斜率与法线分布关系 #145 #156

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@@ -582,8 +582,88 @@ \subsubsection*{Smith微面}
     D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}}\, .
 \end{align}
 这恰是\citet{10.1145/344779.344814}在法线和遮挡独立性假设下
-得到的掩模函数的精确积分形式。
+得到的掩模函数的精确积分形式。然而其中的积分是在法线分布空间中进行的，
+计算起来并不方便。我们可以将其积分域转化到斜率分布空间以简化它，下面给出具体推导。
 
+对于曲面上某处的法线${\bm\omega}_{\mathrm{h}}$，
+设它在直角坐标系下和球面坐标系下具体的分量为
+\begin{align}
+    {\bm\omega}_{\mathrm{h}}=(x_{\mathrm{h}},y_{\mathrm{h}},z_{\mathrm{h}})
+    =(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)\, ,
+\end{align}
+则该处附近的面元可以近似为以下平面
+\begin{align}
+    x_{\mathrm{h}}x+y_{\mathrm{h}}y+z_{\mathrm{h}}z=C\, .
+\end{align}
+其中$C$为某个常量，于是有
+\begin{align}
+    z=\left(-\frac{x_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}},
+    -\frac{y_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}}\right)\cdot(x,y)+C\, ,
+\end{align}
+我们由此定义
+\begin{align}
+    {\bm s}({\bm\omega}_{\mathrm{h}})=(x_s,y_s)
+    =\left(-\frac{x_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}},
+    -\frac{y_{\mathrm{h}}}{z_{\mathrm{h}}}\right)
+    =-\tan\theta(\cos\varphi,\sin\varphi)
+\end{align}
+为曲面在该处的斜率
+\sidenote{原文slope，这里作者想表达的是$z$对$x$和$y$的偏导数，
+    它和二维直角坐标系下直线斜率的形式很像，所以借用这个称呼。}。
+反之，也可以根据斜率求出相应法线为
+\begin{align}
+    {\bm\omega}_{\mathrm{h}}=\frac{1}{\sqrt{x_s^2+y_s^2+1}}(-x_s,-y_s,1)\, .
+\end{align}
+
+接下来我们考虑斜率分布$P_{xy}({\bm s})$与法线分布
+（即微面分布函数）$D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})$之间的关系。
+显然$P_{xy}({\bm s})$应满足规范化约束，
+即它在$x_s\in(-\infty,+\infty),y_s\in(-\infty,+\infty)$范围内非负，且有
+\begin{align}
+    \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}
+    P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s=1\, .
+\end{align}
+将上式和\refeq{08ex01-McrofacetDistributionNormalization}比对，可得
+\begin{align}\label{eq:08-ex01-P2D}
+    P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s=
+    \cos\theta D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}\, .
+\end{align}
+根据三维球面坐标转换公式，有
+\begin{align}\label{eq:08-ex01-D_sphere}
+    D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}{\bm\omega}_{\mathrm{h}}
+    =\sin\theta D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, .
+\end{align}
+而斜率坐标对法线的球面坐标的雅可比矩阵为
+\begin{align}
+    J=\displaystyle\frac{\partial(x_s,y_s)}{\partial(\theta,\varphi)}
+    =\displaystyle\left[\begin{array}{cc}
+            \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \theta} &
+            \displaystyle\frac{\partial x_s}{\partial \varphi}  \\
+            \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \theta} &
+            \displaystyle\frac{\partial y_s}{\partial \varphi}
+        \end{array}\right]
+    =\displaystyle\left[\begin{array}{rr}
+            \displaystyle -\frac{\cos\varphi}{\cos^2\theta} &
+            \displaystyle \tan\theta\sin\varphi               \\
+            \displaystyle -\frac{\sin\varphi}{\cos^2\theta} &
+            \displaystyle -\tan\theta\cos\varphi
+        \end{array}\right]\, ,
+\end{align}
+于是雅可比行列式为
+\begin{align}
+    |J|=\frac{\tan\theta}{\cos^2\theta}\, .
+\end{align}
+结合\refeq{08-ex01-P2D}和\refeq{08-ex01-D_sphere}得
+\begin{align}
+    P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}x_s\mathrm{d}y_s
+    =|J|P_{xy}(x_s,y_s)\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi
+    =\sin\theta\cos\theta D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\mathrm{d}\theta\mathrm{d}\varphi\, .
+\end{align}
+所以斜率分布与法线分布的关系为
+\begin{align}
+    P_{xy}(x_s,y_s)=\frac{\sin\theta\cos\theta}{|J|}D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})
+    =\cos^4\theta D({\bm\omega}_{\mathrm{h}})\, .
+\end{align}
 
 \subsection{典型微面分布函数的规范性证明}\label{sub:典型微面分布函数的规范性证明}
 本节补充了\refeq{8.10}和\refeq{8.11}所给的