更新大学物理 B 笔记，修改最后修改时间并新增量子力学相关内容，包括薛定谔方程和理想气体压强公式的详细推导

content/post/4-PhysicsB-Notes/index.md

@@ -6,7 +6,7 @@ date = '2024-12-17T14:28:43+08:00'
 title = '大学物理 B 期末复习知识点'
 description = '大学物理 B 的一些重要公式归纳总结（持续更新中）'
 tags = ['大学物理']
-lastmod = '2024-12-19T15:53:43+08:00'
+lastmod = '2024-12-19T19:52:43+08:00'
 +++
 
 ## 热学
@@ -536,7 +536,61 @@ $$
 \Delta x\Delta p_x\geq h
 $$
 
-### 量子物理
+### 量子力学
+
+#### 薛定谔方程
+
+势场中一维运动粒子的定态薛定谔方程
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi(x)=0
+$$
+
+一般的定态薛定谔方程
+
+$$
+\mathbf{\nabla}^2\psi=\frac{8\pi^2m}{h^2}(E-E_{\mathrm{p}})\psi=0
+$$
+
+#### 一维势阱问题
+
+##### 无限深方势阱
+
+势阱中粒子可能的能量值为
+
+$$
+E=n^2\frac{h^2}{8ma^2}
+$$
+
+其中 $a$ 为无限深方势阱的宽度。
+
+波函数
+
+$$
+\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}
+$$
+
+概率密度
+
+$$
+|\psi^2(x)|=\frac{2}{a}\sin^2{\frac{n\pi}{a}x}
+$$
+
+##### 一维方势垒
+
+一维线性谐振子势函数
+
+$$
+E_{\mathrm{p}}x=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
+$$
+
+其中 $m$ 为振子质量，$\omega$ 为固有频率；
+
+能量本征值
+
+$$
+E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu
+$$
 
 #### 四个量子数
 
@@ -564,42 +618,292 @@ $$
 1. 泡利不相容原理：在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子态；
 2. 能量最小原理：在原子系统内，每个电子趋向于占有最低的能级，当原子中电子的能量最小时，整个原子的能量最小，这时原子处于最稳定的状态，即基态。
 
-#### 一维势阱问题
+## 重要推导
 
-##### 无限深方势阱
+### 理想气体压强公式
 
-势阱中粒子可能的能量值为
+考虑一个边长为 $L$ 的立方体容器，内含 $N$ 个理想气体分子。假设一个速度为 $v$ 的分子，速度分量为 $(v_x,v_y,v_z)$，考虑该分子与垂直于 $x$ 轴的一个器壁的碰撞，碰撞前后动量变化量为
 
 $$
-E=n^2\frac{h^2}{8ma^2}
+\Delta p=2mv_x
 $$
 
-其中 $a$ 为无限深方势阱的宽度。
+该分子在 $x$ 方向来回碰撞一次所需时间为
 
-波函数
+$$
+\Delta t=\frac{2L}{v_x}
+$$
+
+对器壁的平均冲力为
 
 $$
-\Psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}
+F_x=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{mv_x^2}{L}
 $$
 
-概率密度
+所有 $N$ 个分子对该器壁的总冲力为
 
 $$
-|\Psi^2(x)|=\frac{2}{a}\sin^2{\frac{n\pi}{a}x}
+F=\sum F_x=\frac{m}{L}\sum v_x^2
 $$
 
-##### 一维方势垒
+定义分子速度平方的平均值为
 
-一维线性谐振子势函数
+$$
+\overline{v_x^2}=\frac{1}{N}\sum v_x^2
+$$
+
+总冲力可以写成
 
 $$
-E_{\mathrm{p}}x=\frac{1}{2}kx^2=\frac{1}{2}m\omega^2x^2
+F=\sum F_x=\frac{m}{L}N\overline{v_x^2}
 $$
 
-其中 $m$ 为振子质量，$\omega$ 为固有频率；
+代入压强公式
 
-能量本征值
+$$
+p=\frac{F}{L^2}=\frac{m}{L^3}N\overline{v_x^2}=\frac{m}{V}N\overline{v_x^2}=mn\overline{v_x^2}
+$$
+
+考虑速度的各向同性
 
 $$
-E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)\hbar\omega=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\nu
+\overline{v_x^2}=\overline{v_y^2}=\overline{v_z^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}
+$$
+
+代入得
+
+$$
+p=\frac{1}{3}mn\overline{v^2}
+$$
+
+### 平均碰撞频率和平均自由程
+
+分子被视为具有直径 $d$ 的硬球，在时间 $t$ 内，分子 $A$ 扫过的体积为 $\pi d^2\overline{v}t$，在该体积内，其他分子的平均数量为 $n\pi d^2\overline{v}t$，实际上，其他分子也在运动。需要考虑平均相对速度
+
+$$
+v_{\mathrm{rel}}=\sqrt{2}\overline{v}
+$$
+
+在时间 $t$ 内，分子 $A$ 与其他分子碰撞的次数为 $\sqrt{2}n\pi d^2\overline{v}t$，即
+
+$$
+\overline{Z}=\sqrt{2}\pi d^2\overline{v}n
+$$
+
+$$
+\overline{\lambda}=\frac{\overline{v}}{\overline{Z}}=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2n}
+$$
+
+### 绝热过程方程
+
+绝热过程 $\mathrm{d}Q=0$，因此
+
+$$
+0=\mathrm{d}E+\mathrm{d}W=\nu C_{V,\mathrm{m}}\mathrm{d}T+p\mathrm{d}V
+$$
+
+由 $pV=\nu RT$ 可得
+
+$$
+p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=\nu R\mathrm{d}T
+$$
+
+消去 $\mathrm{d}T$ 得到
+
+$$
+C_{V,\mathrm{m}}(p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p)=-pR\mathrm{d}V
+$$
+
+由 $R=C_{p,\mathrm{m}}-C_{V,\mathrm{m}},\gamma=\frac{C_{p,\mathrm{m}}}{C_{V,\mathrm{m}}}$ 可解得
+
+$$
+C_{V,\mathrm{m}}=\frac{R}{\gamma-1}
+$$
+
+代入可得
+
+$$
+\gamma p\mathrm{d}V+V\mathrm{d}p=0
+$$
+
+即
+
+$$
+\gamma\frac{\mathrm{d}V}{V}=-\frac{\mathrm{d}p}{p}
+$$
+
+解得
+
+$$
+\gamma\ln{V}+\ln{p}=\text{常量}
+$$
+
+即
+
+$$
+pV^{\gamma}=\text{常量}
+$$
+
+### 卡诺循环效率
+
+设 $T_1$ 为高温热源温度，$T_2$ 为低温热源温度。
+
+$AB$ 等温膨胀
+
+$$
+W_1=Q_1=\nu RT_1\ln{\frac{V_2}{V_1}}
+$$
+
+$BC$ 绝热膨胀
+
+$$
+W_2=\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2)
+$$
+
+$CD$ 等温压缩
+
+$$
+W_3=Q_2=-\nu RT_1\ln{\frac{V_3}{V_4}}
+$$
+
+$DA$ 绝热压缩
+
+$$
+W_4=-\nu C_{V,\mathrm{m}}(T_1-T_2)
+$$
+
+由绝热方程
+
+$$
+T_1V_2^{\gamma-1}=T_2V_3^{\gamma-1}\\
+T_1V_1^{\gamma-1}=T_2V_4^{\gamma-1}
+$$
+
+联立解得
+
+$$
+\frac{V_2}{V_1}=\frac{V_3}{V_4}
+$$
+
+即
+
+$$
+\frac{Q_1}{|Q_2|}=\frac{T_1}{T_2}
+$$
+
+带入效率公式
+
+$$
+\eta=1-\frac{T_2}{T_1}
+$$
+
+### 热力学第二定律的两种等效性表述
+
+- 开尔文表述（Kelvin Statement）： 不可能制成一种循环工作的热机，只从单一热源吸收热量，并将这热量完全变为功，而不产生其它影响。
+- 克劳修斯表述（Clausius Statement）： 不可能把热量从低温物体传到高温物体，而不引起其它变化。
+
+假设我们有一台设备（称为“反克劳修斯机”），它可以违反克劳修斯表述，即可以将热量自发地从低温热源（温度 $T_L$）转移到高温热源（温度 $T_H$），而不引起其他变化。
+
+现在，我们将这台“反克劳修斯机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机（或其他任何循环工作的热机）组合起来。
+
+- 卡诺热机从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1$，对外做功 $W$，并向低温热源 $T_L$ 释放热量 $Q_2$。
+- “反克劳修斯机”将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到高温热源 $T_H$，不引起其他变化。
+
+这样，整个联合系统就构成了一个循环：
+
+- 从高温热源 $T_H$ 净吸收热量 $Q_1 - Q_2$。
+- 对外做功 $W = Q_1 - Q_2$。
+- 低温热源 $T_L$ 没有净热量交换。
+
+这个联合系统只从单一高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q_1 - Q_2$，并将其完全转化为功 $W$，而没有产生其他影响。这违反了开尔文表述。
+
+因此，如果违反克劳修斯表述，则必然违反开尔文表述。
+
+同理，假设我们有一台设备（称为“反开尔文机”），它可以违反开尔文表述，即可以只从单一热源（假设为高温热源 $T_H$）吸收热量 $Q$，并将其完全转化为功 $W$，而不产生其他影响。
+
+现在，我们将这台“反开尔文机”与一台工作在 $T_H$ 和 $T_L$ 之间的卡诺热机（或其他任何循环工作的热机）组合起来，但这次我们让卡诺热机逆向运行，即作为制冷机运行。
+
+- “反开尔文机”从高温热源 $T_H$ 吸收热量 $Q$，并将其完全转化为功 $W$。
+- 卡诺制冷机消耗功 $W$，从低温热源 $T_L$ 吸收热量 $Q_2$，并向高温热源 $T_H$ 释放热量 $Q_1 = Q_2 + W$。
+
+这样，整个联合系统就构成了一个循环：
+
+- 高温热源 $T_H$ 净释放热量 $Q_1 - Q = Q_2 + W - Q = Q_2$（因为 $W = Q$）。
+- 低温热源 $T_L$ 净吸收热量 $Q_2$。
+- 系统没有对外做功，也没有消耗功。
+
+这个联合系统没有消耗功，就将热量 $Q_2$ 从低温热源 $T_L$ 转移到了高温热源 $T_H$，而没有引起其他变化。这违反了克劳修斯表述。
+
+因此，如果违反开尔文表述，则必然违反克劳修斯表述。
+
+从而证明了两种表述的等价性。
+
+### 薄膜干涉光程差
+
+由于内容较简单且需要画图进行几何推导，请自行查阅教材。
+
+### 一维无限深方势阱
+
+粒子在势阱中 $E_{\mathrm{p}}=0$，定态薛定谔方程为
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+\frac{8\pi^2mE}{h^2}\psi(x)=0
+$$
+
+令
+
+$$
+k=\sqrt{\frac{8\pi^2mE}{h^2}}
+$$
+
+则上式可写成
+
+$$
+\frac{\mathrm{d}^2\psi(x)}{\mathrm{d}x^2}+k^2\psi(x)=0
+$$
+
+通解为
+
+$$
+\psi(x)=A\sin{kx}+B\cos{kx}
+$$
+
+波函数必须满足边界条件 $\psi(0)=0$，解得 $B=0$
+
+$$
+\psi(x)=A\sin{kx}
+$$
+
+由边界条件 $\psi(a)=0$，得
+
+$$
+ka=n\pi
+$$
+
+$$
+k=\frac{n\pi}{a}
+$$
+
+联立可解得
+
+$$
+E=n^2\frac{h^2}{8ma^2}
+$$
+
+由归一化条件可得
+
+$$
+A^2\int_0^a\sin^2{\frac{n\pi}{a}x}\ \mathrm{d}x=1
+$$
+
+解得
+
+$$
+A=\sqrt{\frac{2}{a}}
+$$
+
+于是
+
+$$
+\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{a}}\sin{\frac{n\pi}{a}x}
 $$