),...,L(u_{n})>$$ insieme di COMBINAZIONI LINEARI che generano una BASE -> detti generatori
+
+Per trovare l'immagine si fa l'applicazione sulla base canonica rispettivamente all'insieme di arrivo per poi formare una matrice mettendo i vettori risultatnti in colonna. Il rango della matrice è la dimensione dell'immagine.
+
+**TH della DIMENSIONE:**
+Sia $L:U \rightarrow V$ lineare allora $$dim(KER(L)) + dim(IM(L)) = dim(U)$$
+posso calcolare o la dimensione dell'immagine senza calcolare l'immagine con:
+$$dim(IM(L)) = dim(U) - dim(KER(L))$$
+o posso calcolare la dimensione del kernel senza calcolare il kernel con:
+$$dim(KER(L)) = dim(U) - dim(IM(L))$$
+****
+
+**PROP:**
+Sia $L:U \rightarrow V$ lineare allora 
+- $L$ è INIETTIVA se e solo se $KER(L)=(\bar{o}_{v})$ ossia la sua dimensione è $0$ 
+- $L$ è SURIETTIVA se e solo se $IM(L)= V$ 
+
+se $L$ è sia iniettiva che suriettiva allora $L$ si dice _**ISOMORFISMO**_ 
+
+**PROP:**
+Se $L$ è un isomorfismo allora $L^{-1}$ è lineare.
+
+
+

triennale/Anno 1/Matematica Discreta/Modulo 2/Auto valori, Auto Vettori e diagonalizzazione.md

@@ -0,0 +1,114 @@
+>**DEF:** 
+>Sia $A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ un elemento $\lambda \in (\mathbb{R})$ si dice autovalore di $A$ se _esiste_ un vettore $V\in(\mathbb{R})^{n}\textbackslash \{\bar{o}\}$ tale che $$A\cdot V = \lambda \cdot V$$
+>il vettore $V$ di dice _AUTOVALORE_ di $A$ _relativo_ all'autovalore $\lambda$ .
+>
+>L'**auto-spazio** relativo a $\lambda$ $$A_{\lambda} = \{V \in \mathbb{R}^{n} | A\cdot V = \lambda \cdot V \} \leq \mathbb{R}^{n}$$
+>La dimensione dell'auto-spazio deve essere maggiore di $0$ (almeno 1). Per DEFINIZIONE contiene un vettore **non nullo**.
+
+Es:
+$$A =
+\begin{pmatrix}
+  2 & 3 \\
+  1 & 4 \\
+\end{pmatrix}$$
+$$A-\lambda\Pi_{2}=
+\begin{pmatrix}
+  2-\lambda & 3 \\
+  1 & 4-\lambda \\
+\end{pmatrix}
+$$
+ed andando a determinare il polinomio caratteristico
+$$DET(A-\lambda\Pi_{2})= (2-\lambda)(4-\lambda) -3 = \lambda^{2} -6\lambda +5
+$$
+trovando le radici abbiamo
+$$DET(A-\lambda\Pi_{2})= (\lambda-5)(\lambda-1)$$
+in questo caso gli autovalori sono relativamente $\lambda=5$ e $\lambda=1$.
+
+>**DEF:**
+>La #molteplicità molteplicità **algebrica** di un autovalore $\lambda$ è la sua molteplicità (numero di volte) come radice del _polinomio caratteristico_.
+
+>**DEF:**
+>Sia $\lambda$ un autovalore la **Molteplicità GEOMETRICA** $$\mu_{g}(\lambda) = DIM(A_{\lambda})$$
+>La dimensione dell'auto-spazio determina la molteplicità geometrica.
+
+****
+**PROP:** 
+>Sia $A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ allora $\forall\lambda$ _Autovalore_ $$1\leq \mu_{g}(\lambda) \leq \mu_{a}(\lambda) \leq n$$
+>
+>Corollario:
+>se $\mu_{a} = 1$ allora **sicuramente** $\mu_{g} = 1$
+>
+****
+
+>**Def:**
+>$A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ $A$ si dice **DIAGONALIZZABILE** se $$\exists P \in M_{n\times n}(\mathbb{R})\space \space Invertibile$$
+>$$\exists D \in M_{n\times n}(\mathbb{R})\space \space Diagonale$$
+>tale che $$A = P^{-1}DP$$
+
+**TH:**
+$A \in M_{n\times n}(\mathbb{R})$ $A$ si dice **DIAGONALIZZABILE** se e solo se
+1) $\sum_{\lambda} \mu_{a}(\lambda) = n$
+2) $\forall \lambda \space \space \mu_{g}(\lambda) = \mu_{a}(\lambda)$ 
+
+La matrice $D$ ha in diagonale gli autovalori con relativa molteplicità.
+La matrice $P$ ha le basi degli autospazi in colonna.
+
+Es:
+$$A = \begin{pmatrix}
+  2 & 3 \\
+  1 & 4 \\
+\end{pmatrix}$$
+Dato che si conoscono gli autovalori per determinare gli **autospazio** si procede con il seguente procedimento:
+$$\begin{pmatrix}
+  2 & 3 \\
+  1 & 4 \\
+\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
+  x_{1} \\
+  x_{2} \\
+\end{pmatrix} =
+5\begin{pmatrix}
+  x_{1} \\
+  x_{2} \\
+\end{pmatrix}
+$$
+questa disposizione è la precedente eguaglianza $A\cdot V = \lambda \cdot V$.
+
+Il posto occupato da $5$ è uno degli autovalori che ha il suo relativo autospazio. 
+Per ogni autospazio usiamo ogni autovalore.
+
+Creando il sistema relativo all'equazione fondamentale e risolvendolo si ottiene che 
+$$A_{5}=\{(x,x)|x\in \mathbb{R}\}$$
+una possibile base è $\langle(1,1)\rangle$ ciò ci dice che ha dimensione uno soddisfacendo cosi le ipotesi del teorema.
+Lo stesso procedimento vale per $\lambda = 1$ che ci dà 
+$$A_{1}=\{(-3y,y)|x\in \mathbb{R}\}$$
+anche qui una possibile base è $\langle(-3,1)\rangle$le ipotesi sono soddisfatte rendendo cosi la matrice diagonalizzabile.
+
+Le matrici $D$ e $P$ per definizione sono:
+$$D = \begin{pmatrix}
+  5 & 0 \\
+  0 & 1 \\
+\end{pmatrix}$$
+$$P = \begin{pmatrix}
+  1 & -3 \\
+  1 & 1 \\
+\end{pmatrix}$$
+****
+PROCEDIMENTO PER DETERMINARE SE UNA MATRICE E’ DIAGONALIZZABILE 
+1. Si prende la matrice considerata e data poi la matrice $A-\lambda\Pi_{n}$ si determina il polinomio caratteristico e le relative radici. 
+2. Date le matrici (e quindi gli autovalori) si determina subito la molteplicità algebrica di ognuno. La somma delle molteplicità però deve essere uguale al grado del polinomio caratteristico 
+3. Per la molteplicità algebrica si hanno due casi:  
+    a. Dato un autovalore se la sua molteplicità algebrica è $1$ allora lo sarà anche l sua molteplicità geometrica
+    b. Se la molteplicità algebrica è maggiore di uno si avrà calcolare la molteplicità geometrica determinando la dimensione dell’auto-spazio relativo all’auto-valore. 
+4. Se un autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica uguali allora per quell'autovalore quella matrice è diagonalizzabile.
+
+
+
+
+
+
+
+n.b.
+Ogni $\lambda$ ha il suo autospazio.
+
+>**def:** 
+>Considerando $P(x)$ $\alpha$ è radice di _MOLTEPLICITÀ_ $r$ se $(x-\alpha)^{r}/P(x)$ e $(x-\alpha)^{r+1} \nmid P(x) \mu_{a}(\lambda)$    

triennale/Anno 1/Matematica Discreta/Modulo 2/Deteminante.md

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+## Determinante di una [[Matrici|matrice]]
+>**DEF:** *induttiva* 
+>se $A \in M_{1 \times 1} (\mathbb{R})$ allora $det(A) = a_{11}$
+>se $A \in M_{n \times n} (\mathbb{R})$ allora prendo la prima riga e 
+>
+>**Formula di Lablace**
+>$$det(A) = \sum_{i=1}^{n}(-1)^{1+i}a_{1,i}det(A_{1,i})$$
+
+Es della prima ipotesi:
+$$D(7) = 7$$
+
+Es della seconda ipotesi con una $2\times2$
+$$
+D 
+\begin{pmatrix}
+  1 & 2 \\
+  3 & 4 \\
+\end{pmatrix} =
+\sum_{i=1}^{2}(-1)^{1+1}\cdot1\cdot 4 \ + (-1)^{1+2}\cdot 2 \cdot3
+$$
+>il membro $(-1)^{1+i}$ si può omettere se si considera il segno di $a_{1,i}$ secondo il seguente schema:
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+    + & - \\
+    - & + \\
+\end{pmatrix}
+$$
+
+**Genericamente**
+>quando si tratta con matrici $2\times2$ si può usare il seguente trucchetto:
+
+$$
+\begin{pmatrix}
+  a & b \\
+  c & d \\
+\end{pmatrix} = a \cdot d - c\cdot b
+$$
+>si prende la diagonale principale e la si moltiplica per la diagonale formata con gli angoli opposti con il segno invertito.
+
+>quando si tratta con matrici $3\times3$ si può usare la _regola di Sarrus_ 
+
+>**Proposizione**
+>Il determinante di una trasposta è uguale al determinante della trasposta
+>$$D(A) = D(A^{T})$$
+
+Le operazioni elementari posso modificare il determinante
+>1. Se scambio due righe/colonne il determinante cambia segno (se ho due righe uguali il Det è $0$).
+>2. Se moltiplico tutta la riga per uno scalare allora il determinante è moltiplicato per lo scalare.
+>3. Se sommo ad un riga/colonna un multiplo di un altra il determinante non cambia.
+
+Ci sono altre tecniche per calcolare il determinare come l'uso del [[Rango per minori]].

triennale/Anno 1/Matematica Discreta/Modulo 2/Discreta modulo II.md

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+1) [[Matrici]]
+2) [[Deteminante]]
+3) [[Rango per minori]]
+4) [[Anno 1/Matematica Discreta/Modulo 2/Sistemi lineari]]
+5) [[Spazi Vettoriali]]
+6) [[Sottospazi Vettoriali]]
+7) [[Applicazioni lineari]]
+8) [[Auto valori, Auto Vettori e diagonalizzazione]]
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