#ENG

Piastra

Piastra is a teaching-oriented framework for solving:

• Linear advection
• Inviscid compressible hydrodynamics (HD)
• Special-relativistic hydrodynamics (rHD)
• Ideal Magnetohydrodynamics (MHD)
• Thermal diffusion (explicit and RKL2 super time-stepping)

within a finite-volume framework. The code is written in Python with extensive use of NumPy, and includes tools for visualization with matplotlib.

---

Features

• Dimensionality: 1D and 2D Cartesian (X,Y) and Cylindrical (R,Z) structured grids
• Finite-volume solver with approximate Riemann solvers for fluxes
• Hydrodynamics solvers:
  • LLF (Rusanov, 1961)
  • HLL (Harten–Lax–van Leer, 1983)
  • HLLC (Toro et al., 1994)
  • Roe (Roe, 1981)
• Special-relativistic HD solvers (rHD):
  • LLF, HLL, HLLC (Mignone & Bodo, 2005)
  • 4-velocity reconstruction (guarantees |v| < 1 at cell faces)
  • Newton-Raphson conservative-to-primitive inversion
• MHD solvers:
  • LLF, HLL, HLLD (Miyoshi and Kusano, 2005)
  • Divergence control:
    • Powell 8-wave method (Powell 1994, 1999; Tóth 2000)
    • Constrained Transport (Flux-CT; Balsara & Spicer 1999)
• Thermal diffusion:
  • Explicit forward Euler
  • RKL2 super time-stepping (Meyer, Balsara & Aslam 2014) with configurable stages
  • Geometry-aware FV Laplacian (Cartesian, cylindrical, polar)
• Advection: high-order RK with exact Riemann solver or Lax–Wendroff scheme
• Reconstruction methods:
  • PCM (piecewise constant)
  • PLM (piecewise linear with slope limiter, 2nd order)
  • PPM (Colella & Woodward 1984, Mignone 2014)
  • PPMorig (original Colella & Woodward version)
  • WENO5 (5th order, Jiang & Shu 1996)
• Time integration:
  • RK1 (Euler)
  • RK2, RK3 (TVD Runge–Kutta; Shu & Osher 1988)
• Ghost cells: automatically adjusted (2 for PLM/PCM, 3 for PPM/WENO)
• Simulation control through the Parameters class with defaults and validation
• Modular design:
  • parameters.py: central parameter container
  • grid_setup.py: structured grid definition
  • sim_state.py: storage for fluid variables
  • boundaries.py: boundary conditions handling for scalar and vector variables
  • helpers.py: initial condition dispatch and simulation loop
  • advection_one_step.py, hydro_one_step.py, rHD_one_step.py, MHD_one_step_CT.py, MHD_one_step_8wave.py, diffusion_one_step.py: solver backends
  • hydro_phys.py, rHD_phys.py, MHD_phys.py: supplementary modules
  • visualization.py: plotting utilities
  • advection_init_cond.py, hydro_init_cond.py, rHD_init_cond.py, MHD_init_cond.py, diffusion_init_cond.py: initial conditions
  • main.py: launcher (alternatively can be run via Jupyter notebook main.ipynb)

---

Usage

Requirements:

• Python 3.9+
• NumPy
• matplotlib
• IPython (recommended for notebooks)

Example (main.py)

from parameters import Parameters
from grid_setup import Grid
from sim_state import SimState
from helpers import initial_model, run_simulation
from hydro_one_step import Hydro2D

# Setup parameters
par = Parameters(mode="HD", problem="sod2Dcart", Nx1=64, Nx2=64)

# Setup grid and state
grid = Grid(par.Nx1, par.Nx2, par.Ngc)
simstate = SimState(grid, par)
grid, simstate, par, eos = initial_model(grid, simstate, par)

# Run solver
solver = Hydro2D(grid, simstate, eos, par)
simstate, par.timenow = run_simulation(grid, simstate, par, solver, simstate.dens, nsteps=200)

Parameters

All parameters are stored in the Parameters class. Defaults are applied automatically.

Required:

• mode: 'adv', 'HD', 'rHD', 'MHD', or 'diff'

• problem: name of the test problem

• Nx1, Nx2: grid resolution

Optional:

• flux_type: depends on solver (defaults assigned automatically)

• rec_type: 'PCM', 'PLM', 'PPM', 'PPMorig', 'WENO'

• RK_order: 'RK1', 'RK2', 'RK3'

• CFL: Courant number (default 0.7)

• divb_tr: 'CT' or '8wave' (MHD only)

Available Problems

Advection: smooth/discontinuous 1D/2D tests

Hydrodynamics: Sod shock tubes, strong shocks, Kelvin–Helmholtz, Rayleigh–Taylor, Sedov blast waves

Relativistic HD: Mignone & Bodo (2005) Riemann problems (RP1–RP5), 2D Riemann problem, relativistic Rayleigh–Taylor instability

MHD: Brio–Wu shock, Tóth problem, blast wave, Orszag–Tang vortex

Diffusion: 2D Gaussian pulse, crossed Gaussian ridges, annular ring, 1D Gaussian

References

• E. F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics (2009)

• D. S. Balsara, Higher-order accurate space-time schemes for computational astrophysics—Part I: finite volume methods, Living Rev Comput Astrophys 3:2 (2017)

• G. Tóth, The ∇·B constraint in shock-capturing MHD codes, JCP 161, 605 (2000)

• A. Mignone & G. Bodo, An HLLC Riemann solver for relativistic flows, MNRAS 364, 126 (2005)

• C. D. Meyer, D. S. Balsara & T. D. Aslam, A stabilized Runge–Kutta–Legendre method for explicit super-time-stepping of parabolic and mixed equations, JCP 257, 594 (2014)

• M. Zingale, Introduction to Computational Astrophysical Hydrodynamics (2015+)

Additional notes

The folder notebooks contains lightweight solvers in separate independent ipynb-files (with comments in Russian): 2D shallow water simulator, 1D hydrodynamics, 1D advection solver, and 1D diffusion equation. My lecture notes are provided as well (they are also in Russian, however. I plan to rewrite them soon).

---

---

---

#RUS

Piastra

Piastra — учебный код для моделирования:

• Линейного уравнения переноса (адвекции)
• Сжимаемой невязкой гидродинамики (HD)
• Специально-релятивистской гидродинамики (rHD)
• Идеальной магнитной гидродинамики (MHD)
• Теплопроводности (явная схема и RKL2 super time-stepping) в рамках метода конечных объемов Годуновского типа с TVD методами Рунге–Кутты для интегрирования по времени и ограниченной кусочно-полиномиальной реконструкцией высокого порядка по пространству. Код написан на Python с активным использованием NumPy и включает инструменты визуализации через matplotlib.

---

Возможности

• Измерения: 1D и 2D структурированные сетки -- декартовые (X,Y) и цилиндрические (R,Z)
• Решатель методом конечных объемов с приближенными решениями задачи Римана для вычисления потоков
• Гидродинамические решатели:
  • LLF (Русанов, 1961)
  • HLL (Хартен–Лакс–ван Леер, 1983)
  • HLLC (Toro et al., 1994)
  • Roe (Roe, 1981)
• Решатели МГД:
  • LLF, HLL, HLLD (Miyoshi & Kusano, 2005)
  • Контроль дивергенции:
    • Метод 8 волн Пауэлла (Powell 1994, 1999; Tóth 2000)
    • Constrained Transport (Flux-CT; Balsara & Spicer 1999)
• Перенос: Методы Рунге-Кутты с точным решением Римана или схема Лакса–Вендроффа
• Методы реконструкции:
  • PCM (кусочно-постоянная)
  • PLM (кусочно-линейная с ограничителем наклона, 2-й порядок)
  • PPM (Colella & Woodward 1984, Mignone 2014)
  • PPMorig (оригинальная версия Colella & Woodward)
  • WENO5 (5-й порядок, Jiang & Shu 1996)
• Интегрирование по времени:
  • RK1 (Эйлер)
  • RK2, RK3 (TVD Runge–Kutta; Shu & Osher 1988)
• Призрачные ячейки (ghost cells): подбираются автоматически (2 для PLM/PCM, 3 для PPM/WENO)
• Управление симуляцией через класс Parameters с установкой значений по умолчанию и проверкой корректности
• Модульная структура:
  • parameters.py: центральный контейнер параметров
  • grid_setup.py: определение структуры сетки
  • sim_state.py: хранение переменных жидкости
  • helpers.py: диспетчер начальных условий и основной цикл симуляции
  • boundaries.py: учет граничных условий на сетке для скалярных и векторых функций
  • advection_one_step.py, hydro_one_step.py, rHD_one_step.py, MHD_one_step_CT.py, MHD_one_step_8wave.py, diffusion_one_step.py: бэкенды решателей
  • hydro_phys.py, rHD_phys.py, MHD_phys.py: вспомогательные модули
  • visualization.py: функции визуализации
  • advection_init_cond.py, hydro_init_cond.py, rHD_init_cond.py, MHD_init_cond.py, diffusion_init_cond.py: начальные условия
  • main.py: запуск симуляции (можно запускать также через Jupyter notebook main.ipynb)

---

Использование

Требования:

• Python 3.9+
• NumPy
• matplotlib
• IPython (рекомендуется для работы с ноутбуками)

Пример (main.py)

from parameters import Parameters
from grid_setup import Grid
from sim_state import SimState
from helpers import initial_model, run_simulation
from hydro_one_step import Hydro2D

# Настройка параметров
par = Parameters(mode="HD", problem="sod2Dcart", Nx1=64, Nx2=64)

# Инициализация сетки и состояния
grid = Grid(par.Nx1, par.Nx2, par.Ngc)
simstate = SimState(grid, par)
grid, simstate, par, eos = initial_model(grid, simstate, par)

# Запуск решателя
solver = Hydro2D(grid, simstate, eos, par)
simstate, par.timenow = run_simulation(grid, simstate, par, solver, simstate.dens, nsteps=200)

Параметры

Все параметры хранятся в классе Parameters. Значения по умолчанию присваиваются автоматически.

Необходимые:

• mode: 'adv', 'HD', 'rHD', 'MHD', или 'diff'

• problem: название тестовой задачи

• Nx1, Nx2: разрешение сетки

Опциональные:

• flux_type: зависит от решателя (default присваивается автоматически)

• rec_type: 'PCM', 'PLM', 'PPM', 'PPMorig', 'WENO'

• RK_order: 'RK1', 'RK2', 'RK3'

• CFL: Число Куранта (default 0.7)

• divb_tr: 'CT' или '8wave' (только для МГД)

Доступные проблемы

Адвекция: smooth/discontinuous 1D/2D tests

Газовая динамика: Sod shock tubes, strong shocks, Kelvin–Helmholtz, Rayleigh–Taylor, Sedov blast waves

Релятивистская гидродинамика: задачи Римана Mignone & Bodo (2005) (RP1–RP5), 2D задача Римана, релятивистская неустойчивость Рэлея–Тейлора

МГД: Brio–Wu shock, Tóth problem, blast wave, Orszag–Tang vortex

Диффузия: 2D гауссов импульс, перекрёстные гауссовы гребни, кольцевой импульс, 1D гауссов импульс

Ссылки

• Д. В. Бисикало, А. Г. Жилкин, А. А. Боярчук, Газодинамика Тесных Двойных Звезд, Физматлит (2013)

• E. F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics (2009)

• D. S. Balsara, Higher-order accurate space-time schemes for computational astrophysics—Part I: finite volume methods, Living Rev Comput Astrophys 3:2 (2017)

• G. Tóth, The ∇·B constraint in shock-capturing MHD codes, JCP 161, 605 (2000)

• M. Zingale, Introduction to Computational Astrophysical Hydrodynamics (2015+)

Дополнения

В папке notebooks представлены облегченнные решатели в отдельных ipynb-файлах с комментариями на русском: 2D симулятора уравнений мелкой воды, 1D газовая динамика, 1D решатель адвекции, и 1D модель диффузии. Также в корневой папке лежат мои лекционные записи лекции для участников Третьей Школы НЦФМ "Экспериментальная и Лабораторная Астрофизика и Геофизика".