Para mayor información sobre el curso, véase la página https://cadadr.org/cimat-tna/
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Campos y anillos de números
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Reciprocidad cuadrática mediante sumas de Gauss en ℤ[ζp]
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Divisibilidad y factorización en dominios (dominios de factorización única, dominios de ideales principales, dominios euclidianos)
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Enteros de Gauss ℤ[i] y enteros de Eisenstein ℤ[ζ₃]
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Reciprocidad cúbica
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Ternas pitagóricas
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Ecuación de Fermat x³ + y³ = z³
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Puntos enteros en curvas y² = x³ + t
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Ecuación de Pell x² − dy² = 1
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Operaciones con ideales
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Ideales primos y maximales
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Ideales en anillos de números
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Ideales fraccionarios
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Anillo de enteros OK
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Dominios de Dedekind
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Teorema de Kummer–Dedekind
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Aplicación: campos cuadráticos y campos ciclotómicos ℚ(ζp)
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Norma y traza
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Recordatorio de álgebra lineal
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Apareamiento de traza y el discriminante
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Generación finita del anillo de enteros
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Cálculos del discriminante y anillo de enteros
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Versión más general de Kummer–Dedekind
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Discriminante y ramificación
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Teoremas de Brill y Stickelberger
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Campos linealmente disjuntos
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Anillo de enteros de ℚ(ζn)
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Cálculos en PARI/GP
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Breve recordatorio sobre la teoría de Galois
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Acción del grupo de Galois sobre los ideales
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Grupo de descomposición e inercia
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Otra prueba de la reciprocidad cuadrática
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El automorfismo de Frobenius
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Caso de extensiones no Galois
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Retículos y el teorema de Minkowski
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Aplicación: teorema de cuatro cuadrados y teorema de aproximación de Dirichlet
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Anillo de enteros como un retículo
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Cota de Minkowski
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Teorema de Hermite
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Finitud del grupo de clases
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Ejemplo: campos cuadráticos imaginarios
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Números de la suerte de Euler
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Ejemplo: campos cuadráticos reales
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Perspectiva: campos ciclotómicos
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Campos con número de clases 2
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Teoría de Minkowski y la ecuación de Pell
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Teorema de unidades de Dirichlet
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Aplicación: unidades en ℤ[ζp]
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Fracciones continuas. Fracciones continuas periódicas.
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Soluciones de la ecuación de Pell. Unidades fundamentales en campos cuadráticos reales
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Cálculo del grupo de clases y unidades en PARI/GP
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Función zeta de Dedekind
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Ejemplo: la función zeta de ℚ(i)
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Fórmula analítica del número de clases
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Regulador
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Ejemplos de uso de la fórmula del número de clases. Número de clases de ℚ(√−p)
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Demostración de la fórmula del número de clases
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Factorización de la función zeta en series L de Dirichlet
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Perspectiva: Prolongación analítica
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Perspectiva: Valores especiales. Números y polinomios de Bernoulli. Valores especiales de las series L de Dirichlet. Aplicación a los campos reales abelianos
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Equivalencia aritmética y las triplas de Gassmann
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Clase 1 (10/08/20). Breve introducción. Campos y anillos de números. PARI/GP.
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Clase 2 (12/08/20). Divisibilidad, elementos primos e irreducibles; dominios de factorización única, de ideales principales y euclidianos. Enteros de Gauss ℤ[i]. El teorema de dos cuadrados de Fermat.
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Clase 3 (17/08/20). Campos residuales ℤ[i]/(π). Enteros de Eisenstein ℤ[ζ₃]. Reciprocidad cúbica.
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Clase 4 (19/08/29). Ternas pitagóricas x² + y² = z² y ℤ[i]. Ecuación de Fermat x³ + y³ = z³ y ℤ[ζ₃]. Puntos enteros en curvas elípticas y² = x³ + t. Ecuación de Pell x² − dy² = 1 y las unidades en ℤ[√d].
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Clase 5 (24/08/20). Suma y producto de ideales. Ideales coprimos. Teorema chino del resto. Ideales primos y maximales. Ideales en anillos de números.
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Clase 6 (26/08/20). Ideales en anillos de números (continuación). Ideales fraccionarios y el grupo de Picard. Anillo de enteros OK.
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Clase 7 (31/08/20). Anillo de enteros OK (continuación). Dominios de Dedekind.
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Clase 8 (02/09/2020). Teorema de Kummer–Dedekind.
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Clase 9 (07/09/2020). Traza y norma. Emparejamiento de traza. rk OK = [K:ℚ]. Discriminante ΔK.
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Clase 10 (09/09/2020). Cálculos de determinantes y anillos de enteros.
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Clase 11 (14/09/2020). Cálculos de anillos de enteros (continuación). Versión general de Kummer–Dedekind. Ramificación y discriminante.
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Clase 12 (21/09/2020). Teoremas de Brill y Stickelberger. Campos linealmente disjuntos. El anillo de enteros de ℚ(ζn).
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Clase 13 (23/09/2020). Factorización de primos en ℚ(ζn). Campos de números en PARI/GP.
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Clase 14 (28/09/2020). Ideales en el anillo de enteros en PARI/GP. Experimentos numéricos. Teorema de densidad de Chebotarëv.
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Clase 15 (05/10/2020). Breve revisión de la teoría de Galois. Problema inverso de Galois para G abeliano. Teorema de Kronecker–Weber (enunciado). Acción de Gal(K/ℚ) sobre los ideales primos.
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Clase 16 (07/10/2020). Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas (enunciado y bosquejo de la prueba).
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Clase 17 (12/10/2020). Grupo de descomposición e inercia. Otra prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.
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Clase 18 (14/10/2020). Automorfismo de Frobenius.
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Clase 19 (19/10/2020). Retículos y el teorema de Minkowski. Teorema de cuatro cuadrados.
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Clase 20 (21/10/2020). Anillo de enteros como un retículo. Cota de Minkowski. Teorema de Hermite.
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Clase 21 (26/10/2020). Finitud del grupo de clases. Campos cuadráticos imaginarios. Teorema de Baker–Heegner–Stark. Polinomio x² + x + 41 y los números de la suerte de Euler. Campos cuadráticos reales. Heurística de Cohen–Lenstra. Campos ciclotómicos.
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Clase 22 (28/10/2020). Teorema de unidades de Dirichlet.
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Clase 23 (04/11/2020). Fracciones continuas.
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Clase 24 (09/11/2020). Fracciones continuas para √d. Soluciones de la ecuación de Pell x² − dy² = ±1. Unidad fundamental para ℤ[√d] y ℤ[(1+√d)/2].
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Clase 25 (11/11/2020). Función zeta de Dedekind. Números n = x² + y². Enunciado de la fórmula analítica del número de clases. Regulador.
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Clase 26 (18/11/20). Uso de la fórmula del número de clases.
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Clase 27 (23/11/2020). Bosquejo de demostración de la fórmula del número de clases.
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Clase 28 (25/11/2020). Función zeta y series L para extensiones abelianas K/ℚ.
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Clase 29 (30/11/2020). Valores especiales de funciones zeta de Dedekind y series L de Dirichlet. Números de Bernoulli. Números de Bernoulli generalizados. Teorema de Siegel–Klingen.
Agradezco a CIMAT por la oportunidad de dar este curso, y en particular al Dr. Xavier Gómez Mont y Dr. Pedro Luis del Ángel.
Pavel Solomatin y Dmitry Shvetsov han hecho varias observaciones útiles acerca de una versión preliminar de mis notas.
También agradezco a todos los participantes del curso, y sobre todo a Marvin Ferman Bell, José de Jesús García Ruvalcaba, William Eduardo Pena, Óscar Andrés Ramírez Ramírez, y Alexis Zamora.
Esta obra está disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0.