exercicios de Catherine

Amostragem.ipynb

@@ -1476,6 +1476,40 @@
     "---"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "b0993a98-c190-4bca-8892-1df691c8841b",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**4)** Resolvido por Catherine Gallis\n",
+    "\n",
+    "a) **Sem filtro passa-baixa:**\n",
+    "\n",
+    "A faixa não corrompida do sinal original vai até 12 kHz. Portanto, a frequência máxima do sinal original é 12 kHz.\n",
+    "\n",
+    "- Aplicando o teorema de Nyquist:\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "f_s \\geq 2 \\times f_{\\text{max}} = 2 \\times 12 \\, \\text{kHz} = 24 \\, \\text{kHz}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "A frequência de amostragem mínima necessária é 24 kHz para que seja possível recuperar a parte do sinal não corrompida pelo ruído.\n",
+    "\n",
+    "b) **Com filtro passa-baixa:**\n",
+    "\n",
+    "Se usarmos um filtro passa-baixa ideal com frequência de corte em 12 kHz antes da amostragem, estamos limitando as frequências presentes no sinal que chegam ao processo de amostragem.\n",
+    "\n",
+    "A frequência máxima do sinal que entra no processo de amostragem agora é 12 kHz.\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "f_s \\geq 2 \\times 12 \\, \\text{kHz} = 24 \\, \\text{kHz}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "Mesmo com o filtro passa-baixa, a frequência de amostragem mínima necessária para recuperar a parte do sinal não corrompida pelo ruído é **24 kHz**.\n",
+    "\n",
+    "Tanto no caso sem filtro passa-baixa quanto no caso com filtro passa-baixa, a frequência de amostragem mínima necessária para recuperar a parte não corrompida do sinal é 24 kHz.\n"
+   ]
+  },
   {
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    "id": "06044483-409b-42a7-a78b-ae5a5a969436",

DegrauImpulsoDiscreto.ipynb

@@ -287,7 +287,7 @@
    "source": [
     "**3)** Considere o seguinte sinal de tempo discreto:\n",
     "\n",
-    "$$x[n] = 1-\\displaystyle\\sum_{k=2^\\infty}\\delta[n-2-k] $$\n",
+    "$$x[n] = 1-\\displaystyle\\sum_{k=2}^{\\infty}\\delta[n-2-k] $$\n",
     "\n",
     "Determine os valores dos números inteiros $M$ e $n_0$ para escrever $x[n]$ na forma:\n",
     "\n",
@@ -641,7 +641,7 @@
    "name": "python",
    "nbconvert_exporter": "python",
    "pygments_lexer": "ipython3",
-   "version": "3.10.11"
+   "version": "3.10.12"
   }
  },
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EstabilidadeContinuo.ipynb

@@ -590,6 +590,24 @@
     "## Solução dos exercícios"
    ]
   },
+  {
+   "cell_type": "markdown",
+   "id": "fa0c72b7-75fa-4eca-b8ba-e54b4c864615",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**2)** Resolvido por Catherine Gallis\n",
+    "\n",
+    "Calculando a integral $(I$) do módulo da resposta ao impulso:\n",
+    "\n",
+    "$I = \\int_{-\\infty}^{\\infty} \\left| \\frac{2}{t^a}u(t-1) \\right| dt$\n",
+    "\n",
+    "Considerando que a resposta ao impulso só é relevante para $(t \\geq 1$) (devido à função degrau $(u(t-1)$)):\n",
+    "\n",
+    "$I = \\int_{1}^{\\infty} \\frac{2}{t^a} dt$\n",
+    "\n",
+    "Para a integral convergir $(a > 1$), pois a função $(f(t) = \\frac{2}{t^a}$) será decrescente no intervalo considerado. Assim o sistema será estável."
+   ]
+  },
   {
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    "id": "381e4205-8df2-4682-b015-7510707449e1",

FuncaoTransferenciaDiscreto.ipynb

@@ -952,7 +952,7 @@
    "name": "python",
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    "pygments_lexer": "ipython3",
-   "version": "3.10.11"
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   }
  },
  "nbformat": 4,

RespostaImpulsoContinuo.ipynb

@@ -686,10 +686,55 @@
     "## Solução dos exercícios"
    ]
   },
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+   "id": "4bfb152d-31f7-4126-9a1a-f4cd9c253107",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**3)** Resolvido por Catherine\n",
+    "\n",
+    "**a) $h_1(t) = e^{-2|t|}$**\n",
+    "\n",
+    "Não é causal, pois não é nula para tempos anteriores a zero $t < 0$\n",
+    "\n",
+    "**b) $(h_2(t) = (1-|t|)[u(t+2)-u(t-2)$**\n",
+    "\n",
+    "Para verificar a causalidade, vamos analisar os intervalos de $t$ em que $h_2(t)$ é diferente de zero:\n",
+    "- Para $t < -2$: $h_2(t) = (1-|t|)[0-0] = 0$\n",
+    "- Para $-2 \\leq t < 0$: $h_2(t) = (1-|t|)[0-1] = t+1$\n",
+    "- Para $0 \\leq t < 2$: \\(h_2(t) = (1-|t|)[1-0] = 1-t$\n",
+    "- Para $t \\geq 2$: $h_2(t) = (1-|t|)[0-0] = 0$\n",
+    "\n",
+    "$h_2(t)$ é não nulo para $-2<t < 0$ , o que significa que é não-causal.\n",
+    "\n",
+    "**c) $h_3(t) = e^{3t}u(-t)$**\n",
+    "\n",
+    "Esta resposta ao impulso não é causal, pois não é nula para tempos anteriores a zero $(t < 0)$\n",
+    "\n",
+    "**d) $h_4(t) = e^{3t}u(t)$**\n",
+    "\n",
+    "- Para $t < 0$: $h_4(t) = e^{3t} \\cdot 0 = 0$\n",
+    "- Para $t \\geq 0$: $h_4(t) = e^{3t} \\cdot 1 = e^{3t}$\n",
+    "\n",
+    "$h_4(t)$ é nulo para $t < 0$, o que significa que é causal.\n",
+    "\n",
+    "**e) $h_5(t) = \\cos(3t)u(t)$**\n",
+    "\n",
+    "Para verificar a causalidade, vamos analisar os intervalos de $t$ em que $h_5(t)$ é diferente de zero:\n",
+    "- Para $t < 0$: $h_5(t) = \\cos(3t) \\cdot 0 = 0$\n",
+    "- Para $t \\geq 0$: $h_5(t) = \\cos(3t) \\cdot 1 = \\cos(3t)$\n",
+    "\n",
+    "$h_5(t)$ é nulo para $t < 0$, o que significa que é causal.\n",
+    "\n",
+    "**f) $h_6(t) = \\frac{t}{t+1}u(t)$**\n",
+    "\n",
+    "Esta resposta ao impulso  é causal, pois é nula para tempos anteriores a zero $t < 0$."
+   ]
+  },
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    "execution_count": null,
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@@ -711,7 +756,7 @@
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RespostaImpulsoDiscreta.ipynb

@@ -383,6 +383,65 @@
     "## Solução dos exercícios"
    ]
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+   "source": [
+    "**2)** Resolvido por Catherine\n",
+    "\n",
+    "Para o Sistema S1:\n",
+    "$$y_1[n] = 2x_1[n] - 2x_1[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$y_{1,\\delta}[n] = 2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$h_{1,\\delta}[n] = 2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "Para o Sistema S2:\n",
+    "$$y_2[n] = 5x_2[n] - 4x_2[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$x_2[n] = h_{1,\\delta}[n] = 2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "Saída do Sistema S2 quando a entrada é $h_{1,\\delta}[n]$:\n",
+    "$$y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 5x_2[n] - 4x_2[n-1]$$\n",
+    "$$y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 5(h_{1,\\delta}[n]) - 4(h_{1,\\delta}[n-1])$$\n",
+    "$$y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 5(2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]) - 4(2\\delta[n-1] - 2\\delta[n-2])$$\n",
+    "$$y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 10\\delta[n] - 10\\delta[n-1] - 8\\delta[n-1] + 8\\delta[n-2]$$\n",
+    "$$y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 10\\delta[n] - 18\\delta[n-1] + 8\\delta[n-2]$$\n",
+    "\n",
+    "A resposta ao impulso do sistema combinado (S1 em série com S2) é:\n",
+    "$$h_{\\text{combinado}}[n] = y_{2,h_{1,\\delta}}[n] = 10\\delta[n] - 18\\delta[n-1] + 8\\delta[n-2]$$\n",
+    "\n"
+   ]
+  },
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+   "source": [
+    "**3)** Resolvido por Catherine\n",
+    "\n",
+    "Para o Sistema S1:\n",
+    "$$y_1[n] = 2x_1[n] - 2x_1[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$y_{1,\\delta}[n] = 2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$h_{1,\\delta}[n] = 2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "Para o Sistema S2:\n",
+    "$$y_2[n] = 5x_2[n] - 4x_2[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$y_{2,\\delta}[n] = 5\\delta[n] - 4\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "$$h_{2,\\delta}[n] = 5\\delta[n] - 4\\delta[n-1]$$\n",
+    "\n",
+    "Somando as respostas ao impulso dos sistemas S1 e S2:\n",
+    "\n",
+    "$$h_{\\text{combinado},\\delta}[n] = h_{1,\\delta}[n] + h_{2,\\delta}[n] = (2\\delta[n] - 2\\delta[n-1]) + (5\\delta[n] - 4\\delta[n-1])$$\n",
+    "$$h_{\\text{combinado},\\delta}[n] = 2\\delta[n] + 5\\delta[n] - 2\\delta[n-1] - 4\\delta[n-1]$$\n",
+    "$$h_{\\text{combinado},\\delta}[n] = 7\\delta[n] - 6\\delta[n-1]$$"
+   ]
+  },
   {
    "cell_type": "markdown",
    "id": "2a9b8e85-5858-424e-8f34-b1ad9cf4ac08",
@@ -547,6 +606,33 @@
     "c) Um sistema é dito ser invariante no tempo se colocarmos a mesma entrada em momentos diferentes, as saídas obtidas serão as mesmas, exceto pela diferença no tempo. No caso do sistema em questão, não é invariante no tempo pois sempre que o tempo $n$ está multiplicando a equação, o sistema é **variante no tempo**."
    ]
   },
+  {
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+   "id": "2121e55b-cdf6-4b3b-a5e9-3778207cd41d",
+   "metadata": {},
+   "source": [
+    "**5)** Resolvido por Catherine\n",
+    "\n",
+    "Um sistema é considerado causal se a resposta ao impulso for não nula apenas para índices de tempo não negativos.\n",
+    "\n",
+    "Vamos analisar cada resposta ao impulso:\n",
+    "\n",
+    "a) $h_1[n] = 0.2^n u[n]$\n",
+    "   - Essa resposta ao impulso é multiplicada por $u[n]$, que é a função degrau unitário. Portanto, a resposta ao impulso é não nula apenas para $n \\geq 0$, o que indica que o sistema é causal.\n",
+    "\n",
+    "b) $h_2[n] = (0.2)^n u[n-1]$\n",
+    "   - Neste caso, a resposta ao impulso é multiplicada por $u[n-1]$, o que faz com que ela seja não nula apenas para $n \\geq 1$. Isso indica que o sistema é causal.\n",
+    "\n",
+    "c) $h_3[n] = 0.2^{|n|}$\n",
+    "   - A resposta ao impulso não é multiplicada por uma função degrau. No entanto, ela é simétrica em relação a $n=0$, o que significa que é não nula tanto para $n \\geq 0$ quanto para $n < 0$. Portanto, o sistema não é causal.\n",
+    "\n",
+    "d) $h_4[n] = u[n+3] - u[n-3]$\n",
+    "   - Essa resposta ao impulso é a diferença de duas funções degrau. A primeira parte ($u[n+3]$) é não nula apenas para $n \\geq -3$, e a segunda parte ($u[n-3]$) é não nula apenas para $n \\geq 3$. Isto indica  que o sistema é não-causal.\n",
+    "\n",
+    "e) $h_5[n] = 0.5^n u[n] + 2^n u[-n-1]$\n",
+    "   - A primeira parte da resposta ao impulso ($0.5^n u[n]$) é não nula apenas para $n \\geq 0$, indicando causalidade. A segunda parte ($2^n u[-n-1]$) é não nula apenas para $n \\leq 11$, o que significa que o sistema também é não-causal."
+   ]
+  },
   {
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    "id": "0612b863-94ba-4c9f-8c5f-10113f1c3cfa",
@@ -610,7 +696,7 @@
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    "pygments_lexer": "ipython3",
-   "version": "3.10.11"
+   "version": "3.10.12"
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  },
  "nbformat": 4,

SerieFourierContinuo.ipynb

@@ -1599,6 +1599,8 @@
     "\n",
     "$y(t)=x(t).H(jkω)=\\displaystyle\\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\frac{(j\\cos(k\\pi)-j)}{kπ}e^{jk\\frac{π}{3}t}\\frac{\\mathrm{sen}(3\\omega_ok)}{\\omega_ok}=\\displaystyle\\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\frac{(j\\cos(k\\pi)-j)}{kπ}e^{jk\\frac{π}{3}t}\\frac{\\mathrm{3sen}(k π )}{k π }$\n",
     "\n",
+    "Como $\\mathrm{3sen}(k π )$ é igual a zero para qualquer $k$, a saída é $y(t)=0$.\n",
+    "\n",
     "\n"
    ]
   },

SerieFourierDiscreto.ipynb

@@ -1363,10 +1363,82 @@
     "- Oppenheim, M.  e Willsky, S., Sistemas e Sinais, 2010"
    ]
   },
+  {
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+    "## Solução dos exercícios"
+   ]
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+   "source": [
+    "**1)** Resolvido por Catherine\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "\\frac{1}{N} \\sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2 + |b_k|^2 = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty |x[n]|^2\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "**Demonstração:**\n",
+    "A Série de Fourier de \\(x[n]\\) é dada por:\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "x[n] = \\sum_{k=-\\infty}^\\infty c_k e^{j2\\pi nk/N}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "onde $c_k = a_k - jb_k$ são os coeficientes complexos da Série de Fourier.\n",
+    "\n",
+    "A energia do sinal no domínio do tempo é definida como:\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty |x[n]|^2\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "Substituindo a expressão da Série de Fourier:\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty \\left|\\sum_{k=-\\infty}^\\infty c_k e^{j2\\pi nk/N}\\right|^2\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty \\left(\\sum_{k=-\\infty}^\\infty c_k e^{j2\\pi nk/N}\\right) \\left(\\sum_{m=-\\infty}^\\infty c_m^* e^{-j2\\pi nm/N}\\right)\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty \\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\sum_{m=-\\infty}^\\infty c_k c_m^* e^{j2\\pi n(k-m)/N}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = \\sum_{k=-\\infty}^\\infty \\sum_{m=-\\infty}^\\infty c_k c_m^* \\sum_{n=-\\infty}^\\infty e^{j2\\pi n(k-m)/N}\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "A soma interna envolvendo \\(n\\) é uma série de impulsos periódicos \\(N\\), o que significa que:\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "\\sum_{n=-\\infty}^\\infty e^{j2\\pi n(k-m)/N} = N \\cdot \\delta[k-m]\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = N \\sum_{k=-\\infty}^\\infty c_k c_k^* = N \\sum_{k=-\\infty}^\\infty |c_k|^2\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "E_x = N \\sum_{k=-\\infty}^\\infty (a_k^2 + b_k^2)\n",
+    "$$\n",
+    "\n",
+    "$$\n",
+    "\\frac{1}{N} \\sum_{k=-\\infty}^\\infty (a_k^2 + b_k^2) = \\sum_{n=-\\infty}^\\infty |x[n]|^2\n",
+    "$$"
+   ]
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    "execution_count": null,
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@@ -1388,7 +1460,7 @@
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