Pytorch-based SAR Imaging

Getting Started

• Requirements

python==3.12 and pytorch==2.4.0 are recommended

• Run

# run wka
python wka_pytorch.py

# run csa
python csa_pytorch.py

# run rda
python rda_pytorch.py

ωKA (Wavenumber Domain Algorithm)

1 二维FFT

原始信号通过二维 $\text{FFT}$ 变换到二维频域：

$$S_{\text{2df}}(f_\tau, f_\eta) = \text{FFT2} \left( \text{Sig}(\tau, \eta) \right)$$

• 变量：距离时间 $\tau$，方位时间 $\eta$，距离频率 $f_\tau$，方位频率 $f_\eta$

2 匹配滤波

参考函数（补偿参考距离处相位历程）： \tag{8.3}

$$H_{\text{ref}}(f_\tau, f_\eta) = \exp \left( j \frac {4 \pi R_{\text{ref}}} {c} \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left(\frac {c f_\eta} {2 V_{r_{\text{ref}}}} \right)^2} + j\pi\frac{f_\tau^2}{K_r} \right)$$

匹配滤波输出：

$$S_{\text{2df,matched}}(f_\tau, f_\eta) = H_{\text{ref}}(f_\tau, f_\eta) \cdot S_{\text{2df}}(f_\tau, f_\eta)$$

3 Stolt插值

频率映射： \tag{8.5}

$$f_\tau' = \sqrt{(f_0 + f_\tau)^2 - \left( \frac{c f_\eta} {2V_r}\right)^2} - f_0$$

沿距离频率轴插值：

$$S_{\text{2df,stolt}}(f_\tau', f_\eta) = \text{Interp} _ {f _ \tau} \left( S_{\text{2df,matched}}(f_\tau, f_\eta) \to f_\tau' \right)$$

$\text{sinc}$ 插值示例：

$$S_{\text{2df,stolt}}(f_\tau', f_\eta) = \sum_{k} S_{\text{2df,matched}}(f_{\tau,k}, f_\eta) \cdot \text{sinc}\left(\frac{f_\tau' - f_{\tau,k}}{\Delta f_\tau}\right)$$

• 参数：距离频率采样间隔 $\Delta f_\tau = \frac{F_r}{N_r}$，第k个距离频率点 $f_{\tau,k} = -\frac{F_r}{2} + k \cdot \Delta f_\tau$

4 参考距离平移

相位补偿：

$$\Phi_{\text{comp}}(f_\tau') = \exp \left( -j \frac{4 \pi R_{\text{ref}}} {c} f_\tau' \right)$$

相位补偿输出：

$$S_{\text{2df,comp}}(f_\tau, f_\eta) = \Phi_{\text{comp}}(f_\tau') \cdot S_{\text{2df,stolt}}(f_\tau', f_\eta)$$

5 二维IFFT

变换回二维时域得到最终图像：

$$S_{\text{image}}(\tau, \eta) = \text{IFFT2} \left( S_{\text{2df,comp}}(f_\tau, f_\eta) \right)$$

CSA (Chirp Scaling Algorithm)

1 方位向FFT

原始信号通过方位向 $\text{FFT}$ 变换到距离多普勒域：

$$S_{\eta f}(\tau, f_\eta) = \text{FFT} _ \eta \left( \text{Sig}(\tau, \eta) \right)$$

2 线性调频缩放（Chirp Scaling）

徙动参数： \tag{7.17}

$$D(f_\eta, V_{r}) = \sqrt{1 - \frac{(c f_\eta)^2} {4 (V_r f_0)^2}}$$

新的距离时间： \tag{7.27}

$$\tau' = \tau - \frac{2 R_{\text{ref}}} {c D(f_\eta, V_{r_{\text{ref}}})}$$

变标方程： \tag{7.30}

$$H_{\text{cs}}(\tau', f_\eta) = \exp \left( j \pi K_m \left[ \frac {D(f_{\eta_{\text{ref}}}, V_{r_{\text{ref}}})} {D(f_\eta, V_{r_{\text{ref}}})} - 1 \right] (\tau')^2 \right)$$

变标输出：

$$S_{\eta f,\text{scaled}}(\tau, f_\eta) = H_{\text{cs}}(\tau', f_\eta) \cdot S_{\eta f}(\tau, f_\eta)$$

• 参数：多普勒中心频率 $f_{\eta_{\text{ref}}} = \frac {2 V_{r_{\text{ref}}}} {\lambda} \sin{\theta_{s,\text{ref}}}$，改变后的距离向调频率 $K_m(f_\eta) = \frac{K_r}{1 - \dfrac{K_r c R_{\text{ref}} f_\eta^2}{2 V_r^2 f_0^3 \left[ D(f_\eta, V_r) \right]^3}}$

3 距离向FFT

变换到二维频域：

$$S_{\text{2df,scaled}}(f_\tau, f_\eta) = \text{FFT} _ \tau \left( S_{\eta f,\text{scaled}}(\tau, f_\eta) \right)$$

4 距离压缩（RC）、二次距离压缩（SRC）和一致距离徙动校正（RCMC）

距离压缩（RC+SRC）： \tag{7.32}

$$H_{\text{rc}}(f_\tau, f_\eta) = \exp \left( j\pi \frac{D(f_\eta, V_r)}{K_m D(f_{\eta_{\text{ref}}}, V_r)} f_\tau^2 \right)$$

距离徙动校正（RCMC）： \tag{7.32}

$$H_{\text{rcmc}}(f_\tau, f_\eta) = \exp \left( j \frac{4\pi R_{\text{ref}}}{c} f_\tau \left[ \frac{1}{D(f_\eta, V_{r_{\text{ref}}})} - \frac{1}{D(f_{\eta_{\text{ref}}}, V_{r_{\text{ref}}})} \right] \right)$$

补偿后输出：

$$S_{\text{2df,comp}}(f_\tau, f_\eta) = H_{\text{rc}}(f_\tau, f_\eta) \cdot H_{\text{rcmc}}(f_\tau, f_\eta) \cdot S_{\text{2df,scaled}}(f_\tau, f_\eta)$$

5 距离向IFFT

变换回距离多普勒域：

$$S_{\eta f,\text{comp}}(\tau, f_\eta) = \text{IFFT} _ \tau \left( S_{\text{2df,comp}}(f_\tau, f_\eta) \right)$$

6 方位压缩

残余相位补偿： \tag{7.32}

$$H_p(\tau, f_\eta) = \exp \left( -j \frac{4\pi K_m}{c^2} \left[ 1 - \frac{D(f_\eta, V_{r_{\text{ref}}})}{D(f_{\eta_{\text{ref}}}, V_{r_{\text{ref}}})} \right] \left[ \frac{R_0}{D(f_\eta, V_r)} - \frac{R_{\text{ref}}}{D(f_{\eta_{\text{ref}}}, V_r)} \right]^2 \right)$$

方位压缩滤波器： \tag{7.32}

$$H_{\text{ac}}(f_\eta) = \exp \left( j \frac{4 \pi R_0 f_0 D(f_\eta, V_r)} {c} \right)$$

压缩和补偿后输出：

$$S_{\eta f,\text{ac}}(\tau, f_\eta) = H_p(\tau, f_\eta) \cdot H_{\text{ac}}(f_\eta) \cdot S_{\eta f,\text{comp}}(\tau, f_\eta)$$

7 方位向IFFT

变换回二维时域得到最终图像：

$$S_{\text{image}}(\tau, \eta) = \text{IFFT} _ \eta \left( S_{\eta f,\text{ac}}(\tau, f_\eta) \right)$$

RDA (Range Doppler Algorithm)

1 距离向FFT

原始信号通过距离向 $\text{FFT}$ 变换到距离频域-方位时域：

$$S_{rf}(f_\tau, \eta) = \text{FFT} _ \tau \left( \text{Sig}(\tau, \eta) \right)$$

2 距离压缩

距离压缩滤波器：

$$H_{\text{rc}}(f_\tau) = \exp \left( j \pi \frac {f_\tau^2} {K_r} \right)$$

压缩后输出：

$$S_{rf,\text{comp}}(f_\tau, \eta) = H_{\text{rc}}(f_\tau) \cdot S_{rf}(f_\tau, \eta)$$

3 距离向IFFT

变换回距离时域-方位时域：

$$S_{\text{rc}}(\tau, \eta) = \text{IFFT} _ \tau \left( S_{rf,\text{comp}}(f_\tau, \eta) \right)$$

4 方位向FFT

变换到距离时域-方位频域（多普勒域）：

$$S_{\text{rd}}(\tau, f_\eta) = \text{FFT} _ \eta \left( S_{\text{rc}}(\tau, \eta) \right)$$

5 距离徙动校正（RCMC）

距离徙动量： \tag{6.11}

$$\Delta R(f_\eta) = \frac{\lambda^2 R_0 f_\eta^2} {8V_r^2}$$

对应时间徙动：

$$\Delta \tau(f_\eta) = \frac{2 \Delta R(f_\eta)}{c} = \frac{\lambda^2 R_0 f_\eta^2} {4cV_r^2}$$

沿距离时间轴插值：

$$S_{\text{rd,rcmc}}(\tau, f_\eta) = \text{Interp} _ \tau \left( S_{\text{rd}}(\tau, f_\eta) \to \tau - \Delta \tau(f_\eta) \right)$$

$\text{sinc}$ 插值示例：

$$S_{\text{rd,rcmc}}(\tau, f_\eta) = \sum_k S_{\text{rd}}(\tau_k, f_\eta) \cdot \text{sinc}\left[\frac{\tau - \Delta \tau(f_\eta) - \tau_k}{\Delta \tau}\right]$$

• 参数：距离时间采样间隔 $\Delta \tau = \frac{1}{F_r}$，第k个距离时间点 $\tau_k = \tau_0 + k \cdot \Delta \tau$

6 方位压缩

方位压缩滤波器：

$$H_{\text{ac}}(f_\eta) = \exp \left( j \frac{4\pi R_0} {\lambda} D(f_\eta, V_r) \right)$$

方位压缩输出：

$$S_{\text{rd,ac}}(\tau, f_\eta) = H_{\text{ac}}(f_\eta) \cdot S_{\text{rd,rcmc}}(\tau, f_\eta)$$

7 方位向IFFT

变换回二维时域得到图像：

$$S_{\text{image}}(\tau, \eta) = \text{IFFT} _ \eta \left( S_{\text{rd,ac}}(\tau, f_\eta) \right)$$