Merge pull request #22 from he7d3r/review

Revisão do primeiro capítulo

cap_conjuntos/cap_conjuntos.tex

@@ -8,29 +8,27 @@ \chapter{Teoria de conjuntos}
 
 A notação $x \in A$ (lê-se ``$x$ pertence a $A$'') significa que $x$ é um elemento de $A$. A notação $x \notin A$ (lê-se ``$x$ não pertence a $A$'') significa que $x$ não é um elemento de $A$.
 
-Dados os elementos $a, e, i, o, u$ indica-se com $\{a, e, i, o, u\}$ o conjunto que é formado por estes elementos. Assim, por exemplo, $V= \{a, e, i, o, u\}$ é o conjunto das vogais do alfabeto português, quando representamos um conjunto desta forma dizemos que estamos representando o conjunto por enumeração de seus elementos.
-
-Assim se denotarmos por $U$ o conjunto formado pelas letras do alfabeto português, como toda vogal é uma letra do alfabeto português, podemos representar o conjunto $V$ da seguinte forma:
+Dados os elementos $a, e, i, o, u$ indica-se com $\{a, e, i, o, u\}$ o conjunto que é formado por estes elementos. Assim, por exemplo, $V= \{a, e, i, o, u\}$ é o conjunto das vogais do alfabeto português. Quando representamos um conjunto desta forma dizemos que estamos representando o conjunto por enumeração de seus elementos. Se denotarmos por $U$ o conjunto formado pelas letras do alfabeto português, e considerarmos que as vogais $a, e, i, o, u$ fazem parte deste alfabeto, podemos representar o conjunto $V$ na forma:
 \begin{equation}
-V= \{x \in U \mid x \text{ é uma vogal}\}
+V= \{x \in U \mid x \text{ é uma vogal}\},
 \end{equation}
-aqui $x$ representa um elemento qualquer do conjunto $U$.
+em que $x$ representa um elemento qualquer do conjunto $U$.
 
-Esta segunda forma que usamos para descrever o conjunto $V$ é uma forma usual de descrever conjuntos na matemática, perceba que nela começamos pensando em um conjunto ``grande'' $U$ (que chamamos de conjunto universo) e em uma propriedade $P$ bem particular que alguns elementos deste conjunto satisfaziam, e assim obtemos o conjunto $V$.
+Esta segunda descrição do conjunto $V$ é uma forma usual de descrever conjuntos na matemática. Perceba que nela começamos pensando em um conjunto ``grande'' $U$ (que chamamos de conjunto universo) e em uma propriedade $P$, bem particular, que alguns elementos deste conjunto satisfazem, e assim obtemos o conjunto $V$.
 
-Além de relacionar elementos com conjuntos podemos relacionar dois conjuntos, uma forma de relacionar dois conjuntos é através da relação de \textit{inclusão}, que é descrita da seguinte forma, dados dois conjuntos $M$ e $N$, diremos que $M$ está contido em $N$ se todo elemento de $M$ é também um elemento de $N$, neste caso escrevemos $M \subset N$.
+Além de relacionar elementos com conjuntos podemos relacionar dois conjuntos. Uma forma de fazer isso é através da relação de \textit{inclusão}, que é descrita da seguinte forma: dados dois conjuntos $M$ e $N$, diremos que $M$ está contido em $N$ se todo elemento de $M$ é também um elemento de $N$. Neste caso, escrevemos $M \subset N$.
 
-Note que em nosso exemplo anterior $V \subset U$, já que toda vogal é também uma letra do alfabeto português. Outro exemplo: como $a$ é um elemento de $V$. Dizer que $a \in V$ é equivalente a afirmar que $\{a\} \subset V$.
+Note que em nosso exemplo anterior $V \subset U$, já que todas as vogais listadas também são letras do alfabeto português. Outro exemplo: como $a$ é um elemento de $V$, dizer que $a \in V$ é equivalente a afirmar que $\{a\} \subset V$.
 
 \vskip0.4cm
 
-Considerando três conjuntos quaisquer $A$, $B$ e $C$, a relação de inclusão entre eles possui das seguintes propriedades:
+Considerando três conjuntos quaisquer $A$, $B$ e $C$, a relação de inclusão entre eles possui as seguintes propriedades:
 
 \textit{Reflexividade:} para todo conjunto A, tem-se que $A \subset A$.
 
-\textit{Anti-simetria:} se $A \subset B$ e $B \subset A$ então, $A= B$.
+\textit{Anti-simetria:} se $A \subset B$ e $B \subset A$, então $A= B$.
 
-\textit{Transitividade:} se $A \subset B$ e $B \subset C$ então, $A \subset C$.
+\textit{Transitividade:} se $A \subset B$ e $B \subset C$, então $A \subset C$.
 
 \newpage
 
@@ -41,19 +39,19 @@ \chapter{Teoria de conjuntos}
  \item Conjunto $A$ está contido no conjunto $B$: \destaque{A \subset B}.
  \item Conjunto $A$ contém o conjunto $B$: \destaque{A \supset B}.
  \item Conjunto $A$ é subconjunto próprio do conjunto $B$: \destaque{A \varsubsetneq B}.
- \item O conjunto que não contém nenhum elemento será denotado por \destaque{\emptyset}= \{ \} = conjunto vazio.
+ \item O conjunto que não contém nenhum elemento será chamado de conjunto vazio e denotado por \destaque{\emptyset} ou \destaque{\{ \}}.
 \end{itemize}
 
 \vskip0.4cm
 
  \begin{exem}
-  Sejam $A= \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ e $B=\{ 2, 3, 4\}$. Então $1 \in A$, mas $1 \notin B$. Além disso, temos que $B \subset A \Rightarrow A \supset B$, pois todos os elementos de $B$ são também elementos de $A$.
+  Sejam $A= \{1, 2, 3, 4, 5 \}$ e $B=\{ 2, 3, 4\}$. Então $1 \in A$, mas $1 \notin B$. Além disso, temos que $B \subset A$ (ou ainda, que $A \supset B$), pois todos os elementos de $B$ são também elementos de $A$.
  \end{exem}
 
  As relações entre conjuntos podem ser representadas através de diagramas de Venn-Euler (também conhecidos como diagramas de Venn), nos quais basicamente desenhamos um retângulo para representar o conjunto universo, dentro deste retângulo desenhamos um círculo para representar cada conjunto, e dentro de cada círculo escrevemos os elementos que pertencem ao conjunto correspondente.
 
  \begin{exem}
- Consideremos o conjunto das vogais como sendo nosso conjunto universo, assim dentro dele podemos considerar os conjuntos $A= \{a,e, i\}$, e $B=\{a, o, u\}$  estes conjuntos serão representados através do diagrama de Venn-Euler da seguinte forma:
+ Consideremos o conjunto das vogais como sendo nosso conjunto universo. Dentro dele podemos considerar os conjuntos $A= \{a,e, i\}$, e $B=\{a, o, u\}$. Estes conjuntos serão representados através do seguinte diagrama de Venn-Euler:
 
  \begin{center}
   \begin{venndiagram2sets}[labelOnlyA={e i},labelOnlyB={o u},labelAB={a}]
@@ -66,7 +64,7 @@ \chapter{Teoria de conjuntos}
 
 \section{Operações entre conjuntos}
 
-Dados $A$ e $B$ conjuntos arbitrários dentro do conjunto universo $U$, definimos as seguintes operações entre estes conjuntos:
+Dados conjuntos arbitrários $A$ e $B$ dentro do conjunto universo $U$, definimos as seguintes operações entre estes conjuntos:
 \begin{itemize}
  \item União:\index{Conjunto(s)!união de}
  $A \cup B=\{x \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}.$
@@ -78,7 +76,6 @@ \section{Operações entre conjuntos}
 \end{center}
 
  \vskip0.4cm
- \newpage
 
  \item Interseção:\index{Conjunto(s)!interseção de}
  $A \cap B=\{x \mid x \in A \text{ e } x \in B\}.$
@@ -89,7 +86,7 @@ \section{Operações entre conjuntos}
  \end{venndiagram2sets}
 \end{center}
 
- \vskip0.4cm
+\newpage
 
  \item Diferença:\index{Conjunto(s)!diferença de}
 
@@ -147,7 +144,7 @@ \section{Operações entre conjuntos}
 
  \vskip0.4cm
 
- \item Produto cartesiano:\index{Conjunto(s)!produto cartesiano de} Dados dois conjuntos $A$ e $B$ o produto cartesiano de $A$ por $B$ é o conjunto dos pares ordenados, cuja primeira entrada é um elemento de $A$ e a segunda coordenada é um elemento $B$. Este conjunto é denotado por:
+ \item Produto cartesiano:\index{Conjunto(s)!produto cartesiano de} Dados dois conjuntos $A$ e $B$, o produto cartesiano de $A$ por $B$ é o conjunto dos pares ordenados, cuja primeira entrada é um elemento de $A$ e a segunda coordenada é um elemento $B$. Este conjunto é denotado por:
 \begin{equation}
 A \times B= \{(a, b) \mid a \in A \text{ e } b \in B \} \ .
 \end{equation}
@@ -211,23 +208,23 @@ \section{Operações entre conjuntos}
   \begin{figure}[H]
  \centering
     \fbox{\includegraphics[width=7cm]{./cap_conjuntos/figs/ProdCartConj}}
-    \caption{Produto cartesiano dos conjuntos $A$ e $B$}
+    \caption{Produto cartesiano dos conjuntos $A$ e $B$.}
   \end{figure}
 
  \end{exem}
 
 \section{Cardinalidade de conjuntos}
 
- A \textbf{cardinalidade}\index{Conjunto(s)!cardinalidade de}\index{Conjunto(s)!número de elementos de} de um conjunto $A$ qualquer, é o número de elementos deste conjunto. Denotada por: $n(A)$, $|A|$ ou $\# A$.
+ A \textbf{cardinalidade}\index{Conjunto(s)!cardinalidade de}\index{Conjunto(s)!número de elementos de} de um conjunto $A$ qualquer é o número de elementos deste conjunto, e pode ser denotada por $n(A)$, $|A|$ ou $\# A$.
 
  Note que: $n(\emptyset)= \# \emptyset= 0$.
 
- Dados dois conjuntos $A$ e $B$ quaisquer é importante observar que:
+ É importante observar que, dados quaisquer conjuntos $A$ e $B$:
  \vskip0.3cm
  \colorbox{azul}{
  \begin{minipage}{0.9\linewidth}
  \begin{center}
- A cardinalidade da união destes dois conjuntos é dada por:
+ A cardinalidade da união de $A$ e $B$ é dada por:
 \begin{equation}
 \#(A \cup B)= \# A + \# B - \#(A \cap B) .
 \end{equation}
@@ -239,7 +236,7 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos}
 
  \section{Conjunto das partes}
 
- Dado um conjunto $A$ o conjunto das partes de $A$ denotado por $\mathcal{P}(A)$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$, ou seja,
+ Dado um conjunto $A$, o conjunto das partes de $A$, denotado por $\mathcal{P}(A)$, é o conjunto de todos os subconjuntos de $A$, ou seja,
 \begin{equation}
 \mathcal{P}(A)= \{X \mid X \text{ é um subconjunto de } A\} \ .
 \end{equation}
@@ -251,41 +248,41 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos}
  \end{itemize}
  Portanto, $\emptyset \in \mathcal{P}(A)$ e $A \in \mathcal{P}(A)$.
 
- \begin{exem}
+ \begin{exem}\label{ex:partes-abc}
  Se considerarmos o conjunto $A= \{a, b, c\}$, teremos pela definição acima que o conjuntos das partes de $A$ é:
 \begin{equation}
 \mathcal{P}(A)= \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{b, c\}, \{a, b, c\} \} \ .
 \end{equation}
  \end{exem}
 
- E como sabemos se este conjunto acima contém de fato todos os subconjuntos do conjunto $A$? Bom para conseguirmos verificar isso vamos precisar utilizar a seguinte propriedade do conjunto das partes.
+ E como sabemos se este conjunto acima contém, de fato, todos os subconjuntos do conjunto $A$? Podemos verificar isso utilizando a seguinte propriedade do conjunto das partes:
 
  \begin{prop}
-  Se o conjunto $A$ possui $n$ elementos, então $\mathcal{P}(A)$ possui $2^n$ elementos. Ou seja:
+  Se o conjunto $A$ tem $n$ elementos, então $\mathcal{P}(A)$ tem $2^n$ elementos. Ou seja:
 \begin{equation}
 \# A= n \ \ \Rightarrow \ \ \# \mathcal{P}(A)= 2^n \ .
 \end{equation}
 \end{prop}
 
  \begin{dem}
- Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental da contagem\index{Princípio fundamental da contagem} para contar quantos subconjuntos um conjunto $A$ com $n$ elementos possui.
+ Nesta demonstração utilizaremos o princípio fundamental da contagem\index{Princípio fundamental da contagem} para contar quantos subconjuntos um conjunto $A$ com $n$ elementos tem.
 
- Para começar considere um subconjunto $B$ qualquer de $A$. Observe que para cada um dos $n$ elementos de $A$, só existem duas possibilidades:
+ Para começar, considere um subconjunto $B$ qualquer de $A$. Observe que para cada um dos $n$ elementos de $A$, só existem duas possibilidades:
  \begin{itemize}
  \item Ou o elemento pertence ao subconjunto $B$;
  \item Ou o elemento não pertence ao subconjunto $B$.
  \end{itemize}
 
- Logo, pelo príncipio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto $B$ de
+ Logo, pelo princípio fundamental da contagem, nós podemos montar o conjunto $B$ de
 \begin{equation}
-\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}_{n-vezes}= 2^n
+\underbrace{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdots 2}_{n vezes}= 2^n
 \end{equation}
  maneiras diferentes.
 
- E portanto, há $2^n$ subconjuntos de $A$ em $\mathcal{P}(A)$.
+ Portanto, há $2^n$ subconjuntos de $A$ em $\mathcal{P}(A)$.
  \end{dem}
 
- Em nosso exemplo anterior temos que $\# A= 3$, logo aplicando esta propriedade obtemos que $\# \mathcal{P}(A)= 2^3= 8$, que é exatamente a quantidade de elementos que listamos no conjunto $\mathcal{P}(A)$, podemos com isso concluir que estes são todos os subconjuntos do conjunto $A$ que existem, portanto o conjunto $\mathcal{P}(A)$ está completo.
+ No \autoref{ex:partes-abc}, temos que $\# A= 3$. Logo, aplicando esta propriedade, obtemos que $\# \mathcal{P}(A)= 2^3= 8$, que é exatamente a quantidade de elementos que listamos no conjunto $\mathcal{P}(A)$. Podemos com isso concluir que estes são todos os subconjuntos do conjunto $A$ que existem, isto é, o conjunto $\mathcal{P}(A)$ está completo.
 
 
 
@@ -309,22 +306,22 @@ \section{Cardinalidade de conjuntos}
 \begin{prop}
 Sejam $A$, $B$ e $C$ conjunto arbitrários, temos que:
 \begin{itemize}
- \item $\emptyset \subset A$, $\forall A$
+ \item $\emptyset \subset A$
  \item $A \cup \emptyset= A$ e $A \cap \emptyset= \emptyset$
  \item $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
  \item $A \cup (B \cap C) = (A \cup C) \cap (A \cup C)$
- \item $A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ (lei de DeMorgan)
- \item $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$ (lei de DeMorgan)
- \item $\bigcap_{\alpha \in J}(U_{\alpha} \cap Y) = (\bigcap_{\alpha \in J} U_{\alpha}) \cap Y$
+ \item $A - (B \cup C) = (A - B) \cap (A - C)$ (lei de De Morgan)
+ \item $A - (B \cap C) = (A - B) \cup (A - C)$ (lei de De Morgan)
+ \item $\bigcap_{\alpha \in J}(A_{\alpha} \cap B) = (\bigcap_{\alpha \in J} A_{\alpha}) \cap B$
 
 \begin{equation}
-(U_1 \cap Y) \cap \cdots \cap (U_n \cap Y) = (U_1 \cap \cdots \cap U_n) \cap Y
+(A_1 \cap B) \cap \cdots \cap (A_n \cap B) = (A_1 \cap \cdots \cap A_n) \cap B
 \end{equation}
 
- \item $\bigcup_{\alpha \in J}(U_{\alpha} \cap Y) = (\bigcup_{\alpha \in J} U_{\alpha}) \cap Y$
+ \item $\bigcup_{\alpha \in J}(A_{\alpha} \cap B) = (\bigcup_{\alpha \in J} A_{\alpha}) \cap B$
 
 \begin{equation}
-(U_1 \cap Y) \cup \cdots \cup (U_n \cap Y) = (U_1 \cup \cdots \cup U_n) \cap Y
+(A_1 \cap B) \cup \cdots \cup (A_n \cap B) = (A_1 \cup \cdots \cup A_n) \cap B
 \end{equation}
 
  \item $(U \times V) \cap (A \times B) = (U \cap A) \times (V \cap B)$
@@ -341,8 +338,8 @@ \section{Exercícios}
 \construirExer
 
 \begin{exer}
-O coordenador de esportes de um clube, fez uma reunião com $22$ atletas que representam o clube nas modalidades de Handebol e Basquete, para repassar algumas instruções sobre o campeonato no qual o clube estava inscrito. Ele aproveitou para distribuir os novos uniformes conforme a equipe na qual o atleta participa, foram entregues $14$ uniformes de Handebol e $12$ uniformes de Basquete. Quantos atletas fazem parte apenas da equipe de Handebol?
+O coordenador de esportes de um clube fez uma reunião com $22$ atletas que representam o clube nas modalidades de Handebol e Basquete, para repassar algumas instruções sobre o campeonato no qual o clube estava inscrito. Ele aproveitou para distribuir os novos uniformes conforme a equipe da qual cada atleta participa. Foram entregues $14$ uniformes de Handebol e $12$ uniformes de Basquete. Qual é o número de atletas que fazem parte apenas da equipe de Handebol?
 \end{exer}
 \begin{resp}
-  $10$ atletas participam apenas da equipe de Handebol.
+ Há $10$ atletas que participam apenas da equipe de Handebol.
 \end{resp}