add docs for static top tree

data_structure/static_toptree.md

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+---
+title: Static top tree
+documentation_of: ./static_toptree.hpp
+---
+
+いわゆる Static top tree を扱う．根付き木の部分木に関する各種演算をクエリあたり $O(n \log n)$ で行える．
+
+## 原理
+
+Static top tree のしくみについては [解説 - AtCoder Beginner Contest 351](https://atcoder.jp/contests/abc351/editorial/9868) 等も併せて参照されたい．
+
+Static top tree は，根付き木をもとに平衡二分木を構築する．平衡二分木の各頂点には `PointCluster` と `PathCluster` の 2 種類のデータ構造のいずれかが載る．
+
+例えば，入力として以下の根付き木（$0$ が根）を与えた場合に構築される static top tree を下に示す．
+
+![input](http://g.gravizo.com/svg?
+graph {
+  v0 [label=0, shape=circle];
+  v1 [label=1, shape=circle];
+  v2 [label=2, shape=circle];
+  v3 [label=3, shape=circle];
+  v4 [label=4, shape=circle];
+  v5 [label=5, shape=circle];
+  v6 [label=6, shape=circle];
+  v7 [label=7, shape=circle];
+  v8 [label=8, shape=circle];
+  invisible1 [label="", style=invis];
+  invisible2 [label="", style=invis];
+  v0 -- v1 [color="black:invis:black", len=1];
+  v0 -- v8 [style="dashed"];
+  v1 -- v2 [color="black:invis:black", len=1];
+  v1 -- invisible1 [color="invis", len=1];
+  v2 -- v3 [color="black:invis:black", len=1];
+  v2 -- v4 [style="dashed"];
+  v2 -- v5 [style="dashed"];
+  v2 -- v7 [style="dashed"];
+  v5 -- v6 [color="black:invis:black", len=1];
+  v5 -- invisible2 [color="invis", len=1];
+}
+)
+
+![出力](http://g.gravizo.com/g?
+graph {
+  compress0123 [label="Compress", shape=oval]
+  compress01 [label="Compress", shape=oval]
+  compress23 [label="Compress", shape=oval]
+  compress56 [label="Compress", shape=oval]
+
+  vertex0 [label="AddVertex\n(0)", shape=oval]
+  vertex1 [label="Vertex\n(1)", shape=oval]
+  vertex2 [label="AddVertex\n(2)", shape=oval]
+  vertex3 [label="Vertex\n(3)", shape=oval]
+  vertex4 [label="Vertex\n(4)", shape=oval]
+  vertex5 [label="Vertex\n(5)", shape=oval]
+  vertex6 [label="Vertex\n(6)", shape=oval]
+  vertex7 [label="Vertex\n(7)", shape=oval]
+  vertex8 [label="Vertex\n(8)", shape=oval]
+
+  rake4567 [label="Rake", shape=oval]
+  rake456 [label="Rake", shape=oval]
+  addedge4 [label="AddEdge", shape=oval]
+  addedge56 [label="AddEdge", shape=oval]
+  addedge7 [label="AddEdge", shape=oval]
+  addedge8 [label="AddEdge", shape=oval]
+
+  vertex0 -- addedge8 [style=dashed]
+
+  addedge8 -- vertex8
+
+  compress0123 -- compress01
+  compress0123 -- compress23
+  compress01 -- vertex0
+  compress01 -- vertex1
+  compress23 -- vertex2
+  compress23 -- vertex3
+
+  vertex2 -- rake4567 [style=dashed]
+
+  rake4567 -- rake456 [style=dashed]
+  rake4567 -- addedge7 [style=dashed]
+  addedge7 -- vertex7
+
+  rake456 -- addedge4 [style=dashed]
+  rake456 -- addedge56 [style=dashed]
+
+  addedge4 -- vertex4
+
+  addedge56 -- compress56
+
+  compress56 -- vertex5
+  compress56 -- vertex6
+}
+)
+
+ここで入力の木の辺のうち二重線は heavy-light decomposition の heavy edge, 破線は light edge を示す．出力の辺のうち実線は PathCluster, 破線は PointCluster が親頂点に伝播されることをそれぞれ意味する．
+
+## 使用方法
+
+まず，以下のように `Point` クラス・ `Path` クラスと `vertex()` / `compress()` / `rake()` / `add_edge()` / `add_vertex()` メソッドを持つクラスを定義する（ `static` はなくても可）．
+
+```cpp
+struct tree_dp {
+    // Point Cluster
+    struct Point {};
+
+    // Path Cluster
+    struct Path {};
+
+    Path vertex(int i);
+
+    static Path compress(const Path &parent, const Path &child);
+
+    static Point rake(const Point &l, const Point &r);
+
+    static Point add_edge(const Path &d);
+
+    Path add_vertex(const Point &d, int i);
+};
+```
+
+その後，以下の手順で構築・利用する．
+
+```cpp
+// 前準備
+vector<vector<int>> to;  // 隣接リスト
+int root = 0;
+
+// 構築
+const static_toptree_structure stts(to, root);
+tree_dp dp;
+static_toptree tree(stts, dp);
+
+// 利用
+tree.set(u); // 頂点 u に更新があった場合に呼ぶ
+
+auto p = tree.all_prod();  // 根に関して値取得
+```
+
+## 問題例
+
+- [AtCoder Beginner Contest 351 G - Hash on Tree](https://atcoder.jp/contests/abc351/tasks/abc351_g)
+- [Library Checker: Point Set Tree Path Composite Sum (Fixed Root)](https://judge.yosupo.jp/problem/point_set_tree_path_composite_sum_fixed_root)