Sistemas de equações lineares:

Programas para resolver sistemas de equações lineares, conteúdo:

Gauss Jordan

Etapas

• Criação do arquivo com o comando touch;

• Inicialização da matriz:

  [ 1  1  0  3  4]
  [ 2  1 -1  1  1]
  [ 3 -1 -1  2 -3]
  [-1  2  3 -1  4]
  

• Impressão da matriz

• Ordenação da matriz, colocando a linha com 0 em uma n-1, onde n é a coluna que o 0 está presente

• A primeira coluna é zerada utilizando a primeira linha, para isso, pegamos o primeiro elemento da segunda linha, dividimos pelo primeiro elemento da primeira linha, então subtraimos toda a segunda linha pela primeira multiplicada por esse valor

• De uma maneira geral, tendo a matriz exemplo:

  [a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 ... a1,n] Linha 1
  [a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 ... a2,n] Linha 2
  [a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 ... a3,n] Linha 3
  [.    .    .    .    ... .   ]
  [.    .    .    .    ... .   ]
  [.    .    .    .    ... .   ]
  [an,1 an,2 an,3 an,4 ... an,n] Linha n
  

Temos então:

Linha n = Linha n - an,1/an,n-1 * Linha n-1

Os valores de an,1/an,n-1 são guardados em uma matriz, de acordo com a posição deles, para ser feita posteriormente a matriz L, que é composta de 1 na diagonal principal e desses valores na parte triangular inferior.

Repetindo isso para todas as linhas que tem abaixo da linha n-1, então da linha 1, o processo é repetido n-1 vezes, para linha 2 n-2, etc.

• No final é calculado os valores dos coeficientes, fazendo uma multiplicação pelos elementos depois uma subtração pelos elementos da coluna k=n+1,

xk=ak,5 - soma de k-1 a 1 dos valores ak,i onde o i é o indice do somatório

O arquivo matriz.png demonstra como a quantidade de operações está em função da dimensão n da matriz, subindo de maneira cúbica.

Foram feitas matrizes de n=3,...,9 para a demonstração deste gráfico, geradas aleatoriamente com o arquivo gerar matrizes e selecionadas as matrizes que não deram divisão por 0.